时间尺度上非迁移完整力学系统的Lagrange 方程与Nielsen 方程

张 毅， 翟相华

（苏州科技大学 土木工程学院，江苏 苏州215011）

德国学者Hilger 博士在1988 年提出并建立了时间尺度分析理论。 作为实数集的任意非空闭子集，时间尺度分析理论将微分方程和差分方程的研究统一于时间尺度微积分的框架下，从而既避免了重复求解微分方程和差分方程，又揭示了连续和离散系统的本质差异[1-3]。 近年来，时间尺度分析理论在自然科学、社会科学和工程领域得到了广泛应用并取得了诸多成果，如动力学方程[4-5]、Noether 定理的推广[6-11]、Lie 对称性的推广[12-14]、时滞动力学[15]、Herglotz 变分问题[16]以及非迁移动力学[17]等。 丹麦哥本哈根大学Nielsen 教授在1935年得到了完整系统的一类运动微分方程[18]，被称为Nielsen 方程。 我国著名经典力学家梅凤翔先生在其法国国家科学博士学位论文中提出了Nielsen 算子， 建立了非完整力学系统的各类广义Nielsen 方程， 并证明了Nielsen 体系与Euler-Lagrange 体系的方程之间的等价性[19-22]。 笔者进一步研究时间尺度上非迁移Lagrange方程与Nielsen 方程对时间尺度的推广， 将建立时间尺度上非迁移完整力学系统的Lagrange 方程与Nielsen方程。 所谓非迁移是相对于迁移而言的，迁移变分问题是指Lagrange 函数中的广义坐标经过向前或向后跳跃算子的作用而发生了迁移。或许是因为时间尺度上变分问题的研究始于迁移情形[23]，非迁移变分问题的研究还很少。但最近的研究发现时间尺度上非迁移变分问题的解与离散系统的保结构算法密切相关[24]，因此其研究具有重要意义。

1 时间尺度微积分及其基本性质

时间尺度微积分理论的详细介绍，可参阅文献[1-2]。

设用T 为时间尺度，函数σ：T→T 是前跳算子，定义为σ（t）=inf{s∈T:s＞t}；函数ρ：T→T 是后跳算子，ρ（t）=sup{s∈T:s＜t}。 如果σ（t）=t，σ（t）＞t，ρ（t）=t，以及ρ（t）＜t，则点t∈T 分别称为右稠密和右发散、左稠密和左发散的。 向前步差函数μ:T→[0，∞）定义为μ（t）=σ（t）-t。

设函数f:T→R，t∈Tk，其中Tk=T（ρ（supT），supT]，如果对于任意给定的ε＞0，存在δ＞0，使得

对所有s∈U=（t-δ，t+δ）∩T 成立，则fΔ（t）称为在t 处的delta 导数。 如果对所有的t∈Tk，fΔ（t）存在，则称f在Tk上是delta 可微的，也记作fΔ（t）=（Δ/Δt）f（t）。

如果函数f:T→R 在T 中的每个右稠密点连续，且在每个左稠密点具有左极限，则称函数f 是rd 连续的。在T 上所有rd 连续的函数的集合记为在Tk上具有rd 连续的delta 导数的函数的集合记为

时间尺度上delta 导数的Leibniz 公式：令f 和g 在t 是delta 可微的，则fg 在t 是delta 可微的，且成立

其中fσ（t）=f（σ（t）），即fσ=f°σ。

时间尺度上delta 导数的分部积分公式为

时间尺度上链式法则：假设f:T1×T2×…×Tn→R 在点t0是完全delta 可微的，函数φj（j=1，2，…，n）在点ξ0的delta 导数存在，那么，对于ξ∈T，复合函数F（ξ）=f（φ1（ξ），φ2（ξ），…，φn（ξ））在该点存在delta 导数，其计算公式为

