2019年广东省高考数学卷试题和答卷分析

广东省华南师范大学数学科学学院(510631)王先义 刘秀湘

2019年数学科全国I卷命题以全国教育大会精神为指引，以学科素养为导向，将高考内容和素质教育有机结合，认真贯彻“五育并举”方针.试题命题立意深刻，稳中有变，在数学教育、评价中落实“立德树人”的根本任务.本文就2019年高考数学试卷试题分析、考生答卷情况及反映的问题、考生主观题答卷典型错误、教学备考及建议四个方面进行分析，希望有助于今后的高中数学的教学及高考备考.

一、试题分析

2019年高考数学全国I卷命题严格依据考试大纲，试卷从总体上体现了数学学科的基础性、应用性和创新性.在文理科试卷考查基础知识的同时，兼顾试题的综合性和应用性，稳中求新，既注重对数学能力和数学思想方法的考查，又展现了数学的科学价值和人文价值.

1.“五育并举”，体现数学的应用与育人价值

2019年高考数学结合学科特点和学科知识，整份试卷站在“五育并举”的教育方针高度进行整体设计，响应德、智、体、美、劳全面发展的教育方针.文、理科试卷的第4题以著名是“维纳斯断臂”为例，探讨人体黄金分割之美，该题设计一个估值问题，在考查学生估算的能力同时，也引导学生欣赏人与自然之美，关注数学之美，将美育教育融入数学教育.理科第6题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“重卦”为背景，设计了排列组合和概率结合的问题，试卷考查“智育”的同时，也展示了中国传统文化的博大精深，体现数学文化和中国古代的哲学思想的传承和发展.文科第6题通过设置学校对学生体质状况进行调查的情境，考查学生的抽样调查知识，理科第15题，以篮球比赛为背景，通过可能存在的比赛结果和比赛场次的安排情况设置问题，这些试题在考查学生数学知识的同时，要求考生应用数学方法分析，解决体育问题，引导学生加强体育锻炼，体现了对学生的体育教育.文科第17题以商场服务质量管理为背景设计，体现对服务质量的要求，倡导高质量的劳动成果，理论联系实际，渗透劳动教育.这些情境来源于我国社会主义建设的不同领域，结合社会现实，贴近生活，反映了数学应用的广阔领域，提高学生对数学价值的认识，提升数学素养，对中学的素质教育有很好的导向和促进作用.同时，这些试题一方面发挥了思想教育功能，引导学生热爱祖国，激发考生热爱我国的传统文化，另一方面引导学生重视加强体育锻炼，欣赏人与自然之美，关注、尊重和参加劳动，德智体美劳五育并举，体现了数学的应用价值和育人价值.

2.稳中有变，助力破解应试教育

首先，2019年的数学试卷，在整体设计保持平稳，包括考查内容的布局、题型的设计、核心考点和方法等.文科解答题17、18、19题分别考查概率统计，数列，立体几何，属于常规题型，但是概率统计难度明显降低.理科17、18、19 分别考查解三角形，立体几何，解析几何，都是学生比较熟悉的题型，体现了“在稳定中发展”的特点.

其次，解答题考查布局在题序和考查难度上进行动态设计，理科试题将概率统计试题作为压轴题，而文科试题，与2018年试卷相比几乎“面目全非”，体现了“在稳定中创新”的特点.近三年文理科解答题题序和考查内容明细如下表：

表一 2017-2019年文科解答题题序与考查内容比较

表二 2017-2019年理科解答题题序与考查内容比较

文、理科21题均打破了过去以函数与导数为压轴题的惯例，概率统计题的题序变化非常大，文科是第17题，而不是历年的解三角形或者数列，理科则是放在压轴题位置，可以说今年的概率统计大题的题序是颇有颠覆性的，是2019年高考数学命题的重大变化和创新之举.

同时，解答题在考查模式和难度上也进行了创新.如文科第20题的函数与导数，是与三角函数结合考查的热点题型—“隐零点”问题，难度较大.理科第20题与去年不同，以证明的形式考查导数中的极值点与零点问题，难度有所增加.文科压轴题(21题)是解析几何试题，命题新颖，题目简洁，第(2)问打破了相交-联立-韦达定理的套路，破除常规的解析几何的解题思路，重点考查学生用运动和变化的观点看待问题，找到“变”中“不变”，是较高层次的思维的考查.理科21题以概率统计为压轴题，该题将概率与数列知识相结合，根据运算结果解释概率层面的意义，既体现了对数学推理能力的考查，也是理论在实践中的应用.随着大数据时代的来临，社会对人类的数据分析能力要求越来越高，理科试题命制响应时代潮流，对概率统计内容愈加重视.

在选做题方面，选考题22题不是常见的消参数方法，涉及到难度很大的消参技巧；23题也一改往年的去绝对值、不等式成立时的求参数范围的问题，而是改成求证不等式.

这种与往年不同的解答题题序、试题命制方式，是对平时熟悉的模拟考试的一种推翻，对考生的心理素质提出更高的要求，需要考生具备处变不惊的能力.这些改变说明，在整体符合《考试大纲》和《考试说明》要求的前提下，在各部分内容的布局和考查难度上都可以进行调整和改变，考查重点内容，创新命题风格，注重考查学生的灵活应变的能力和主动调整适应的能力，对于摒弃题海战术、破解僵化的应试教育有正面的导向作用.

3.继续探索文理不分科的数学高考命题改革

与2018年相比，2019年高考数学试题的承接前一年的风格，继续为新一轮高考数学文理不分科的改革继续探索.2017-2019年文理科相同试题分值如下表：

表三 2017-2019年文理科相同试题分值

2019年文科第3、4、5、8、9、12、13、19题(1)分别与理科第3、4、5、7、8、10、13、18(1)题以及文理科试卷的选做题完全相同，共计51 分.根据近三年全国I 高考数学试卷文理科相同试题的统计，2017年文理科相同试题分值占全卷比为16.7%，2018年文理科相同试题占全卷比例为26.7%，2019年文理科相同试题分值占全卷比为34%，文理科相同试题所占分数的比值逐年增加.此外，文理科相同试题基本上是容易题和中等难度的试题，构成试卷的基础，其后文科增加中等难度的试题数量，理科的部分试题难度略高于文科试题，组成文理科不同难度和结构的试卷，为2021年高考数学文理不分科试题命制进行探索.

