高中数学常用思想方法举隅

☉江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学 王光华

一、问题背景

数学思想，即对数学理论的本质认知，数学方法是数学思想的具体化表现，两者的实质相同，只是侧重点不同，但最终都通过数学方法表现出来.高中数学内容繁多，难度较大，但是大多数问题是有规律可循的，即通过特定的数学方法可以准确解答.常见的数学思想方法有：函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论及类比.

二、数学思想方法解题策略

在解题过程中灵活地应用数学思想方法，能够加深学生对问题的理解，使其数学综合素养与独立思考能力得到提升，创新思维能力也得到加强.同学们可以体会到任何数学问题的解决过程都是分析与方法选用的结果，从而对数学的畏难情绪也得到有效改善.本文结合苏教版高中数学的教学实际，着重讲解以下思想方法的应用.

1.函数与方程

方程思想与函数思想联系紧密，在实际解题中往往会组合出现，常见的题型有参数问题、恒成立问题、最值问题等，方程的解与函数零点个数之间的转化就是典型的函数与方程问题.

例1关于x的方程x2-|x|+a-1=0有4个不同的实数解，试求解a的取值范围.

解析：本题已知方程实数解的个数，求解参数的取值范围，直接求解方程则很难得到结果，若采用函数与方程的思想将问题转化为函数图像的交点个数问题，则难度就大大降低.

首先分离参数，将表达式转化为x2-|x|=1-a，这时，方程有4个实数解就变成了函数f（x）=x2-|x|与直线y=1-a的图像有4个交点，结合函数图像可知求解可得a的取值范围为

借助函数与方程的思想方法解决问题最关键的就是简化问题的形式，实现数与形之间的转化，常用的解题思路有构造函数、分离参数等.

2.转化与化归

在解题过程中，寻找题目中已知条件之间的联系，按照一定的方法原则将未知的问题转化为已知的条件，这就是转化与化归的思想方法.

例2如图1所示，直三棱柱ABC-A′B′C′的底面是边长为3的等边三角形，其中AA′=4，M是AA′的中点，P是BC上的一点，已知点P沿着棱柱的侧面经过CC′到AA′的最短路径为，假设该最短路径与CC′交于点N，试求解：

（1）PC与NC的长；

（2）三棱锥C-MNP的体积.

解析：已知条件中含有最短路径的信息，即立体几何中的最值问题，可以进行转化.

图1

图2

（1）如图2所示，将三棱柱沿着侧棱BB′展开，假设PC的长度为x，易知MP2=MA2+（AC+x）2，因为MA=2，AC=3，所以可得x=2，即PC=2.又因为NC∥AM，可得故

在解决这类立体几何中的最值问题时，常规的思路就是将立体几何“平面化”，这里用到的就是转化与化归的思想.在本题中，求解三棱锥体积时更换“顶点”的处理方法也是常规思路.

3.数形结合

数形结合的思想方法就是把“数”与“形”一体化考量，即实现几何与代数的结合.数形结合的方法有效地规避了代数的抽象性与几何的粗糙性，从而将代数的结构、关系、变化与直观的几何图形联系起来.

例3计算的值.

解析：假设在单位圆中，点A的坐标为（cos20°，sin20°），点B的坐标为（cos40°，sin40°），那么所求表达式的几何意义就是单位圆上A、B两点所连直线的斜率，因此可以绘制出图形，如图3所示.∠BCD=∠BOC+，因此直线AB的斜率

图3

在教材中，三角函数的定义是借助单位圆来实现的，因此在解决有关三角函数的计算问题时，借助单位圆来实现“图形化”也是一种有效的解题思路，这就是数形结合的思想方法.

4.分类讨论

在解题过程中，我们经常会遇到求解复杂且无法采用统一的标准进行计算的问题，而将这种复杂的问题情境进行划分，根据各自的标准进行求解，这就是分类讨论的思想方法，可以将复杂的问题细化，是一种有效的解题思路.

例4已知函数f（x）=cos2x+asinx-a2+2a+5的最大值为2，试求解参数a的取值范围.

解析：已知表达式中含有两种不同的三角函数形式，因此很容易想到将函数名统一.f（x）=cos2x+asinx-a2+2a+5=1-sin2x+asinx-a2+2a+5=-令sinx=t，t∈［-1，1］，则原函数变为2a+6，t∈［-1，1］.观察该表达式，此为二次函数形式，且开口向下，对称轴为，属于动轴定区间问题，因此需要分类讨论.

5.类比

应用类比的思想方法，可以将已经学过的、简单的思维方法迁移到新接触的、复杂的问题上，进而解决教学实践中遇到的难点.

例5已知等差数列{an}，如果a10=0，则满足a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19且n为正整数）.类比上述性质，若在等比数列{bn}中，如果b9=1，则有怎样的等式？

解析：在等差数列{an}中，如果a10=0，那么a10前后对称位置项的和为0，如a9+a11=0，a8+a12=0，…，因此a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19且n为正整数）.

通过类比，在等比数列{bn}中，如果b9=1，那么b9前后对称位置项的积为1，如b8b10=1，b7b11=1，…，因此可得b1b2…bn=b1b2…b17-n（n＜17且n为正整数）.

在类比等差数列与等比数列的性质时，最常用到的就是“和”与“积”的类比、“差”与“商”的类比、“算数平均值”与“几何平均值”的类比.需要注意的是，类比是一种思维方式的迁移，而不是比较两个对象之间的差异性，重点是要寻找对象之间的相似点，以此为基础来建立联系.

三、结束语

综上所述，数学思想的形成过程是一个积累与内化的过程，通过接触不同类型的数学问题，在解决过程中实现未知向已知、复杂到简单的转变，总结出规律性的思想方法.在教学过程中，教师要引导学生学会将遇到的新问题向已经学过的知识内容或者是已经训练过的题型上面转化，将特殊的问题一般化，抽象的问题具体化，灵活应用以上数学思想方法科学解题，从而提高解题效益.