基于信息技术视野的数学变式教学研究

摘  要 合理利用多种信息化技术手段，能有效辅助教学，已经成为很多一线数学教师的普遍共识。然而诸多数学教师在利用信息化教学手段的同时，出现形式化、泛娱乐化等多种多样的问题，对此从多方面进行探讨。

关键词 变式教学;数学;信息技术;信息化教学;几何概型;几何画板

中图分类号：G658.3    文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2019）06-0112-03

Research on Mathematics Variant Teaching based on Informa-tion Technology Perspective//WU Guolei

Abstract Reasonable use of a variety of information technology means， can effectively assit teaching， has become a common con-

sensus of many front-line mathematics teachers， but many mathe-matics teachers in the use of information-based teaching methods， while there are formalization， pan-entertainment and other diverse problems， this paper discusses from many aspects.

Key words variational teaching; mathematics; information techno-logy; informational teaching; geomegtric probability model; geome-tric sketchpad

1 引言

2011版高中數学课程标准中提出，信息技术的发展对学校数学教育的价值与内容乃至教学方式都产生很大影响;数学课程的设计与实施应根据实际情况，将信息技术与课程内容有机整合，注重实效。伴随着信息技术的飞速发展，越来越多的教师逐渐将信息技术与教学实践相结合，多种多样的信息化教学大赛在各级教育部门推动下也如雨后春笋般层出不穷。在这样全民皆信息化的背景下，诸多教师迷失了方向，抛弃了所有的传统教学模式，似乎只要和传统教学相关就是落后，就是低效教学，一味地追求新奇、吸引眼球的信息化手段，全然不顾“以学生为主体”的教学理念，为了达到所谓的“信息化”指标甚至造假，将数学课堂变成展示各种信息化手段的秀场，背离了教育初衷[1]。

另一方面，变式教学经过30多年的实践验证，作为一种常见的传统数学教学方法而经久不衰，早在十多年前的2003年，鲍建生等人就在《数学教学》杂志上分三期连载了《变式教学研究》一文，全文长达两万多字，系统地对过去关于变式教学的多项研究工作进行了系统化总结，使得变式教学变得更加科学、系统化，操作性得到进一步提升，成为传统教学法中的经典之一。

将这两者更好地结合，让信息技术手段更好地促进数学课堂教学，成为必然的选择。

2 几个概念

现代信息技术  信息技术，通常指的是对信息进行采集与传输、存储与加工、交流和应用的手段以及方法体系。而现代信息技术主要是指以网络、多媒体为核心的技术总称[2]。通常所认为的信息技术，主要包括但不限于多媒体电脑、校园教学网络、互联网以及在课堂上所使用的多媒体等，数学教师常使用的多媒体主要有PPT、几何画板、GeoGebra动态几何画板、Focusky演示和电子白板等。

变式  变式，在不同的文献中给出多种不同的定义。在《新课程下变式教学的研究》一文中，认为“变式就是把事物非本质的东西改变，用以突显事物的本质”[3]。教育家邵瑞珍教授认为，变式就是指在原有数学问题基础上，使用诸多例子，使得该数学问题原有的本质特征以及属性不产生变化，发生变化的仅仅是一些无关特征;可以采用的手段，可以从变更数学问题的情境以及解决问题的不同角度出发，加以突出事物的本质属性。这个定义不仅给出了变式的本质，还给出了具体的操作方式。

数学变式教学  刘长春认为，只要采用了变式的方式进行的教学，全部都应该称为变式教学。他认为“变式”包括“非本质属性”变式和“本质属性”变式。前者在教学中最为常见，能让知识的本质在问题变化中不发生任何改变，只对非本质的表象进行改变，如此改变的数学变式，才会使学生透过表象与现象看到本质;而后者却是在非本质的地方看起来非常相同或者相似，本质完全不一样。这样的本质属性变式，能防止数学知识之间的混淆及不合理扩大概念的外延。

对于不同类别的知识，华东师范大学的鲍建生和顾泠沅教授认为，变式教学中的变式，既包括概念性变式，也包括过程性变式。概念性变式能让学生从不同维度掌握概念，进而确定数学概念的内涵和外延。过程性变式是指为了认识新知识而采取的系列方法与步骤，可以让学生掌握不同概念之间的关系，是获得概念的一种方式。

3 变式教学的要素构成

变式教学，作为经过长期实践检验的成熟教育方法，得益于大量教育理论的指导，构建起来稳定的教育活动框架结构，本质目的在于帮助教师更好地完成教育任务，开展更高效的教学。为广大教师较为广泛接受的变式教学，构成要素主要包括理论依据、教学目标、操作程序、实现条件以及教学评价[4]。正如辩证唯物主义所认为的那样，世间所有事物都是内容以及形式的矛盾和统一。如果形式与内容相适配，信息技术将对课程教育的发展起到积极的促进作用。如果将变式看作外因，学生的学习行为就是内部因素，变式教学本质上是教师给学生提供了自主发展的机会与空间，启发引导学生自主地完成知识的内化任务。

从心理学的角度看，奥苏泊尔主张“有意义的学习”，认为学习行为与学习动机相辅相成。通俗地说，就是动机能够促进学生自主学习，而学生所掌握的知识反过来又会调动他的学习动机。变式教学恰好注重从多角度、多维度对问题展开分析，学生能自主反思问题，全方位揭示知识的本质，与新课改下的理念要求不谋而合。

4 信息技术背景下数学变式教学策略举例

毫无疑问，不管是什么样的课堂，都有教学任务，与此同时，教师必须保证所设定的教学任务是有积极意义的，这是数学课堂教学的前提所在。假若教学任务没有任何实际意义，那么整个数学课堂教学对学生来说毫无价值。因此，在不论何种形式的变式教学课堂中，教学任务的设定都是非常重要的。教师应根据学生的实际身心发展特点，有效地设置合理而又恰当的教学任务，唯有如此，才能让学生更积极主动地参与整个教学过程，促进每个学生的学习与发展。