总体上来说，今年试卷的特点是“五育并举，聚焦主干内容，在稳定中发展，在稳定中创新”.

二、考生答卷情况及反映的问题

从评卷情况来看，存在的主要问题有：数学基础知识薄弱，书写不规范，推理论证严谨性不够，运算技巧有待提高.文、理科试卷抽样平均分如下表(最终数据以省考试院公布为准).

表四 2018-2019年文、理科各题抽样平均分______

文、理科试卷难度分别为0.41、0.49.从上表可以发现，文、理科填空题得分相比去年明显下降，相比于2018年，2019年填空题难度增加，如文科15题将三角函数诱导公式、三角恒等变换、三角函数和二次函数的值域多个知识点相结合，综合性强，这需要考生扎实的基础知识和严谨的逻辑推理；理科15题以篮球比赛为背景，通过可能存在的比赛结果和比赛场次的安排情况设置问题，情况较多，综合性强.考生想要完整分析解答此题，不仅考虑情况要完善，而且还需要考虑胜负的因素，同时也要场次的问题.这些试题在考查学生数学知识的同时，对学生的逻辑思维能力和应用意识都有较高的要求.

文、理科的解析几何的得分相比去年明显下降.对于文科解析几何试题，一方面是文科21题以解析几何试题压轴，试题顺序的变化给学生产生较大的心理压力，让学生心生畏惧；另一方面是试题第(2)问打破了联立方程和运用韦达定理的套路，破除常规的解题思路.同时题目考查存在性问题与定值问题相结合，对学生的综合创新能力要求较高.对于理科解析几何试题，以抛物线与向量知识交汇命题，知识点多，综合性强，对学生综合能力要求较高.很多考生对向量相关内容理解不够深入，未能认识到向量的代数和几何的双重属性，不能利用数形结合的数学思想分析问题，致使计算过程冗长繁琐而搁置解答.

文、理科的函数与导数的得分相比去年明显下降.今年文理科函数与导数部分结合三角函数考查函数极值个数问题和零点问题，试题知识覆盖面广，考法新颖，综合性强，对考生的心理承受能力和创新能力要求较高.文科数列和理科解三角形得分相比去年都有所下降.

文、理科选择题得分相比去年略升，文科立体几何的得分相比略升，理科立体几何得分相比去年明显上升.值得注意的是，尽管将概率统计作为理科试题压轴题，理科考生仍然能够得分，相比去年概率题的得分，略有上升，但将解析几何作为文科试题压轴题，文科考生得分明显下降，说明理科生的临场应变能力相对强于文科生.

选做题方面，考生选做22、23题的人数比例如表五.从表中可以看出，绝大部分考生都是选做第22题.与去年相比，有更多考生选做了第22题.

22题23题_______年份2018 2019 2018 2019__文科87.40%89.16%12.60%10.84%_理科87.61%88.15%12.39%11.85%_

三、考生填空、解答题答卷典型错误及分析

题号考生的典型错误原因分析答案为y =x.漏掉数字3，求导得y′ =(x2+3x+1)ex，得_______________________切线斜率为1.答案为y =4x.误将曲线看成y = 3(x2+x)+ ex，求导得______________________y′ =6x+3+ex，得切线斜率为4.13题答案为y =9x.由y = 3x2 + 3x，求导得y′ = 6x + 3，误将_______________________x=1 代入，得切线斜率为9.答案为y =-3x.导 数 运 算 法 则 记 忆 出 错，由y′ = (3x2+3x)ex - (6x + 3)ex =(______________________________3x2-3x-3)ex，得切线斜率为-3.(1)由S3 = 3答案为4 4 类比得S4 = 4 5.5.(2)等比数列求和公式记忆出错，由Sn =a1(1-q2)_____________________________1-qn ，求得S4 = 4 5.答案为1 2.公比求解出错，得q = 1 2，并直接将q = 1 2 作为最后答案.__________________________________14题答案为7直接利用S4 =a1+S3 = 7 4.4.答案为15公比求解出错，得q = 1 8 .2，代入，求得S4 = 15 8 .答案为7公比求解出错，得q = 1 8.2，所以a4 = a1q3 = 1从而S4 =S3+a4 = 7 8，8.(1)直接将公比q =-1答案为-1 2.2 作为最后答案.(2)误将数列看成等差数列进行求解，得到d = -3 4，所以a4 = a1 + 3d = -5 4，从 而______________________________S4 =S3+a4 =-1 2.答案为1.(1)化简得f(x)=-2 cos2 x-3 cos x+1，其中cos x ∈[-1,1]，将cos x=0 代入，得到1._______________________(2)直接猜想最小值为1.答案为2.化简得f(x)= -2 cos2 x - 3 cos x + 1，其中_______________________cos x ∈[-1,1]，将cos x=-1 代入，得到2.答案为-1.15题(1)诱导公式正负号出错，化简得f(x)=cos 2x-3 cos x = 2 cos2 x-1-3 cos x，其中cos x ∈[-1,1]，将cos x=0 代入，得到-1._______________________(2)直接猜想最小值为-1.答案为-2.诱导公式正负号出错，化简得f(x)= cos 2x-3 cos x = 2 cos2 x - 1 - 3 cos x，其中cos x ∈_______________________[-1,1]，将cos x=1 代入，得到-2.答案为-3.直接将题目中出现的系数-3 作为最后答案.____答案为17 8 .化简得f(x)= -2 cos2 x - 3 cos x + 1，其中cos x ∈[-1,1]，将cos x=-3 4 代入，得到17 8 .

