基于伪谱法的平台靠泊轨迹规划*

王海圆 李建祯 苏 贞

（江苏科技大学 镇江 212003）

1 引言

深水半潜式支持平台主要是用于海洋油气资源开发相关的海上支持作业，可为海上生产平台提供物资补给、存储和转运，同时为海上生产平台作业提供支持，减少生产平台负荷。同时为数百名海上生产平台作业人员提供服务，保障良好的人员休整效果。平台靠泊即为深水半潜式支持平台向海上生产平台靠泊的过程。为提高靠泊的效率，缩短靠泊的时间，在规划靠泊的路线时，需要充分利用已知的条件，使支持平台尽可能地沿着最短时间轨迹进行航行并避开海上设施所在的区域［1]。这一实际问题可以转化成具有约束的非线性最优控制问题，进而采用求解最优控制问题的方法去求解，得到在满足给定约束条件下的最短时间路径。

求解航迹规划的最优控制问题的数值方法可分为直接法和间接法，间接法基于Pontryagin极小值原理推导最优控制的一阶必要条件将原问题转换为哈密顿边值问题［2]求解，间接法的缺点为存在收敛域小，难以估计协态变量初值等不足，且对于多路径约束，间接法的推导过程十分复杂。直接法则是采用参数化方法将连续的空间的最优控制问题转换为非线性规划（Nonlinear Programming，NLP）问题求解，其避免了间接法在优化过程中遇到的求解两点边值问题，使得轨迹优化问题的求解更适用于数字计算机的特点，更加易于实现［3]。近些年来，伪谱法由于具有全局特性、高精度和高效率，在轨迹优化领域得到广泛的应用。

鉴于以上原因，以半潜式支持平台为研究对象，利用伪谱法对支持平台靠泊海上生产平台进行轨迹优化，得到支持平台在避开障碍物以及一些约束条件下，以最短时间到达靠泊位置的优化轨迹。常见的伪谱法有 Legendre伪谱法［4]、Radau伪谱法［5]、高斯伪谱法［6]以及Chehyshev伪谱法。

2 问题描述

2.1 半潜式支持平台动力学模型

在靠泊的过程中，支持平台在低速状态下运行。忽略平台的高频运动，船舶在横荡、纵荡、艏摇三个方向上的低频运动数学模型如下［7]：

式中，x，y，φ分别表示支持平台在大地坐标系下的纵荡上的位移、横荡上的位移和艏摇角度。u，v，r分别表示支持平台的纵荡、横荡和艏摇速度。V为支持平台速度矢量V=[uvr]T，M是包含附加质量的系统惯性矩阵，D是水动力阻尼矩阵。

式中：m表示半潜式支持平台的总质量，Xv̇、Yv̇、Yṙ、Nv̇、Nṙ为附加质量系数；Iz表示转动惯性矩阵；xg表示支持平台中心和重心间的距离，一般取为0；Xu、Yv、Yr、Nv、Nr表示为水动力系数，τenv表示外界环境载荷，其包括风平均载荷、二阶波浪漂移力和流平均载荷；τthr表示推进器的推力［8]。

2.2 环境扰动力的数学模型

在支持平台靠泊的过程中会受到海洋环境（主要包括海风、海浪和海流）的影响。平台所受到的环境力表示为

式中，τwind，τwave和τcurrent分别表示风力、浪力和流力。它们的数学模型一般采用经验公式或数值方法来进行估算［9]。

2.3 推力的数学模型

支持平台的推力系统产生三自由度方向上的纵向合力、横向合力和回转力矩可以表示为

式中，(lxilyi)为第i个推进器在水平面的位置，为n个推进器的推力大小的向量表示；α=[α1α2...αn]表示n个推进器推力角度的向量表示［10～11]。

2.4 约束限制

支持平台在航行的过程中，要避开在航迹过程中的海上设施才能到达目标点。航迹的约束可以表示为

2.5 目标函数

为了缩短支持平台的靠泊时间，提高靠泊效率，在满足约束的条件下，以时间最短为性能指标函数，规划出最优轨迹。因此性能指标可以表示为

式中，t0和tf分别为起始时间和最终时间。

3 伪谱法求解最优控制问题

伪谱法将一个连续的最优控制问题转化为一个含有若干未知参数的非线性规划问题，再通过非线性规划算法进行求解。

Radau伪谱法将支持平台航迹最优控制问题的状态变量和控制变量在一系列LGR（Legendre-Gauss-Radau）点上离散，并以离散点为节点构造拉格朗日插值多项式来逼近状态变量和控制变量。接着通过对全局插值多项式求导来近似状态变量对时间的导数，从而将微分方程约束转换为一组代数约束。经过上述变换后，可将最优控制问题转化为具有一系列代数约束的NLP问题［12～14]。

3.1 最优控制问题

一般的最优控制问题可描述为：寻找最优控制变量u（t），最小化Bolza型目标函数：

3.2 时域变换

设最优控制问题的时间区间为t=[t0，tf]，采用Radau伪谱法则需要将时间区间转换到［-1，1]。因此对时间变量t作变换：

3.3 离散化

Radau伪谱法选取N阶LGR点τn（n=1，2，…，N），即多项式的根，以及τ0=-1为节点，构造N+1个拉格朗日插值多项式Li(τ)（i=0，1，…，N）为基函数近似状态变量：

