改进的车辆振动响应均方根值计算公式及其工程应用*

于曰伟，赵雷雷，周长城

（山东理工大学交通与车辆工程学院，淄博 255000）

前言

在众多分析方法中，解析法因其可以直观地展现出量与量之间的对应关系，同时可使设计人员快速有效地对工程选择做出合理的判断，因此，在车辆工程研究领域受到了研究者的青睐［1-2］，开展了大量研究。其中，在车辆振动响应解析求解方面，很多文献基于1/4车辆模型，以白噪声路面谱作为车辆系统的路面输入模型，推导得到了车身垂直振动加速度、悬架动挠度和车轮动载荷均方根值计算公式，并将其成功应用于诸多工程实践中［3-11］。然而以1/ω2的形式出现的白噪声路面谱与实际路面相比，在低频部分存在高估现象，致使计算得到的高速行驶状态下的车辆振动响应结果与实际偏差较大。

针对以上问题，在前人工作基础上，用更加贴近于路面实际的以1/（ω2+ω02）形式出现的滤波白噪声路面谱作为车辆系统的路面输入模型，对车辆振动响应均方根值的计算公式进行重新推导。作为现有众多研究的延伸和补充，该研究将能更为完善地为车辆行驶振动响应的估计、路面等级的预测和车辆初始设计时悬架系统阻尼比的估算提供有效的技术保障。

1 1/4车辆模型

1.1 车辆行驶振动模型

为简化模型建立，同时便于结果分析，利于工程应用，在车辆振动响应解析求解中，通常将整个车辆悬架系统简化为单轮线性2自由度系统模型［1-2］进行研究，如图 1所示。

图1 车辆行驶振动模型

图中：m2，m1分别为单轮簧上、簧下质量；K2，Kt分别为悬架和轮胎刚度；C2为悬架阻尼；z1，z2分别为车轮和车身的垂直位移；q为路面不平度输入。

根据牛顿第二定律，可得图1所示模型的振动微分方程为

为使所讨论的物理量具有推广价值，引入以下辅助变量：

式中：rk为刚度比；rm为质量比；ω2为车身固有圆频率；ξ2为悬架系统阻尼比。

因此，式（1）可变换为

将式（2）进行傅氏变换，并通过相应数学推演，可分别求得车身垂直振动加速度·z·、悬架动挠度f和车轮动载荷Fd相对路面位移输入q的频率响应函数为

式中：j为虚数单位；ω为路面不平度激扰圆频率。

1.2 随机路面输入模型

国际标准化组织推荐采用路面功率谱密度来描述路面不平度的统计特性，通常在车辆振动响应理论分析中，普遍采用以圆频率ω表示的白噪声路面谱［2］：

式中：n0为参考空间频率，n0=0.1 m-1；Gq（n0）为参考空间频率n0下的路面功率谱密度，即路面不平度系数；v为车辆行驶速度。

由式（6）可知，当ω趋向于0时，路面输入振幅将趋向于无穷大，而实际路面并非如此。因此，为更真实地反映路面谱在低频范围内的不平度情况，通常在式（6）所示的白噪声路面谱中引入一个下截止频率ω0，这样当频率低于ω0时，可以使路面谱密度幅值保持恒定，由此，可将路面输入模型表述为滤波白噪声路面谱形式［12］，即

式中 ω0=2πvn00，n00为空间下截止频率，n00=0.011 m-1。

例如，根据式（6）和式（7），所得到的车辆行驶速度v=72 km/h时的路面功率谱曲线如图2所示。由图2可以看出：在双对数坐标下，白噪声路面谱是一条斜率为-2∶1的直线，而滤波白噪声路面谱则近似于由斜率分别为-2∶1和0∶1两段折线组成，两者之间圆滑过渡；与滤波白噪声路面谱相比，白噪声路面谱在低频部分对路面不平度存在高估现象。

图2 双对数坐标下的路面功率谱密度曲线

2 车辆振动响应均方根值的解析求解

尽管利用动力学仿真分析软件能很好地模拟车辆的实际行驶状态，但对现象的深入理解仍然需依赖简单的数学模型，且在工程实践中，为便于对车辆行驶振动响应进行估计、对路面等级进行预测和在车辆设计初始阶段对悬架系统阻尼比进行估算，通常需将车辆的振动响应用简单的公式加以描述。本文中以更加贴近于路面实际的滤波白噪声路面谱作为车辆系统的路面输入模型，对基于1/4车辆模型的车辆振动响应均方根值的计算公式进行推导。

2.1 传统振动响应均方根值计算公式

根据式（6）所示的白噪声路面谱，可知目前常用的传统车身垂直振动加速度、悬架动挠度和车轮动载荷响应均方根植计算公式［8-9］分别为

2.2 改进的振动响应均方根值计算公式

上已述及，式（7）所示的滤波白噪声路面谱更加接近于实际路面，因此被广泛应用于车辆动力学仿真分析［13］，但模型的复杂性致使目前一直尚未给出该激励模型下的车辆振动响应均方根值计算公式。下面运用随机振动理论和复变函数积分求解方法，对该路面谱下的车辆振动响应进行求解。