√22-(√(1)由勾股定理，得答案为1.3)2 =1.___________________________________(2)直接猜想距离为1.答案为2√3.猜想所求距离是点P 到边AC 距___________________________________离的2 倍.答案为2.16题误认为点P 在平面ABC 的投影为点C，将PC 的长度作为点P 到平面ABC 的距离._________________√答案为3 2 .猜想所求距离是点P 到边AC 距离的一半._______________________答案为√3.猜想所求距离与点P 到边AC 的___________________________________距离相等.√过点P 作AB、AC 的垂线，垂足分别为E、F，则EF =√答案为__10 2 .2.学生误认为点P 在平面ABC 的投影为EF 的中点.由勾股定理，得√(√(√)2√3)2-2__10 2=2 .第一问：运算错误(1)缺运算过程40 50、30 50.(2)运算公式错误如出现男50 40、40平时没有养成良好的解题习惯，跳步、漏写，不认真审题.100、 ______40 40+30，女50 30、30 100、 __30 40+30__等错误.第一问：第一问结论错误(1)缺少结论或者结论错误._(2)缺少概率的估计.(1)对概率的概念不清，没有体现用频率去估计概率值；(2)解题习惯不好，粗心大意.第二问：K2 公式代入错误(1)K2 公式中的(ad-bc)2 部分漏掉平方.(2)误将n = 4，n = 50，n = 200 代入K2 公式，运算结果出现0.190、_2.381、9.524 等数值.粗心大意，不认真审题，K2 公式中“n”的含义模糊不清.第二问：K2 公式代入正确，计算结果错误.如出现 21 100 或是约分出现错误1 17题21、1 6、0.0476 等或是理解有误出现√21(1)计算能力不佳，约分时粗心大意导致错误.(2)对计数保留法认知有误，没有采用“四舍五入”取近似值.100 等.第二问：判断条件错误(1)出 现 0.4762 ＞ 3.841 或0.4762 ≥3.841 等非有效判断条件.(2)判断条件临界值错，以为是0.05，出现判断条件K2 ≥0.05.(3)判断条件临界值错，以为是6.635，出现K2 ＜6.635 或K2 ≥__6.635，或6.635 ＜K2 ＜10.828.(1)独立性检验思想不清晰，判断条件使用不当.(2)前一步计算粗心大意，没有检验运算，纯属为了拼凑条件.(3)独立性检验思想不清晰，判断条件的临界值模糊不清.第二问：第二问中出现4.762 ＞3.841 等情况判断条件和结论仍错误误判为“没有把握”(1)缺少判断条件.(2)正确判断条件仍缺少结论.(3)其他错误如出现4.762 ＞3.841，96.159%把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异，有95%把握认为男、女顾客对该商场服务的________评价没有(无)差异.(1)独立性检验思想不清晰，判断逻辑不清晰.(2)粗心大意遗漏条件和结论.(3)独立性检验思想不清晰，逻辑链条混乱.

第一问：_求和公式写错Sn =a1+ n(n-1)混淆求和通项公式.2 d.________________________________第一问：方程S9 =-a5_________a3 =4没有展开.平时学习做题习惯所致.第一问：_结论写成an =8+(n-1)(-2).没有化简成an =10-2n.第一问：_结果写{an}=10-2n.对数列的概念不清.第一问：_直接令a1 =8 或d=-2.胡乱拼凑答案.第二问：_讨论d 的符号，得出两种结果.没有正确推出d 的符号.第二问：-4nd+ n(n-1)2 d ≥-4d+(n-1)d_直接消d 后不等式不变方向.没有考虑d ＜0.第二问：_不等式化为n2-11n+10 ≥0.不等号不变方向.18题第二问：_结果写成1 ≤n ≤10，且n ∈正数.对数列n 的属性理解不清.第二问：_结果写成(-∞,10]或(-1,10].对数列n 的范围随意扩大.第二问：_由a3 =4,a5 =0 直接得到d=-2.没有用到公式2d=a5-a3.第二问：(n-1)a1+ n(n-1)2 d ≥(n-1)d 直_接消掉(n-1).没有考虑n=1 情况.第二问：_由{an}递减，直接得出Sn ≥an.没有说清n 的情况.第二问：_由Sn−1 ≥0=S9 直接得到n-1 ≤9.没有说清n 的范围和Sn 的单调性.___________________________第二问：验证n=11 满足S11 ≥a11 直接得出_Sn ≥an.没有说清n ＞11 的情况.第二问：作出an = dn + (a1-d)和Sn =d ()2n2 +a1- d n 图形，图像不清，_省略步骤太多.2交点坐标没有解出或直接由图得出，解题过程省略太多.第二问：_________利用第一问结论an =10-2n.审题不清，对题目条件把握不到位.___________________________第一问：直接由面面平行得到线线平行，如：因为面ADD1A1// 面BCC1B，所以_ND//ME.定理使用的条件不清晰.跳步严重，没有借助平行的传递性来求证线线平行.第一问：直接由中点的条件得到线线平行，如：因为E,M,N 分别是BC,B1B,A1A中点，所以ND//ME.____________________________________________19题_第一问：由三角形全等得到线线平行且相等，如：因为△MHD ∽= △MBE，所以_ND//ME.几何位置和数量关系的应用混乱.第一问：由一组对边平行得到四边形是平行四边形，如：因为ND//ME，所以四边形_MNDE 是平行四边形.平行四边形的判定条件不熟悉.第一问：取异面直线的交点，如：连接AE 与_________BB1 交于点M.对空间线面关系的认识混乱.

