基于增量线性模型预测控制的无人车轨迹跟踪方法＊

邹凯 蔡英凤 陈龙 孙晓强

（江苏大学，镇江 212013）

主题词：无人驾驶车辆 增量线性模型 轮胎魔术公式 模型预测控制 轨迹跟踪 稳定性

1 前言

轨迹跟踪控制是无人驾驶车辆运动控制的基本问题[1]，需要考虑的因素主要有跟踪精度、驾驶稳定性和安全性，国内外学者对此开展了大量研究。目前，轨迹跟踪控制算法主要包括经典控制方法[2-3]、最优控制方法[4]、自适应控制方法[5]、滑模控制方法[6]、模糊控制方法[7]和鲁棒控制[8]。Hayakawa 等人设计了PID 控制器，并且将道路曲率作为前馈加入控制器，实现了车辆在速度变化时的平滑转向[9]。PID控制器不以模型为基础，跟踪精度不高，且难以添加行驶约束条件[10]。模型预测控制作为一种基于模型的控制器具有很高的控制精度，在过程控制中已经取得较为广泛的应用，且便于添加约束条件，成为研究的热点方向[11]。Falcone等人将模型预测控制应用于车辆轨迹跟踪问题，建立了完整的3自由度整车非线性模型，并针对非线性模型预测控制实时性差的不足，提出线性时变模型预测控制，控制效果较好[12-13]。王秋等人针对车辆动力学建模简化过程中出现的未建模动态，建立了考虑未建模动态的2自由度模型，根据随机模型预测算法设计控制器[14]。张巍考虑采样时间对模型预测控制器（Model Predictive Controller，MPC）计算时间的影响，提出一种采样时间随道路曲率可变的方法，提高了控制的实时性[15]。刘凯等人通过研究地形因素对车辆转向特性和稳定性的影响，提出一种变步长的模型离散化方法，并利用模型预测控制进行试验，能够在保证及时动态响应的基础上，实现较长的轨迹预测时域以及保证计算的实时性[16]。

综上所述，对无人驾驶车辆轨迹跟踪问题的研究已经取得了较大的进展。但是，现有的研究都是将车辆轮胎侧偏角假设或者约束在线性区域内，当车速提高或者路面附着系数降低、轮胎力进入非线性区域时，车辆容易失控甚至侧翻，因此必须考虑轮胎力进入非线性区域的情况。

本文将轮胎魔术公式在每个控制周期线性化，建立轮胎公式时变模型，结合简化的车辆二自由度模型，获得车辆时变模型和状态空间方程，扩大轮胎力计算时侧偏角的适用范围，设计增量线性时变模型预测控制器（Incremental Linear Time-Varying Model Predictive Controller，ILTVMPC）进行横向轨迹跟踪。考虑到影响车辆操纵稳定性的侧滑角和道路附着系数，在二次规划求解过程中增加控制量和控制增量等的约束。最后，与非线性模型预测控制进行对比仿真验证。

2 车辆2自由度模型

车辆整车动力学模型主要分2种类型，即分析车辆平顺性的质量-弹簧-阻尼模型和分析车辆操纵稳定性的车辆-轮胎模型，本文采用车辆-轮胎模型。模型预测控制是一种基于模型设计的控制器，为了减少计算量，有必要在较为准确地描述车辆动力学过程的基础上尽可能将算法简化成模型预测控制器可以使用的形式[17]：

a.假设无人驾驶车辆在平坦路面上行驶，忽略车辆垂向运动。

b.只考虑纯侧偏轮胎特性，忽略轮胎力的纵、横向耦合关系。

c.用单轨模型描述车辆运动，不考虑载荷的左、右转移。

d.忽略纵向和横向空气动力学效应。

基于以上假设，车辆只有纵向、横向和横摆3 个方向的运动。假设车辆为前轮驱动，满足以上设定的平面运动车辆单轨模型如图1所示。

图1 车辆单轨模型

此处只考虑车辆匀速行驶，综合前轮转角小角度假设，可以考虑采用牛顿第二定律建立横向和横摆2自由度模型[18]：

式中，a、b分别为车辆质心到前、后轴的距离；m为整车质量；Iz为车辆绕z轴的转动惯量；Fcf、Fcr分别为前、后轮的侧向力；y为车辆质心侧向位移；vx为车辆质心纵向速度；φ为横摆角。