其中：

采用N阶拉格朗日插值多项式为基函数近似控制变量：

状态变量的一阶微分可通过对式求导来近似，将动力学微分方程约束转换为代数约束。

式中，Dni由式（19）确定：

其中：

所以动力学方程满足：

式中，n=1，…，N。

终端状态Xf可以通过拉格朗日积分得到：

目标函数中的积分项用Gauss积分近似：

其中：

通过上述离散，Radau伪谱法将连续最优控制问题转换为非线性规划问题，利用序列二次规划算法进行寻优，可得到需要的最优轨迹。其设计变量可以包括状态变量( )X0，X1，…，XN、控 制 变 量初始时刻t0、终端时刻tf，其约束条件为动力学微分方程约束 (R1，R2，...，RN)=0 ，边界条件和路径约束分别为

3.4 SQP法求解非线性规划问题

SQP的基本思想是：在每一次迭代通过求解一个二次规划子问题（QP）来确定一个下降方向，以减少价值函数来取得步长，重复这些步骤直到求得原问题的解。SQP算法具有整体收敛和局部一次收敛的特性，被认为是目前求解NLP问题最有效的算法之一。

4 仿真结果与分析

支持平台的靠泊分为三个阶段，本文研究的第一阶段从距离支持平台2海里到1千米的过程中，考虑航迹过程中的避障问题，取状态变量为控制变量为使用伪谱法去规划最短时间最优轨迹。如图2所示，在大地坐标系下，OX指向正北方向，OY指向正东方向，运用伪谱法规划的阶段为支持平台从起点S出发到达终点E的阶段。在这个阶段内存在两个障碍物A和B，它们的安全距离范围为以其外轮廓延伸500m为半径所确定的范围［15]。在此情况下去规划出支持平台到达终点的最短时间轨迹。

图1 伪谱法规划流程图

图2 规划示意图

4.1 仿真条件

取支持平台的M和D的参数分别为［16]

支持平台的装有6个全回转推进器，功率为400KW。支持平台在航行的过程中的速度不超过2kn。取墨西哥湾的海况条件：平均风速为20节；波浪的波长为60m，平均波幅为2.5m，水的密度为1025kg/m3；流速大小为 0.75m/s。

1）初始状态

2）末端状态

终端艏向角自由。

3）路径的约束为

如图2所示，规划区域存在两个障碍物A（2105.37，-1020.66）和B（967.57，-113.12），则在存在障碍物的情况下，路径约束为

伪谱法仿真是在MATLAB 2012a的仿真环境下运行的，其中通过编写函数，并调用GPOPS-II软件算法包来进行优化。

4.2 仿真结果与分析

将伪谱法的节点数分别取为70，80，90，120进行求解，运用Matalba进行仿真，其仿真的结果如表1所示。

表1 节点数不同时的仿真结果

由表1可以看出，运用radau伪谱法对支持平台的靠泊航迹进行优化时，随着节点数的增多，计算机进行运算求解所耗的时间也随之增加，从而计算的代价增大。另一方面，从表中的数据可以看出，节点数不相同时，目标函数优化的结果间的差异较小，从这一对比中可以看出，伪谱法能以较小的代价计算出较高的精度。

取其中节点数为120时进行仿真，仿真结果如图3所示。

图3 轨迹图

图4 艏向变化图

图5 纵荡速度、横荡速度和艏摇角速度变化图

图6 f1、α1、f2和 α2变化图

图7 轨迹规划总体图

图3、图4和图5为支持平台的状态变量的变化曲线，从中可以看出图形的变化较为平滑，满足相应的约束条件且到达了目标点；图6为控制变量的变化图，由于控制变量较多，取其中两个推进器的推力和方位角的变化图，可以看出它们满足相应的约束条件下，其变化曲线相对比较平滑，从而可以实现对支持平台较好的控制。

图7给出了节点数为120时，规划出以时间最短为性能指标的支持平台的轨迹规划总体图。在求解支持平台最优轨迹时，从轨迹图中可以看出，在满足约束条件下，支持平台能够与障碍物保持安全距离即避过障碍物，经过约3137s后到达终点。其中航行中控制变量变化曲线较平滑，对于支持平台的航行具有较好的可实现性。

5 结语

针对半潜式支持平台靠泊钻井平台的轨迹优化问题展开研究，建立了适合于支持平台的运动模型。采用Radau伪谱法对支持平台进行轨迹优化，考虑了支持平台的模型，状态量约束，控制量约束以及避碰约束，使得设计的最短时间轨迹能够满足工程实际的需要。通过仿真结果表明，伪谱法能够以较小的计算代价获得较高的求解精度，得到的一些控制量有较好的可实现性，具有以最短时间到达靠泊点的可能，为平台避碰航行规划提供了一种较为良好优化效果的方法。在下一步的研究中，将会根据需求添加约束以及研究平台后续的靠泊路径规划。