第二问：未说明△C1DE 是直角三角形直_接求解面积.解题不严密.第二问：未说明三棱锥的高和底面直接求解_三棱锥的体积.解题不严密.第二问：_第二问将CE 当作所求高.对点到面的距离的概念理解不清晰._____________________________第二问：未证明CH⊥面C1DE，就直接当_CH 为点到平面之间的距离.解题不严密.19题第二问：第二问计算出错(1)算得C1D =2√3.(2)算 得S△DEC = √3，或 者S△C1DE =√51.(3)算得VC1−DEC =2√3.(4)算得SΔC1DE =√15.(5)算得点C 到平面C1DE 的距离________为12√(1)将C1D 当作斜边进行计算了.(2)计算三角形面积时未除以2.(3)计算三棱锥体积时未除以3.(4)将∠C1DE 当作直角进行计算.(5)用等体积公式时公式变形有误，如未将三棱锥体积先乘以3，再作运算.17√17 17 或17 ._________________________________________________第一问：一阶导数g(x)=f′(x)求错(1)g(x)=cos x-x sin x-1；(2)g(x)=cos x+x sin x-x；(3)g(x)=cos x+x sin x+1；(4)g(x)=cos x+x sin x；(5)g(x)=2 cos x+x sin x；(6)g(x)=-2 cos x+sin x-1；(7)g(x)=3 cos x-x sin x-1；(8)g(x)=2 cos x-cos x-sin x x2 cos2 x -1等等.(1)(cos x)′ = -sin x 去括弧时“负负得负”或者算错(cos x)′ =sin x.(2)x 的导数求错为x.(3)粗心抄错.(4)x 的导数求错为x 的两阶导数.(5)算错(x cos x)′ = -x sin x，x 的导数求错为x 的两阶导数.(6)算 错(sin x)′ = -cos x，算 错(x cos x)′ =-sin x.(7)把-(x cos x)′ = -(cos x -x sin x)算 错 为 -(x cos x)′ =cos x-x sin x.(8)把(x cos x)′算成( x_cos x)′同时___________________________________算错.20题第一问：二阶导数g′(x)=f′′(x)求错(1)g′(x)=cos x；(2)g′(x)=-x cos x；(3)g′(x)=x cos x-1；(4)g′(x)=x cos x+1；(1)cos x 的导数求错，x·sin x 的导数求错，1 的导数求错为1.(2)算错(x sin x)′ =sin x+cos x.(3)算 错 (x sin x)′ = sin x -x cos x(即：算错(sin x)′ = -cos x).___________________________________(4)1 的导数求错为1 或-1.第一问：一阶导数g(x)=f′(x)的单调性搞错(1)当x ∈(0, π)时，g′(x)＜0；当x ∈(π)2时，g′(x)＞0，所以g(x)在2,π(0, π)单 调 递 减，在(π)2单调递增.(2)当x ∈2,π(0, π)时，f′(x)＜0；当x ∈(π)2(1)对cos x 符号规律不清晰.(2)把导函数f′(x)的零点做成原函数f(x)的零点.(3)函数符号与导函数符号混淆不清.时，f′(x)＞0，所以f(x)在2,π(0, π)单 调 递 减，在(π)2 2,π__单调递增.__________________________________________________第一问：_不懂得求二阶导数.没掌握导数在研究函数问题中的工具作用._________________________第一问：g(x)= cos x - x sin x - 1 =√___x2+1 sin(x+φ)-1.把变量x 当作常数来处理，三角恒等变换公式混乱.第一问：_不计算f′(π)零点存在定理的条件没有掌握.= π 2 2 -1 ＞0.________________________________________第二问：________分类讨论不完整.思维不严谨.

第二问：_利用分离变量做，不分x=0,a ∈R 的情况.思维不严谨.第二问：利用分离变量做，不会求函数在原点处的极_限值.思维不严谨； (高中课本没有学习洛必达法则).20题第二问：________不会利用f(π)≥aπ，f(π)=0，可得a ≤0.思维不严谨.第一问：圆M 的圆心M(a,b)满足的方程组.(a+√2)2+(b-√2)2 =r2(a-√2)2+(b+√没有解出计算能力不足，不能对三元二次方程组进行消元.2)2 =r2_a=b 或者解出a 与b 的错误关系.第一问：写出圆M 的圆心为(0,0)；或者AB 为圆M_的直径；或者设圆M 为x2+y2 =r2.不懂如何解，根据条件直接猜出圆心M 的其中一个坐标(0,0)._____________第一问：设M 为(a,b)，因为与x+2 = 0 相切，所以半径r = a+2； 或者r = -2-a； 或者r =|a-2|；或者r =|b-2|；或者r =|a|+2；或者r = _|a+2|√a2+b2.漏掉距离公式中的绝对值；或者绝对值位置放错； 或者距离公式记忆错误； 或者把直线x+2 = 0 弄错成y+2=0._____________21题第一问：漏掉距离公式中的绝对值；或者绝对值位置放错； 或者距离公式记忆错误； 或者把直线_x+2=0 弄错成y+2=0.直接根据条件猜出圆M的半径.第一问：方程(a2+a2)+ 4 = (a + 2)2 或者方程(a+√2)2+(a-√2)2 =(a+2)2 仅得l 解；或者求出两个正确解后被舍去1 个；或者求_出两个错误解.计算能力不足，思维不够严密.第一问：(a+√2)2+(b-√2)2 =r2(a-√方程组2)2+(b+√2)2 =r2 r =|a+2|仅计算能力不足，思维不够严密._得l 解；另外一组解被漏掉或者被舍去.第二问：问题是是否存点P 使得|MA|-|MP|为定_值.作答写成：设存在或者当存在.不懂如何下结论性语言.第二问：圆心M(x,y)的轨迹方程求解错误；或者只_列出方程关系未能求出轨迹方程.计算能力不足.第二问：设lAB : y = kx，联立y =kx x2+y2 =4求计算能力不足.________出A 点坐标错误.第一问：直线l 的方程错误2x -√3y + 1 = 0 或√___3x+2y+11=0 等形式.(1)粗心，快速解答，不懂检验；(2)公式不熟悉，混乱.______第一问：无法消去曲线C 的参数t 如：曲线c :x= 1-t2 1+t2 y = __4t 尝试x+y =?,x-y =?x y =1+t2(1)参数分离不熟悉.(2)合并同类项不熟悉.(3)消元法解方程不熟悉.22题_?都无法消去t__________________________________________________第二问：不懂跳问解答，不懂利用曲线C 的参数方程_建立d=f(t)的目标函数.(1)平时没有跳问解答的训练.(2)解题思维不灵活._______第二问：懂得跳问解答，利用曲线C 的参数方程建立d = f(t)的目标函数d =_21-t2 1+t2 +4√3 t 1+t2 +114+3 .但不会求最值.√(1)均值不等式的运用不熟练.(2)分子、分母中，某变量的次数相同时，分子可降次处理，这个技巧没有足够的训练.________________