根据车辆随机振动理论，可知在路面随机激励Gq（ω）作用下，某一线性系统的响应均方值为

式中：x表示系统响应量；H（jω）x～q为系统的频率响应函数。

对于线性系统，由于其幅频特性存在以下关系：

因此，根据式（3）～式（5），可将其幅频特性表示为以下形式：

式中 M（jω），D（jω）分别为式（3）～式（5）的分子项和分母项。

此外，式（7）可以改写为下列形式：

因此，将式（13）和式（14）代入式（11），利用复变函数积分求解方法［14］，可分别求解得到滤波白噪声路面谱模型下的车辆车身垂直振动加速度、悬架动挠度和车轮动载荷响应均方根值计算公式，即

其中：

2.3 不同解析计算公式对车身振动加速度响应谱的影响及其试验验证

为对所建立的滤波白噪声路面谱作用下的车辆振动响应均方根值计算公式的正确性进行验证，以某轿车为分析实例，对其进行了实车行驶平顺性试验，如图3所示。所得到的不同解析计算公式下的车身振动加速度响应谱及其与试验测试值的对比结果见图4。试验时利用加速度传感器测量获得驾驶员座椅地板处的车身垂直振动加速度，采样频率为500 Hz，采样时间为100 s，车辆处于满载状态，路面等级为 B级，试验车速为40～100 km·h-1。已知该轿车的1/4车辆参数为：质量比rm=12.1，刚度比 rk=8.2，车身固有圆频率 ω2=6.3 rad·s-1，悬架阻尼比 ξ2=0.20，轮胎刚度 Kt=139 000 N·m-1。由于不同车速下的车身加速度响应变化规律一致，图4中仅给出了40，60，80和100 km·h-1时的对比结果。

图3 实车行驶平顺性试验

由图4可见：在0.1～2 Hz范围内，利用传统计算公式得到的车身振动加速度响应谱显著大于试验测试结果，利用改进计算公式得到的计算结果比较接近于试验测试结果；在2～100 Hz范围内，两种计算方法所得到的车身振动加速度响应谱与试验测试结果均具有较好的一致性。可知，改进计算公式较之传统计算公式更加精确。表1给出了利用两种振动响应均方根值计算公式和实车试验得到的该试验车辆的车身垂直振动加速度均方根值计算结果。

图4 车身垂直振动加速度功率谱密度对比结果

由表1可以看出，两种不同计算公式所得到的车身垂直振动加速度均方根值在低速情况下相近，在高速情况下相差较大。此外，利用传统计算公式所得到的车身垂直振动加速度均方根值与试验测试结果的最大偏差为9.67%，而改进公式下的最大偏差仅为8.84%。结果表明，与传统计算公式相比，改进的车辆振动响应均方根值计算公式更能有效反映车辆的实际振动特征。

表1 车身垂直振动加速度均方根值计算结果

3 两种均方根值计算公式的对比分析

为有效分析传统车辆振动响应均方根值计算公式及改进的计算公式之间的差异，从而更为完善地为车辆行驶振动响应的估计、路面等级的预测和车辆初始设计时悬架系统阻尼比的估算提供有效的技术保障，以上述第2.3节中所示的某轿车为例，对两种不同计算公式下的车辆振动响应求解结果进行对比分析。

图5给出了根据两种不同计算公式所得到的车身垂直振动加速度均方根值、悬架动挠度均方根值和车轮动载荷均方根值随车速变化的曲线。

由图5可见，在一定路面工况下，两种计算公式下的车身垂直振动加速度均方根值及车轮动载荷均方根值均随着车速的增大逐渐增大。路况越差，两种计算公式之间的差异越大，但在低速情况下，两种计算公式所得到的分析结果基本一致。此外，在一定路面工况下，传统计算公式下的悬架动挠度均方根值随着车速的增大逐渐增大，而改进公式下的悬架动挠度值逐渐趋于稳定，且路况越差，两种计算公式之间的差异越大，但两者在低速情况下的响应情况基本一致。

综上分析可知，当车辆高速行驶时，根据传统计算公式得到的车辆振动响应均方根值大于改进计算公式，且路况越差，两者之间的差异越大，即传统车辆振动响应均方根值计算公式对车辆行驶姿态存在高估现象。

图5 不同计算公式下的车辆振动响应均方根值变化曲线

4 工程应用

改进的车辆振动响应均方根值计算公式，作为传统计算公式的延伸和补充，在车辆系统动力学及其相关问题研究领域中，具有广阔的应用前景。应用该计算公式，既可对车辆行驶振动响应进行估计，也可对路面等级进行预测，同时还能在车辆设计初始阶段对悬架系统阻尼比进行估算。

4.1 车辆行驶振动响应的估计

利用改进的车辆振动响应计算公式，可实现对车辆垂直振动特性的快速估计，同时，有助于技术人员在车辆振动测试数据采集过程中对测量结果的正确性进行判断。例如，上述2.3节中所示的轿车以车速72 km·h-1分别在A，B，C和D级路面上行驶，所得到的车辆行驶振动响应估计结果如表2所示。