在多样的信息技术维度下，有效地使得数学变式和变式训练相结合，通过层层递进的渐进式变式，结合学生合作交流，能使学生对知识的理解达到更高的层次，如图1所示。

众所周知，几何概型是普高数学课程标准新添加的内容，课标认为“统计与概率的基础知识”应该成为将来所有公民必备的常识。然而在具体实际教学中，要求仅仅是能“初步体会”几何意义，学会简单的几何概型计算即可。显然，该实验课程标准对几何概型的教学要求并不高。众所周知的是，掌握好几何概型的教与学，在培养学生的问题意识、问题解决方法、逻辑思维推理等方面，都具有显而易见的教育作用。那么，对于这类知识难度很小但教育意义不小的教学内容，该如何展开有效教学？

【问题1】从区间（0，9]中任取一个整数，则此整数不大于3的概率是几？

鑒于学生已经完整学习过古典概型知识，他们会很容易就得到答案：

可以将上述问题略作改动，得到第一个变式：

从区间（0，9]中任取一个实数，求该实数不大于3的概率。

学生经过比较该变式与问题1的异同，会发现已经有本质的不同，问题所述的事件所包含的基本事件不再是有限的，不满足“有限性”要求，不可以使用古典概率模型;但只需要简单比较两个区间，就可以发现它们在数轴上所占的长度之比，从而迅速地得出概率：

为更深入地解释上述问题，教师在实际教学中应充分利用现代化教学手段，可以利用课件动态地呈现问题以及相对应的图形，如数轴、区间段等，并启发引导学生主动探索问题与变式间的异同，充分理解几何概型公式的使用前提。

在上述教学设计中，无须选择常见的情境创设方式，比如学生的生活实际经验，又或是高大上的科学经典问题等，只需将两道难度不大、形式上简单又直观的问题，直接用课件呈现即可。从教学实际看，教学所需时间短，起到承上启下的作用，展示了新知识，让学生明白了学习几何概型的必要性，而且为后续概率问题几何化度量做好了铺垫。

【问题2】如图2所示，已知木板上阴影部分的面积占整个木板总面积的四分之一。在只能落在木板上的前提下，小球随机落下，问：小球落在阴影部分的概率是多少？

展示该问题后，教师可以结合动画，动态演示小球自由落下的画面，学生会很快得到结论：小球落在指定区域的概率是1/4，这是由该阴影部分的面积占整个木板总面积的1/4所决定的。

在肯定学生答案的基础上应进一步提问：为什么阴影部分面积占木板总面积的1/4，就能肯定答案一定是1/4呢？在给予学生充分独立思考时间后，师生、生生间交流，作如下分析：

小球随机落下的每一次，都对应着木板上某一点;小球落下的无数次，在木板上一定也有无数个点与它对应。将阴影部分上所有的点放在一起时，也就组成了阴影部分;相应的，木板上所有的点也会组成木板的总面积。

这样就将上述概率问题转化成几何度量的问题，向着几何概型迈进一大步。进一步地，该概率的大小由哪些因素决定？此时，教师只需稍作引导，学生就可以得到：该事件发生的概率，仅和阴影部分的面积大小以及整个模板的面积有关，与阴影部分的形状没有关系。

通过上述系列变式问题的解答，可以从本质上让学生认识上述概率问题是怎样逐步向几何度量转化的，为后续学习几何概型做好准备;紧接着，可以借助Excel或几何画板制作的模拟实验，进行更为直观的实验，让学生在实验中定量地发现：随着落下的次数增多，小球落在阴影部分的频率就会越来越趋近于1/4。

对于上述问题2，经过实验模拟验证，可以在较短的时间内完成探究过程，增强教学过程的趣味性，对于培养学生探究思维也有积极作用。

【问题3】问题1的变式与问题2有什么共同点？

教师利用教学课件将两道问题及对应图形在一个页面同时呈现，引导让学生思考。通过讨论与交流，学生能得出关于几何概型的结论：

1）几何概型的基本事件个数是无限的;

2）每个基本事件发生的可能性相等，也就是说是等可能发生的;

3）某事件发生的概率，与构成这个事件的几何测度有关，且仅与此有关。

有了上述逐层递进的变式问题，在教师的引导下，学生应该通常能够大致给出不够全面、完善的几何概型的定义;接下来，教师引导学生完善定义。如此设计，瓜熟蒂落，水到渠成。

教师用表格的形式对比古典概型的特点，找出几何概型与前者在特点上的异同：无限性与等可能性。进一步类比古典概型，得到几何概型的计算公式：

最后，将古典概型与几何概型的异同用表格形式逐步展示。

5 结语

显然，信息技术广泛应用于数学课堂教学，有力地提高了课堂教学的效率，改变了教师与学生的认知活动。信息技术俨然已经成为教学的一部分，随着越来越多的智能化设备进入课堂，需要人和智能设备协同思考，对教师利用信息化手段结合传统教学方法——变式教学的水平也提出新要求。■

参考文献

[1]吴国磊.对变式教学再思考[J].高中数学教与学，2014（24）：11-13.

[2]张莉.基于信息技术的数学问题解决教学探究[D].辽宁：辽宁师范大学，2007.

[3]蒋玉兰，徐璋.新课程下变式教学的研究[J].管理学家，2014（16）：37-40.

[4]纪宏伟.例习题教学中的变式教学：以涂色问题为例[J].数学教学研究，2014（5）：61-64.