第二问：懂 得 跳 问 解 答，建 立 d =f(m,n)的二元目标函数d =|2m+__√√3n+11|(1)没有数学思想.(2)没有函数方程思想.(3)没有消元思想.4+3 ，无法求最值.22题第二问：没有算出特殊角d= |2 cos α+2__√3 sin α|√7没有检验意积，没有验证最值能否取得.= |4 sin(α+φ)+11|√7 .忘记涂选做题的信息点._________选做23题，但没涂23题的信息点.没有涂选做题信息点，扫描答卷时系统默认选做22题.______________

(一)文科卷注：23题相关内容由它文提供，详情请见本刊本期《2019年高考全国I卷不等式选讲试题分析及备考建议》一文.

(二)理科卷

题号考生的典型错误原因分析__________________________________导数公式、求导法则不熟悉，求错导数.13题求错斜率斜率为1、2、4、6、9等，分别得到直线为y = x、y = 2x、y =4x、y = 6xy = 9x_等.y = ex(3x2 + 9x+________3)x 没有将切点横坐标0 代入求出斜率.14题3n-1不理解数列前n 项的和，没有将n=5 代入.6 .1211不理解带分数的意义，将1211 3 理解为121+ 1 3.3.0.216.(1)考虑情况不完善P =0.6×0.6×0.6=0.216.(2)没有考虑具体哪一场负，P =4×0.6×0.6×_____________________0.5×0.5×0.6=0.216.15题0.054.只考虑了主场和客场，没有考虑胜负的因素______________________P =0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054.0.3.理解错误，P =0.5×0.6=0.3.________________0.162.考虑了主场和客场，也注意到了前面4 场胜3 场，但没有考虑负的概率P =3×0.6×0.6×0.5×____________________________0.5×0.6=0.162.将点B 误以为在是_双曲线上的点.圆锥曲线不熟悉，图形处理能力不足.√3+1.将点B 误以为在是双曲线上的点，得到|F1B| - |F2B| = 2a，结合其他条件可以得到|F1B| =√3c，|F2B| = c，(√3-1)c = 2a，从而e= c a = 2___√3+1.3-1=√16题√3-1.将点B 误以为在是双曲线上的点，得到|F1B| - |F2B| = 2a，结合其他条件可以得到|F1B| =√3c，|F2B| = c，同时记错双曲线定义，得到(√3-1)c = 2a，从而e = c 3+1=√a = _________2√________________________3-1.√3.概念模糊：由|OB| = |OF2| = |BF2| = c，可以得到直线OB 的斜率为√3，但错误的将渐近线_____________________________的斜率b a 当成离心率.________________________√2.√16题图形理解错误：以为F2B⊥OB，然后由|F2B| =|OB|，得到∠F2OB = 45°，直线OB 的斜率为b )_________________________________________________________________a_=1，故e= c a__________=1+(b a_________________=√2.17题第一问：由cos A= 1 2 直接得________A= π(1)思维不严密；(2)粗心、习惯不好.3.

第二问：停留在√2 sin A+sin B = 2 sin C 不知_如何继续.对三角形边角关系理解不到位.第二问：由√√)用cos 2π 3(2π=2 sin C_得2×3 = 1√2 +sin 3 -C 2 计算或用cos 2π 6√2 cos C- 1 3 = -1 3 2 时粗心忘记变号.2 +2 sin C =2 sin C.第二问：得√6√3 2 sin C = 2 sin C_后无法继续.2 +2 cos C + 1(1)辅助角公式运用不熟练；(2)对同角三角函数关系运用不熟练.________________第二问：由√√__6 2 sin C =2 sin C 得sinC+ π)2 +__3(2 cos C+1√2 或cosC- π)(辅助角公式运用不熟练.__2√6==3 17题_-2 2 ._______________________________________________________第二问：由sinC- π)(√2(√=6 2 或cosC+ π)3=-2 直接得C-π 2 3 =3π 6 = π 4 或C+π思维不严密，缺少必要讨论.4 .第二问：停留在√2, ①sin2 C+cos2 C =1, ②3 sin C-cos C =√无法算法设计不合理，导致运算困难._继续.第二问：由4 sin2 C + 2√6 sin C + 1 = 0 解出________sin C =√__6±√2思维不严密，未舍掉多余的解.4 ._______________________________________________第一问：证明四边形MNDE 为平行四边形出错，仅用一组对边平行(或相等)即得出_四边形MNDE 为平行四边形的结论.平行四边形的判定定理记忆不清.第一问：面AA1D1D//面BB1C1C，面NDEM∩面AA1D1D = ND，面NDEM∩面_BB1C1C =ME，所以ND//ME.面面平行的性质运用错误，应先证NDEM 共面后才有ND//ME 的结论.第二问：建系错误：以A(或D)为原点，以菱形的_两邻边为x,y 轴建立坐标系.审题不清，菱形的内角为60°，误认为90°.18题第二问：用几何法求二面角的平面角，作图过程_中缺乏必要的证明.用几何法求二面角的平面角的方法生疏.第二问：用等积法求二面角的正弦时h = 2__√5_或其它值(事实上h= 4√计算失误.5 5 5 )._____________________________________第二问：求法向量错误：n1 =( 7)√,n2 =_(2,0,0).3,1,1向量坐标错误或不定方程求解出错.第二问：_sin θ =cos〈n1,n2〉.用法向量求二面角的余弦公式理解错误.____________第二问：cos〈n1,n2〉= |n1·n2|向量夹角概念不清|n1||n2| 多加了绝对值.第一问：对于|AF|+|BF|=4 转化出错(1)|AF|+|BF|=x1+x2+3；(2)|AF|=x1+ 3 2；19题(3)|AF|2+|BF|2 =16；(4)|AF|+|BF|=|AB|；(5)|AF| + |BF| =(3)+(1)抛物线性质记忆出错.(2)抛物线定义运用出错.(3)错误使用平方公式.(4)错误认为AB 过焦点.(5)错误使用距离公式.(3)4 -x1,y1______________4 -x2,y2；

