基于UKF-GM-PHD滤波算法的非线性多目标跟踪方法研究*

齐海明 张安清

（1.海军91648部队 葫芦岛 125004）（2.海军大连舰艇学院信息系统系 大连 116018）

1 引言

目前，基于PHD滤波的多目标跟踪方法研究已成为目标跟踪领域的热点。PHD滤波［1]可以更好地反映出目标跟踪问题的本质，以集合形式描述多目标跟踪问题，同时可以描述跟踪过程中目标的新生、消失和衍生等情况，即可完成目标的状态估计，也可以实现目标的数目估计，避免了数据关联的难题，受到国内外众多学者的关注。

PHD 滤波算法［2～5]是一种基于有限集统计学（Finite Set Statistics，FISST）的次最优多目标Bayes滤波器，但该方法在进行迭代运算时存在多重积分，仍需要采取数值计算的方法来实现近似。Vo基于线性高斯假设条件，利用高斯混合技术提出了高斯混合PHD（GM-PHD）滤波器［6]，同时在理论上证明该滤波器存在闭合解。GM-PHD滤波器计算量较小，并且状态估计峰值提取相对容易，工程易实现。而现实情况中目标跟踪问题很多是非线性的，因此，如何实现GM-PHD滤波器的非线性目标跟踪问题一直是研究的重点和难点。本文基于GM-PHD滤波算法在进行预测和更新过程中，是基于Kalman滤波原理，提出将传统非线性处理方法UKF与GM-PHD滤波算法相结合，提出UKF-GM-PHD算法，实现GM-PHD算法在非线性系统的应用。

2 PHD滤波器

PHD滤波器［7]实际是Bayes滤波器在随机有限集理论的推广，与传统Bayes滤波一样，分为预测步和更新步。

1）预测方程：

其中，Dk|k-1(x)代表多目标状态后验密度pk|k-1(Xk|Z1:k-1)的PHD函数，x和x′分别是k时刻和k-1时刻单目标状态。

2）更新方程：

Lz(·)代表单目标量测似然函数，κk(·)为杂波量测的PHD。

与Bayes滤波算法递推公式一样，目标数目估计为［8]

Dk|k(x)的N̂k|k个峰值对应的状态x即为目标集的状态估计x̂。由此可知，PHD滤波算法与传统目标跟踪算法不同，避免了复杂的数据关联过程，可同时实现对多个目标状态和目标数目的双重估计。

3 GM-PHD滤波器

GM-PHD滤波器为了得到闭合解，除了PHD滤波器的假设条件外，还需要以下假设［9～10]：

1）每个目标的Markov状态转移密度函数和目标量测似然函数均是线性高斯的；

2）目标存活概率PD，k()x和目标检测概率相互独立；

3）新生目标随机集Γk(·)PHD和衍生目标随机集Bk(·)PHD均是高斯混合的。

GM-PHD滤波器为了得到闭合解，在进行高斯分量迭代时是基于Kalman滤波原理，下面给出GM-PHD滤波算法的滤波流程：

预测过程：

k-1时刻的后验分布PHD高斯混合形式为

在文献［7]中Mahler已推导证明GM-PHD预测公式是三部分求和形式，公式表示为

其中，DS，k|k-1(x)，bk|k-1和γk(x)分别代表存活目标预测，衍生目标预测和新生目标预测PHD。

那么，k时刻的预测PHDDk|k-1(x)的高斯混合形式为

更新过程：

其中，第一部分是对漏检目标进行PHD更新；第二部分是对已检测目标进行PHD更新。

4 UKF-GM-PHD滤波器

在非线性目标跟踪系统中，系统的离线状态方程和量测方程为［11]

其中，fk和gk是非线性系统函数，uk为输入控制矩阵，vk-1是服从均值为零，协方差阵为Qk的正态分布过程噪声，wk是服从均值为零，协方差阵为Rk的正态分布量测噪声，且vk-1和wk相互独立。

