相空间中可控力学系统的Noether对称性与守恒量

季晓慧，朱建青

(苏州科技大学数理学院，江苏 苏州 215009)

1988年，Hilger提出了时间尺度理论[1]，将连续分析与离散分析统一起来。自时间尺度理论提出以来，已被应用于许多领域[2-11]，如变分原理、最优控制等。在动力学系统的研究中，对称性和守恒量的研究是一个重要方向。1918年，Noether揭示了Hamilton作用量在无限小变换群下的不变性，并得到守恒量。近年来，利用对称性寻找守恒量的研究已取得重要的成果[12-19]。但是，关于时间尺度上动力学系统的对称性与守恒量的研究相对较少。2004年，Boner[20]研究了时间尺度上的变分问题。从此开始，对于时间尺度上变分问题的研究进展迅速。2008年，Bartosiewicz和Torres[21]使用时间重新参数化技术得到了一般无限小变换群下的Noether定理。2013年，Cai等[22]研究了时间尺度上约束力学系统的Noether理论。2014年，Peng和Luo[23]研究了时间尺度上Hamilton系统的Noether定理。2015年，Song和Zhang[24]建立了时间尺度上的Birkhoff方程。随着控制理论的发展，许多学者对可控系统的对称性与守恒量进行了研究[25-27]。而，时间尺度上可控系统的研究刚刚起步。本文研究了时间尺度上相空间中可控力学系统的Noether对称性及其守恒量，并通过算例说明其应用。

1 时间尺度上相空间中可控力学系统的运动方程

设力学系统的位形由n个广义坐标qs(s=1,2,,n)确定，系统的运动受g个包含控制参数的一阶非chetaev型非完整约束为

β=1,2,,g;

s=1,2,,n;

r=1,2,,b

(1)

约束(1)对虚位移的限制条件为

s=1,2,,n;

β=1,2,,g;

r=1,2,,b

(2)

时间尺度上Lagrange函数为

(3)

(4)

假设系统非奇异，即

(5)

(6)

其中

(7)

引进时间尺度上广义动量和Hamilton函数

(8)

(9)

在相空间中，方程(1)、(2)和(7)式可写成

=0

(10)

(11)

(12)

时间尺度上Hamilton作用量为

(13)

对于时间尺度上相空间中有非势力的力学系统,Hamilton原理可表示为

(14)

(15)

δqs(t)|t=t0=δqs(t)|t=t1

=0

(16)

=0

(17)

利用式(16)有

(18)

将(18)式代入(17)式，得

(19)

方程(19)两边对ps求偏导数，得

(20)

将(20)式代入(19)式，得

(21)

将(21)式两边求Δ导数，得

s=1,2,,n;

β=1,2,，g

(22)

联立方程(20)和(22),由(12)式，可得

(23)

称方程(23)为系统(10)、(11)、(20)和(22)的时间尺度上可控完整系统的运动方程，通过方程(23)中的控制参数vr来控制系统的运动。

2 时间尺度上相空间中可控力学系统的Noether定理

引进时间变化的单参数无限小变换群

(24)

其中，ε为无限小参数，ξ0、ξs和ηs为该无限小变换的生成元。

定义1若作用量(13)在变换(24)下是广义准对称不变量，当且仅当对于任意的[ta,tb]⊆[t0,t1]，都有

(25)

判据1对于无限小变换(24)，如果无限小生成元ξ0、ξs、ηs满足如下条件

(26)

则，变换为Noether意义下的广义准对称变换。

定理1如果无限小变换(24)是系统(23)下的广义准对称变换，那么

=C

(27)

是该系统的守恒量。

证明

=0

推论1若T=R，非完整约束为Chetaev型时，σ(t)=t,μ(t)=0,于是(26)式给出经典的结构方程

(28)

则守恒量(27)称为经典的相空间中可控力学系统的守恒量[25]

I=psξs-Hξ0+G=C

(29)

3 算 例

定义时间尺度

T={hk∶k∈Z}

(30)

系统的Lagrange函数为

(31)

所受的非完整约束为

(32)

其中，v(t)为控制参数，v(t)是t的函数，假设(32)是非Chetaev型的，虚位移限制方程为

(33)

根据(8)式和(9)式，有广义动量和Hamilton函数

(34)

(35)

建立该系统的正则方程，由式(22)得

(36)

由(32)、(34)和(36)式，求得

(37)

于是有

(38)

根据式(2)和(26)式，可得

=-GΔ

(39)

(40)

由(39)和(40)式，解得该系统的生成元

ξ0=0,ξ1=1,ξ2=1,η1=η2=0

(41)

将(41)式代入(26)式,有规范函数

GΔ=1

(42)

解得

G=t

(43)

由定理1，可得到守恒量

I=p1+p2+t

(44)

4 结 论

本文研究时间尺度上相空间中可控力学系统的Noether对称性。通过时间尺度上Hamilton原理，建立系统的Hamilton方程，得到了系统的Noether等式以及守恒量的具体表达式。由于时间尺度理论在动力学系统的研究具有重要意义，本文可进一步拓展到时间尺度上可控力学系统Lie对称性，Mei对称性等。