第一问：焦点坐标为F(3)抛物线定义运用出错.________________2,0等.第一问：设直线方程出错(1)设直线AB 的方程为x= 3 2y+b，_(2)设直线AB 的方程为y = 2审题出错，斜率概念理解出错.3x+b.________________________________第一问：二元二次方程组y = 3 2x+m,y2 =3x,消元时出错(1)得到3运算能力差或笔误.4x2+3(m-1)x+m2 =0；(2)得到9 4x2+3mx+m=3x；_(3)得到3x2-12mx-4m2 =0.第一问：得到9 4x2+(3m-3)x+m2 =0 后韦达定理表达出错(1)得到x1+x2 = 4(3m-3)19题9 ；(2)得到x1+x2 =- b 2a；(3)得到x1+x2 = 4m2(1)记错公式或笔误.(2)误记为对称轴公式.(3)两根之和与两根之积混乱记忆.9 ；_(4)得到x1x2 =-4(3m-3)9 ；______________________________________第一问：_解一元一次方程-4(3m-3)运算能力差，运算符号混乱.9 = 5 2 出错；_____________________________第二问：用第一问得到的方程y = 3 2x- 7 8 解第二_问.审题出错，未能厘清前后问题间的关系.第二问：使用直线的参数方程，但是参数方程设_错.斜率概念理解出错.第二问：对于-→AP =3--→PB 转化出错；(1)由-→AP =3--→PB，得y1 =3y2；(2)由-→AP =3--→PB，得y1 =-1 3y2；(1)向量运算符号出错.(2)向量运算系数出错.(3)漏掉系数3._(3)由-→AP =3--→PB，得y1 =-y2；√(3)2|y1-y2|，算 得_|AB|=2√用|AB| =1+2 13.____________________________________________________对应纵坐标的弦长公式用错.________用|AB|=x1+x2+p.错误套用焦点弦公式._______第一问：求导出错(1)f′(x)=-cos x- 1 1+x；(2)f′(x)=cos x- 1+x x ；(3)f′(x)=cos x- 1 x；(4)f′(x)=cos x-ln(1+x)；(5)f′(x)=-sin x- ___1____________________(1+x)2；(1)正弦函数，对数函数，复合函数求导公式和求导法则不清楚.(2)对数函数的运算法则不清楚.例如：因为f(x)= sin xln 1 - ln x，所 以f′(x)=cos x- 1 x.20题(1)没审清题意，以为求f(x)在(-1, π)2第一问：对f(x)只求一阶导，没求二阶导.存在唯一极大值点.(2)不 理 解 求 f′(x)在(-1, π)存在唯一极大值点，需对f′(x)求导，没理解_______________________________________________导函数的“函数”本质.2第一问：对f′(x)= cos x - 1 1+x 通 分 为(1+x)cos x-1 1+x , 然后对分子(1 +_x)cos x-1.误以为f′(x)的单调性与f′(x)分子的单调性一致.20题第一问没写g′(x)= -sin x- ___1(1+x)2 单调性或写错.(1)零点存在性定理理解偏差，零点唯一性的充分必要条件不明确.(2)不能灵活证明函数单调性(减+减=减或求导判断)_______________________________________________.