轮胎的侧向力可以表示为轮胎侧偏角、路面摩擦因数和垂向载荷等参数的复杂函数。前轮侧偏角为：

式中，δ为前轮转角；θvf为前轮速度方向与纵轴的夹角。由于只考虑前轮转向，后轮侧偏角为：

式中，θvr为后轮速度方向与纵轴的夹角。

车轮的侧向速度与纵向速度的比值可以用来计算前、后车轮速度角θyf、θyr：

假设车辆行驶速度变化缓慢，忽略前、后轴的载荷转移，可得车辆前、后轮受到的垂向载荷Fzf、Fzr：

试验证明，当侧偏角较小时，轮胎侧向力与侧偏角成线性关系。但考虑到车辆在中、高速工况和地面附着系数较大的情况下，轮胎力会进入非线性区域，此时，轮胎力研究需要更加精确的轮胎动力学模型。Pacejka提出的魔术公式轮胎模型提供了适用范围更大的轮胎侧向力、纵向力和横摆转矩计算方法[19]。本文使用的轮胎侧向力Fc可以用ADAMS/TIRE 模块自带的Pacejka’89轮胎魔术公式计算得到：

式中，x=α+Sh；α为轮胎侧偏角；Sh为曲线的水平方向漂移；Sv为曲线的垂直方向漂移；B为刚度因子；C为曲线的形状因子；D为曲线巅因子，表示曲线的最大值；E为曲线的曲率因子，表示曲线最大值附近的形状。

各参数的计算公式为：

式中，A0～A13为魔术轮胎公式的参数；γ为外倾角，Fz为轮胎垂向载荷。

本文假设车辆行驶过程中外倾角和载荷不变，将上述参数代入式（8），可以得到轮胎侧向力与轮胎侧偏角的函数关系，进而代入2自由度模型建立车辆动力学模型。

最后，将车辆坐标系和大地坐标系进行转换：

综合式（1）～式（10），实际控制中路面摩擦因数设为已知，可以将车辆横向控制动力学模型写成状态空间表达式：

其中，ξdyn=为状态量；udyn=[δf]为控制量；ηdyn=(φ,Y)T为输出量。

3 增量线性模型预测控制器设计

非线性模型预测控制器能够解决系统存在非线性的问题，但是使用fmincon求解器求解速度较慢，尤其是在预测时域和控制时域较长的情况下，非线性模型预测控制会损失较大的实时性。因此，针对非线性车辆模型，可以线性化优化后转换成求解速度更快的二次规划问题。

本节在分析轮胎动力学时仍使用轮胎魔术公式，假设外倾角为0，且轮胎载荷不变，因此可以将魔术公式在工作点(α0,F0(α))处线性化：λ=F0+K·Sh-K(α+Sh)。