其中

函数f（t）在点t 相对ti的偏delta 导数。

2 时间尺度上非迁移Hamilton 原理

对于一般完整力学系统，时间尺度上非迁移Hamilton 原理可表示为

且满足互易关系

以及端点条件

其中T，Qs:T×Rn×Rn→R，T＝T（t，qs，qsΔ）是时间尺度上动能，Qs=Qs（t，qk，qkΔ）是广义力，qs是广义坐标，广义速度qsΔ是广义坐标qs对t 的delta 导数，假设这些函数都是函数。

设广义力Qs可分为有势广义力Qs′=-∂V/∂qs和非势广义力Qs″，其中V=V（qs）是势能，则原理（5）成为

其中L＝T-V 是时间尺度上非迁移Lagrange 函数。

当非势广义力Qs″≡0，则式（8）成为

式（9）连同互易关系（6）和端点条件（7）构成时间尺度上非迁移Lagrange 系统的Hamilton 原理。

3 时间尺度上非迁移Lagrange 方程

由原理（5），有

利用分部积分运算，式（10）成为

考虑到条件（7），并利用时间尺度上Dubois-Reymond 引理，得到

其中Cs（s=1，2，…，n）是常数。 于是有

方程（13）也可表示为

方程（13）或（14）称为时间尺度上非迁移一般完整系统的Lagrange 方程。

4 时间尺度上非迁移Nielsen 方程

由于时间尺度微积分运算的复杂性，以下研究限于单自由度系统。 从时间尺度上非迁移完整力学系统的Lagrange 方程出发，来推导时间尺度上单自由度非迁移完整力学系统的Nielsen 方程。

根据链式法则，动能对时间的delta 导数为

因此，TΔ对广义速度qΔ的偏导数为

比较式（16）和（17），有

将式（18）代入方程（13），得到

方程（19）可称为时间尺度上单自由度非迁移完整力学系统的Nielsen 方程。

如取T=R，则方程（19）退化为

这是完整力学系统的经典Nielsen 方程[19]。

5 算例

例1试建立时间尺度上的动力学方程，已知[21]

其中m 是质点的质量，g 是重力加速度，常数a＞0。

首先，计算动能对时间的delta 导数。 有

于是有

将式（23）代入方程（19），得到

这是利用时间尺度上Nielsen 方程（19）建立的该系统的动力学方程。

其次，计算

于是有

将式（26）和（25）代入方程（13），得到

这是利用时间尺度上非迁移Lagrange 方程（13）建立的该系统的动力学方程。 显然，方程（24）和（27）是完全一致的。

如取T=R，则方程（24）退化为

这是文献[21]给出的经典Nicomedi 问题的动力学方程。

例2质量为m 的质点被自然长为a，刚度为k 的r 个弹簧拴于正r 多边形的固定角点，其外接圆半径为b。 如果质点在多边形平面上轻轻地偏离位置，它将产生直线的自由振动[21]。 试建立时间尺度上该系统的动力学方程。

时间尺度上质点的动能和势能为[21]

经计算，有

因此，时间尺度上系统的Nielsen 方程为

时间尺度上系统的Lagrange 函数为

于是，方程（14）给出

这是时间尺度上非迁移Lagrange 方程。 显然，方程（31）与（33）是一致的。

6 结语

时间尺度微积分为研究复杂系统动力学问题提供了一个重要的数学工具，近年来在科学和工程的许多领域引起了人们广泛关注。文章研究了时间尺度上非迁移完整力学系统的Lagrange 方程与Nielsen 方程。主要贡献在于：一是建立了时间尺度上非迁移一般完整系统的Hamilton 原理；二是基于该原理导出了时间尺度上非迁移一般完整力学系统的Lagrange 方程；三是从非迁移Lagrange 方程导出了时间尺度上单自由度非迁移完整力学系统的Nielsen 方程。未来研究可考虑如何进一步将结果推广到时间尺度上多自由度系统以及非完整系统，建立时间尺度上一般完整或非完整力学系统的Nielsen 方程等。