第一问：对g′(x)= -sin x - 1(1+x)2 通分为-(1+x)2 sin x+1(1+x)2 ，令h(x)= -(1 +x)2 sin x + 1，则h(x)在(-1, π)单调_减，或通分后不会做.2判断函数单调性的固化思维“求导，因式分解(通分)，判断符号”导致简单问题复杂化，不清楚常规解题步骤的目的.第一问：_g′(-1)计算出错.误以为1 0 = 0 或粗心计算错误._____________________第一问：没有g′(0)＞0，g′(π)＜0，直接给出∃α ∈(-1, π)2 2，使得g′(α)=0.不理解极值的判断过程，不会用零点存在性定理确定极值点的存在性，认为一定要求出明确的极值点后，再________________________________________判断极值点两边的符号.第一问：易知(或由图得)∃α ∈(-1, π)，使 得_g′(α)=0(并未画出图像).2表达的不规范.第一问：画出h(x)= sin x 和u(x)= ___1(1+x)2 在(-1, π)的图像，但未说明图像交点两边_异号.2直观图解缺乏严谨性，数形结合解题，表达不规范性欠缺.第一问“当x ∈(-1,0)时，g′(x)＞0，当x ∈(0, π)(的极大值______________________________________点.时，g′(x)＜0，”(1)计算错误或者猜测极值点为x=0.(2)误认为f′(x)=0 的解是f′(x)在-1, π)2 2 20题第一问：对g′(x)= -sin x- 1(1+x)2 的符号分(-1,0)和(0, π)讨论，但没有说明g′(0)_的符号.2分类讨论忽略区间端点的讨论.第一问：没有写“当x ∈(-1,α)时，g′(x)＞0，当x ∈(α, π)时，g′(x)＜0，”或“g(x)在(-1,α)单调递增，在2(α, π)单调递减”，_直接下结论.2函数极值的定义理解不到位，关于函数极值的证明题表达不规范.结论：f′(x)在__(-1, π)存在极大值点.审题时忽略了唯一性.2第二问：由图得h(x)= sin x 和v(x)= ln(1+x)在(π)2,π只有1 个交点.应说明两函数的单调性和交点两端的函数值的大小关系，解答题答题不能只是直观图解，还要严谨的代数________________________________________论证.第二问：因为h(π)(π)，h(π)＜v(π)，所以h(x)= sin x 和v(x)= ln(1+ x)在(π 2＞v 2)应说明两函数的单调性.只有1 个交点(但评卷中不扣分)_.2,π第二问：f(x)在(0, π)的单调性分析省略或错误.主要表现：(1)没有“∃x1 ∈2(0, π)，使得f′(x1)=0”及f(x)在(0, π)2的单调性分析；(2)当x ∈(-1,0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x ∈2(0, π)时，f′(x)＞0，f(x)单 调 递 增，f(0)= 0，则f(x)在(2-1, π)只有一个零点”.(3)由f(x0)＞ 0，f 2(π)＜ 0(其 中f′′(x0)= 0)，所以f(x)在2(x0, π)2有另一零点(已知f(0)=0).(4)“f(x)在((π)0, π)先增后减，f(0)= 0，f 2((1)审题不清.本小题的关键并非是“零点存在”而是“零点个数的确定”，所以必须分析清楚函数的图像分布.(2)计算失误.(3)不会或不敢假设变量来满足表达需要，或想要求出f′(x)具体的零点，但求解不出来.(4)不会通过特殊点来确定导函数图像，从而判断函数的单调性.0, π)没有零________点”.2＞0，所以f(x)在2

第二问：对f(x)在(π,+∞)的单调性分析错误.例：∃x1 ∈(0, π)，使得f′(x1)= 0，由(1)得当x ∈(x1,+∞)，f′(x1)＜0.2不会从导函数的趋向性判断导函数的符号，将第(1)小题的结论不假思索地推广至(-1,+∞)，错误判断f′′′(x)=-cos x- 2(1+x)3 ＜0.第二问：f(x)的单调性与f′(x)的单调性混淆，如：(1)“因为f(x)在(-1,α)单调递增，在(α, π)单调递减”.(2)由f′(x0)= 0，f′(e - 1)＜ 0(其 实 是f′′(x0)= 0)，所 以f(x)在_(x0,e-1)单调减.20题2解题不注意区分函数符号或变量符号，不注意区分导函数与原函数的图像和性质.第二问：没有讨论f(x)在(π,+∞)的零点情况.(1)不注意理解题意，误以为只要找到两个零点.(2)判断函数零点的固化思维“一定要判断出函数f(x)在(π,+∞)的单调性(具体画出函数图像)再判断零点”，不会从不等式的角度来判断零点的___________________________________________存在性.第一问：随机变量X 取值错误典型错误取值为：(1)-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4；(2)0，1，2，3，4；(3)-4，0，4；_(4)-2，-1，0，1，2；未读懂或不理解题意，没有理解到X 指的是一轮试验中甲药的得分.第一问：概率计算错误.(1)P(X =1)= 1 2、1 3、14...；(2)P(X =0)=(1-α)(1-β)；(3)P(X =0)=αβ；(4)P(X =-1)=α(1-β)；(5)P(X =1)=C12α(1-β)；(6)P(X =1)=αβ+α(1-β)=α2；(1)第二问的数值代入第一问中计算出具体概率值，或按自己的错误理解方式计算出具体的概率值.(2)X = 0 对应的事件理解不全面，只片面理解到都治愈或都不治愈.(3)调换了X = -1 与X = 1______________________________________的概率值.21题第一问：概率化简错误(1)P(X =0)=αβ+(1-α)(1-β)=2αβ-α-β；(2)P(X =0)=αβ+(1-α)(1-β)=_1-α-β；简单计算出错.第一问：随机变量错误取值的概率计算举例：(1)P(X =4)=C44α4(1-β)0；(2)P(X =4)= c04 c44；(3)P(X =4)=α4(1-β)4；(4)P(X =4)=4α(1-β)；(5)P(X =4)=C4nα4(1-β)n−4；(6)P(X = 4)= α(1-β)4(1+C14 +_...+Cnn+3)；试验过程或概率模型理解错误.第一问：分布列表达问题：images/BZ_14_1415_2755_1761_2986.png对分布列的概念理解不到位.