将轮胎侧向力代入式（1），得：

式中，Kcf、Kcr、λcf、λcr分别为式（12）中的参数K和λ进行前、后轮侧向力线性化拟合后的参数。

式（10）存在三角函数，也需要进行线性化，采用泰勒级数在工作点展开，忽略高阶项得到：

从而，整个车辆系统可以写成增量线性时变状态空间表达式：

对于此连续状态空间方程，采用一阶差商的方法进行离散化处理，得到离散的状态空间表达式：

式中，A(k)=I+TA(t)；B(k)=TB(t)；D(k)=TD(t)；T为采样时间。

设：

将式（16）改为增量模型：

根据模型预测控制的基本思想，设置控制时域Nc和预测时域Np，且Nc≤Np，可以将预测时域内的系统输出写成：

预测时域Nc内的输入量写成向量形式：

根据模型预测控制原理[20]，可以获得k时刻的系统输出方程：

由于车辆动力学模型本身的复杂性，在设计目标函数时增加了松弛因子，目标函数为：

式中，Δη(t+i)=η(t+i)-ηr(t+i)为预测时域内预测输出与参考轨迹的偏差；ε为松弛因子，保证每一次优化都有可行解；ρ为松弛因子的权重系数；Q为输出偏差的权重系数；R为控制增量的权重系数。

设：

代入式（22），可以转换为求解速度较快的标准二次规划问题：

因此，模型预测控制的每一步求解都可以转换成带约束的二次规划问题：

在每一个求解周期内，计算上述二次规划问题可以得到控制时域内的一系列最优控制输入增量序列：

根据模型预测控制的原理，只将该控制序列的第1个元素作为被控对象的实际输入增量，则下一时刻被控对象的实际输入为：

在进入下一个循环之后，系统重复上述过程使车辆跟踪目标路径。

4 仿真与分析

基于上述模型建立和控制器设计，利用MATLAB/Simulink分别对两种控制器进行不同工况下的仿真。

假设在一定路面条件下，轮胎魔术公式侧向力相关参数和整车参数分别如表1、表2所示。

表1 魔术轮胎公式侧向力参数

表2 整车参数

分别设计A、B 两种控制器进行仿真分析。控制器A将轮胎魔术公式在每个采样点线性化，建立时变预测模型，并用增量线性时变模型预测控制进行轨迹跟踪。控制器B基于轮胎魔术公式设计预测模型，并用非线性模型预测控制进行轨迹跟踪。控制器其他参数如表3所示。

4.1 换道工况仿真

换道工况的轨迹方程由横向位置Yref和航向角φref构成，二者均为关于纵向位置Xref的非线性函数，目标路径横向位置Yref的表达式为：

表3 控制器参数

分别采用非线性模型预测控制和增量线性模型预测控制器进行轨迹跟踪，对比两种控制器的轨迹跟踪效果、车辆行驶稳定性和计算实时性，仿真结果如图2、图3所示。

图2 车辆参数仿真结果对比

图3 仿真计算时间对比

4.2 双移线工况仿真

目标路径横向位置Yref的表达式为：

目标路径航向角φref的表达式为：

仿真结果如图4、图5所示。由上述仿真结果可知，采用轮胎魔术公式在每个采样点进行线性化，可以实现良好的轨迹跟踪效果。相比于使用非线性模型预测控制器，虽然精度略有下降，但在可以接受范围内。精度下降的主要原因在于ILTVMPC在将非线性模型线性化时，省略了泰勒公式的高阶部分，因此控制器中的模型不能完整表示被控对象。而非线性模型预测控制器模型基本可以准确表示被控对象，因此精度较高。但是，在将轮胎力线性化后，用ILTVMPC 控制器进行轨迹跟踪，实时性得到了极大的提升，同时稳定性也能得到较好的控制。

图4 车辆仿真结果对比

5 结束语

本文对无人驾驶车辆横向控制进行研究，在轮胎魔术公式基础上建立轮胎公式时变模型，结合简化的车辆2 自由度模型，获得了车辆时变模型和状态空间方程，并利用MATLAB/Simulink 在换道工况和双移线工况下进行仿真。结果表明，基于轮胎公式时变模型设计的模型预测控制器在跟踪精度良好的前提下，计算实时性较非线性模型预测控制器大幅提升，且稳定性好。本文提出的方法可以用于解决车辆高速行驶时轮胎侧偏角进入非线性区域而控制失稳的问题。后续将采用实车中拟合度更高的轮胎动力学公式进行研究，并通过实车试验验证所提出方法的有效性。

图5 仿真计算时间对比