高中数学教学中应注重“通性通法”的运用

朱粉红

摘 要：在高中数学教学中，“通性通法”经常处于尴尬的境地：一方面高考试题始终践行着考纲中“注重通性通法，淡化特殊技巧”的指导思想，另一方面“通性通法”却在教学中备受冷落。此外，因为学生沉溺于浩渺题海，已无力、无意去识得“通性”、识别“通法”。因此，“通性通法”已被边缘化。为了纠正这一误区，我们应认真思考考纲所要求的“注重通性通法”的内涵，并真正将其落实到我们的教学实践中去，减轻学生负担的同时，提高学生的数学水平。

关键词：高中数学;通性通法

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2019）15-097-1

所谓通性通法，是指具有某种规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学解题方法。笔者下面谈谈如何引导学生运用“通性通法”。

一、注重通性通法关键在于概括，要揭示数学的本质

“通法”一般自然流畅，定势繁琐，但并不是容易想到的、过程繁锁的就是通法。运用通法的过程是从概括出来的一般形式去考虑具体的问题，注重通性通法的关键在于概括，要揭示数学的本质。如：

例1：在椭圆x2a2+y2b2=1（a，b∈R，a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆上存在点P，满足PF1=2PF2，则这些椭圆的离心率的取值范围是[13，1）。

该题主要有两种解法：

法1：直接用焦半径的性质，由椭圆的定义PF1+PF2=2a，又因为PF1=2PF2，所以得PF2=23a。又因为必须满足a-c≤PF2≤a+c，即a-c≤23a≤a+c解得13≤e<1。

法2：转化为坐标，因为PF1d1=ca，PF2d2=ca，所以条件可化为：d1=2d2，设P的横坐标为x，则x+a2c=2（a2c-x），所以x=a23c，又因为-a≤x≤a，即-a≤a23c≤a，下略。

法3：先分离变量，PF1PF2=2，又PF1+PF2=2a，得2aPF2-1=2。

又因为2aa+c-1≤2aPF2-1≤2aa-c-1，所以2aa+c-1≤2≤2aa-c-1，下略。

法1、法2在圆锥曲线章节中比较容易想到，法3则跳出了圆锥曲线，有了函数的味道。实际上本题的通性是关键词“存在”，这和下列函数中的有关“存在”和“恒成立”的题型如出一辙，如函数f（x）=x2+ax+4，（1）若对任意x0∈[1，4]，总有f（x）<0，求实数a的取值范围。（2）若存在x0∈[1，4]，使f（x）<0，求实数a的取值范围。解决这一类题型的方法就是要设定一个变量，构造函数（变量），如分离变量得-a>x+4x;而上述三种方法本质上就是消元、构造函数的过程，法3的分离变量的手段和函数更为相近。

二、变式教学有助于学生识得通性、获得通法

学生学数学时常感叹题海浩渺，而高考专家却宣称根本没有那么多题目，应付高考只需要做50题，掌握其中的通性通法并熟练运用即可。而通性通法概括其中隐蔽特性的过程较抽象，学生难以接受和领会，那我们可以通过变式教学，通过改变题目的条件和形式，引导学生从变化中观察不变因素，概括通性、获得通法。

如对于例1我们可以进行以下的变式：

变式1：椭圆x2a2+y2b2=1（a，b∈R，a>b>0），若椭圆上存在点P，满足PF1=2d（F1为椭圆的左焦点，d为P到右准线的距离），则这些椭圆的离心率的取值范围是。

变式2：椭圆x2a2+y2b2=1（a，b∈R，a>b>0）的左右焦点分别是F1，F2，若椭圆上存在点P（异于长轴的端点），满足asin∠PF1F2=csin∠PF2F1，则这些椭圆的离心率的取值范围是。

变式3：椭圆x2a2+y2b2=1（a，b∈R，a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆的有准线上存在点P，使线段PF1的中垂线过F2，则椭圆的离心率的取值范围为。

变式4：椭圆x2a2+y2b2=1（a，b∈R，a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=60°，则椭圆离心率e的取值范围为。

变式5：已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1（a，b∈R，a>b>0）的两个焦点，满足PF1·PF2=0的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是。

上述变式1-3都可以消元轉化成变量焦半径的范围;而变式4-5，则转化为变量∠F1PF2的范围，通过解不等式即可解决。通过实例学生比较容易产生顿悟，将很多题还原成一种类型，体会到本类题的通性是“存在性”问题，通法是“消元，构建一个变量的函数”。

总之，“通性通法”蕴含在具体的题目中，蕴含在知识的发生发展的过程中，因此，我们要不断对例题和解法进行“提炼”和“概括”，挖掘“通性”，获取“通法”;对于不同的解题方法准确分析各自的特性和适用条件，将特性巧解发展为通性通解，这样才能真正抓住蕴含在其中的数学本质规律，在解题教学中做到“练一题、学一法、会一类、通一片”，以提高教学效率。