第一问：书写表达规范问题.(1)X =-1,0,1，X ={-1,0,1}；(2)X = 1 的概率不规范写法有：P(1)、P1、(X =1)、甲1 乙-1 的P；(3)αβ 书写不规范，α 写成d 或2，β_写成ρ 或B____________________________________________________；平时训练书写规范性没有落实，不规范的表达没有及时纠正.第一问：X ∼B(n,α)；概率模型理解错误.第一问：求出分布列的期望值.不看题目，思维定势.第二问：a、b、c 计算错误.错误举例：(1)a = 0.1、b = 0.5、c = 0.4(a 与c的值互换，导致公比为1 4)；(2)a = 0.4、b = 0.4、c = 0.2(导致公比为2)；(3)a = 0.01、b = 0.59、c = 0.4(导致公比为 1由于第一问的错误导致a、b、c计算错误.40)；_(4)a=0.5、b=0.4、c=0.1____________________________________；21题第二问：对递推关系不能进行有效变形，或变形运算出错.常见错误的公比有：pi+1-pi = 1 2 (pi-pi−1)；pi+1-pi = 1 4 (pi-pi−1)；pi+1-pi =2(pi-pi−1)；_pi+1-pi =6(pi-pi−1)________________________________________.(1)不会拆分pi，不明确变形的方向.(2)由于a、b、c 计算错误导致公比计算错误.第二问：证明方向出错._如 pi未看清题目要求，证明方向出错.pi−1 =...，(pi)2 =...；_____________________________________无有效变形的前提下直接根据中项性质(pi+1-pi)2 =(pi+2-pi+1)(pi-pi−1)判 断 数 列_等比________________________________________________________.瞎蒙，伪证.结论问题：(1)对等比下结论时不指出首项与公比.(2)数列是公差为4 的等比数列._(3)数列是公比为4 的等差数列___________________________________.表达不规范.递推关系式已经变形出了等比的定义形式，但无结论.后续有解答过程的是因为不知道要写.后续无解答过程的_________________________________________________________________________________________估计是因为没有时间写.计算出错：(1)p1 = 3 47-1，p4 = 43-1 47-1，p4 =43+2 47+2；(2)pi =p1·(22(i−1)+22(i−2)+···+1)，所以p8 =p1·(1+22+······+_____________214)= 1-215(1)是因为少算项数的问题.(2)是因为表达过程迷惑性太大导致项数计算错误.1-2 p1，故p1 = 1 215-1._______________________________22- 23_________________________________________________________________________题同文科

四、教学备考及建议

1.回归教材，落实四基

通过对历年的试卷分析，我们可以发现高考命题是以教材知识为载体，以教材习题为背景进行编制，考查学生的基本知识和基本技能，符合源于教材、高于教材、又不拘泥于教材的命题原则.这就要求我们在日常教学和备考复习中回归教材，落实四基.很多老师认为“把教材中的题目做完做熟，高考也考不到高分”，这是对教材的理解误区.我们自然会问，如何回归教材?

(1)回归教材中的概念.数学概念是数学学习的起点，是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点.教材编排内容时对学生如何形成数学概念是很有考究的，需要教师认真研读教材，而不是用解题训练来代替概念的形成.概念的理解过程是学生提升基本技能和运用基本思想方法的内功.

(2)回归教材中的例题和习题.教材中例题、练习题和习题既是如何运用知识解题的经典，也是思维训练的“模板”.教学过程中教师要注重教材中例题、练习题和习题的发现、提出、分析和解决的全过程，充分挖掘典型问题的内在价值与迁移功能，培养学生思维的灵活性与创新性.

(3)回归教材中蕴含的数学思想方法.数学思想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点[1].数学教材中的例题和习题往往蕴含了丰富的数学思想，如人教版必修1 第一章复习参考题中B 组第5题第(2)题：

若g(x)= x2+ ax + b，证 明：

此题是高中数学初步渗透数形结合的数学思想的一道好题.在教学过程中，教师不仅要求学生能从代数的角度证明该结论，还要引导学生从几何图形的角度对它解释说明，挖掘其蕴含的高等数学背景.在学生从代数和几何两个不同角度解决同一个问题的过程中，对数形结合的数学思想能进一步了解和感悟，为以后学生熟练的应用数形结合思想解决数学问题奠定基础.

2.既要讲套路，更要讲灵性

解数学题是有一定的模式的，各种不同类型的题目有相应的基本解题策略，这就是常说的“套路”，实际上就是我们讲的“通性通法”.考生不掌握基本的“套路”，拿到试题后天马行空式的发散思考，不能尽快找到最优解题策略，想在高考这种限时解答的考试中取得优秀成绩，那几乎是不可能的.从2019年试卷中可以发现，试题首先是考查学生对相关问题的通性通法的掌握.如文、理科第5题及理科第17题就是考查使用通性通法的例子.

但是，目前一种不好的现象是“背题型，背套路”，本质上就是没有理解“套路”背后的数学原理，缺乏灵性.这些“背题型，背套路”的考生一旦遇到与原有的题型有所变化时就不容易、甚至找不到正确的解题策略.“题型化、套路化”的教学容易学生就失去了对问题本质的探究过程，没有激发出“灵性”. 当真正考查到概念性的本质问题时，学生就会束手无措，生搬硬套.这两年高考命题破除常规，不仅试题顺序发生变化，而且以结合实际生活、美学、哲学等来命题，要求学生能灵活应对.如今年的第22题高考题(极坐标和参数方程)的失分，就是大部分学生不能把参数方程转化为直角坐标方程，其根本原因在于解决常见的“三角消参“或“线性方程消参”时只记住消参的操作方法，没有理解“消参”的本质，遇到陌生情境时就不能灵活应对.

如果说“套路”体现的是基本方法，基本技能，那么“灵性”体现的就是数学思想方法.在平时的数学教学备考中，不仅仅要学生掌握基础知识和训练基本技能，也要能够挖掘知识的广度、深度以及表达；不仅要掌握其中的套路，更要逐渐内化成数学思想和方法，获得活动经验，实现从“解题”到“解决问题”，从知其然到也知其所以然，达到从“就题论题”到“就题论法”再到“就题论道”.

3.注重学生的计算知识补充，提高计算能力

通过前面文理科试卷典型错误分析中可以看出，学生的运算能力存在一定程度的问题.与2015年之前的广东高考数学自主命题试题相比，全国卷对学生的计算能力要求更高.同时，由于广东省中考兼顾毕业考的功能，中考考纲对学生初中计算能力的要求与高中数学学习对初中数学计算能力的要求不一致.如广东省初中数学中考考纲对因式分解要求为：“会用提取公因式法，公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数)”；对分式计算的要求为：“了解分式和最简分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算”.但在高中数学学习阶段，分组分解法因式分解，非整指数的因式分解如繁分式的计算等都是要求学生掌握的数学计算基本功.这就要求在高中教学过程，教师要及时给学生讲解这些数学运算的基本方法和技巧，经过长期的训练提高学生的计算能力.