表2 车辆行驶振动响应估计结果

4.2 路面等级的预测

上述分析可知，利用所建立的车辆振动响应均方根值计算公式可得到不同路面与车速条件下的车辆振动响应均方根值。由此可知，若已知车辆振动响应情况及车辆行驶速度，则可反求得到此时车辆所行驶的路面等级。基于此，考虑到实际工程应用的实用性和便捷性，下面介绍一种以车身垂直振动加速度信号作为判断依据的路面等级预测方法。

根据式（15），可得基于车身垂直振动加速度均方根值的路面等级预测公式为

由此，根据式（18），利用根据实测车身垂直振动加速度信号处理得到的均方根值及获取的车辆行驶速度，即可得到车辆当前的路面行驶等级。其中，路面等级划分情况［15］如表3所示。

表3 路面不平度分级标准

例如，第2.3节中所示的轿车，若其行驶速度为85 km·h-1，车身垂直振动加速度均方根值为0.50 m·s-2，则根据式（18）可知，Gq（n0）=74.04×10-6m3，由此根据表3可知，该车辆的当前行驶路面等级为B级。需要说明的是，为了防止测量得到的加速度信号出现信号混叠现象，在对信号进行处理前，须先进行低通滤波处理。

4.3 悬架系统阻尼比的估算

悬架系统阻尼对车辆的乘坐舒适性和行驶安全性均具有十分重要的影响［2，16］。因此在设计悬架系统阻尼比时通常需要综合考虑车身振动加速度、悬架动挠度和车轮动载荷3个性能指标，从而使车辆性能与悬架系统参数达到最佳匹配。根据建立的车辆振动响应均方根值计算公式绘制得到的上述第2.3节中所示轿车在不同频率、阻尼参数下的车辆振动响应均方根值变化曲线，如图6所示。其中，车速v=80 km·h-1，频率f2与圆频率ω2的关系为f2=ω2/（2π）。

由图6可以看出，在一定固有频率f2条件下，阻尼比值ξ2过小，将导致悬架动挠度过大，不利于车辆运行。随着阻尼比ξ2的增大，悬架动挠度逐渐减小，而车身垂直振动加速度和车轮动载荷先减小后增大，即两者分别存在最小极值点。当采用试验车辆实际频率值即 f2=0.8～1.2 Hz时，在（0.20～0.40）范围内选取阻尼比值ξ2，可使车身垂直振动加速度、悬架动挠度、车轮动载荷三者同时达到低值的折中效果。由此可知，在车辆设计初始阶段可根据设计者对车辆性能的倾向，利用所建立的车辆振动响应均方根值计算公式选择合适的悬架系统阻尼比值。

此外，由于分别存在使车身垂直振动加速度和车轮动载荷均方根值最小的阻尼比值，因此，为使所建立的车辆振动响应均方根值计算公式对悬架系统阻尼比的初始设计更具工程指导意义，可分别令式（15）和式（17）关于阻尼比 ξ2的偏导数等于零，从而求解得到其关于ξ2的正实数根，进而可得到阻尼比值的可行性设计区间［ξl，ξu］，其中，下限 ξl和上限ξu分别为利用式（15）和式（17）求解得到的车身垂直振动加速度均方根值和车轮动载荷均方根值取最小值时的悬架系统的最佳阻尼比。以上述第2.3节中所示的轿车为例，所得到的该车辆在80 km·h-1设计速度下的悬架系统阻尼比可行性设计区间为ξ2∈［0.177，0.372］。其中，不同频率下的阻尼比可行性设计区间随车速变化的曲线如图7所示。由图可见，在一定固有频率f2下，阻尼比可行性设计区间的上、下限均随着车辆行驶速度的增加而减小，因此，在选取阻尼比设计值时，应综合考虑车辆设计速度的影响。

图6 不同频率、阻尼参数下的车辆振动响应均方根值变化曲线

5 结论

图7 不同频率下的阻尼比可行性设计区间随车速变化的曲线

以更加贴近于路面实际的滤波白噪声路面谱作为车辆系统的路面输入模型，运用随机振动理论及复变函数积分求解方法，推导得到了1/4车辆的车身垂直振动加速度、悬架动挠度和车轮动载荷均方根值计算公式，并利用实车试验，对公式的正确性进行了验证。其次，将推导得到的计算公式与传统白噪声路面谱输入模型下的计算公式进行对比分析。结果表明，所建立的计算公式能更加真实地反映车辆的实际振动情况，而传统计算模型对高速运行状态下的车辆姿态存在高估现象。最后，对所建立的计算公式的工程应用前景进行了详细介绍，即可有效应用于车辆行驶振动响应的估计、路面等级的预测和车辆初始设计时悬架系统阻尼比的估算中。

尽管本文所建立的车辆振动响应均方根值计算公式是基于1/4车辆简化模型得到的，但可方便设计人员定性了解车辆垂向动力学特性与结构参数之间的关系，从而快速有效地对工程实践做出合理的判断和选择，同时，还可大大简化在设计初期由于众多参数未知而带来的诸多分析求解的不便。