4.1 UKF基本原理

UKF［12]是以Unscented变换（U变换）为基础，采用Kalman滤波原理，利用采样粒子逼近非线性函数。

U变换的原理：设x和y均为n维随机变量，满足非线性关系y=f(x)，xˉ、yˉ和Px、Py分别是x和y的均值和协方差。选取一组采样点，确保采样点的均值与协方差不变，得到N个附带权值wi的sigma点χi，利用非线性函数关系获得每个采样sigma点对应的yˉ和Py。下面给出UKF的具体过程：

首先选取 2n+1个带有权值wi，i=0，1，…，2n的采样sigma点χi，根据非线性函数y=f(x)，得到对应2n+1个yi，即：

则yi对应的均值yˉ、协方差Py和互相关阵Pxy为

利用权值为wi的采样点χi对系统方程进行近似，将U变换原理用于非线性系统模型中，其中wi和采样点χi取值分别为

其中，κ为调整尺度参数，用于调整采样点与xˉ的距离，同时n+κ≠0，一般令为均方根矩阵(n+κ)Px的第i行。

由式（11）可得到状态预测值xk-1|k-1和协方差阵Pk|k-1，然后根据式（10）和（9），可得到量测值zk|k-1，新息协方差矩阵Pzz、互相关矩阵Pxz、状态估计值xk|k和协方差矩阵Pk|k。UKF滤波的递推过程为

4.2 UKF-GM-PHD滤波器

下面给出UKF-GM-PHD滤波器的预测和更新方程。

1）UKF-GM-PHD预测方程

假定k-1时刻，多目标PHD函数为

选取2n+1个加权sigma采样点{χl，wl} ，l=0，1，…，2n其选取形式与式（11）相同。

通过UKF进行线性化得到目标转移函数fk(·)的特征参数为

根据GM-PHD预测方程，得到UKF-GM-PHD算法的预测方程为

由此可得到UKF-GM-PHD滤波器的预测方程GM形式为

2）UKF-GM-PHD更新方程

通过U变换得到非线性量测方程gk()·的预测为

根据GM-PHD更新方程，可得到UKF-GM-PHD滤波器的更新方程为

其中：

5 仿真分析

为更好验证提出的UKF-GM-PHD算法的滤波精度，将EKF-GM-PHD滤波算法与提出算法进行对比。

5.1 仿真参数设定

监控时间40s，采样间隔时间T=1s。3个目标的初始状态分量x0，P0，w0分别为

表1是3个目标的出现时刻、存活时间、消失时刻，以及目标做CV、CT和CA运动模型时刻表。

表1 3个目标的运动模型时刻表

5.2 仿真结果分析

图1是目标在非线性系统的真实轨迹和量测图。图2为GM-PHD算法的位置估计图。图3为EKF-GM-PHD算法的位置估计图。图4为UKF-GM-PHD算法的位置估计图。从三种算法的位置估计图可以明显看出，GM-PHD滤波算法在非线性系统中已失效，而其他两种算法可以实现较好的目标跟踪，验证了两种非线性处理方法在GM-PHD滤波算法上应用是有效的。

图1 目标的真实航迹和量测图

图2GM-PHD位置估计

图5和图6分别是三种算法在目标数目估计和OSPA距离的对比图。在图5中可以看到，在40s的监控时间内，GM-PHD、EKF-GM-PHD算法和UKF-GM-PHD算法丢失目标次数分别是14次、5次、1次。因此，EKF-GM-PHD算法和UKF-GM-PHD算法在监控时间段内完成了较好的跟踪滤波，但后者目标丢失率更低。从图5可以明显看出，在OSPA距离误差方面，EKF-GM-PHD算法和UKF-GM-PHD算法较GM-PHD算法很大程度上减小了误差，同时UKF-GM-PHD算法的误差比EKF-GM-PHD算法的误差小，滤波效果更好。

图3EKF-GM-PHD位置估计

图4UKF-GM-PHD位置估计

图5 目标数目估计

图6 OSPA距离

表2为三种算法在运行时间、目标丢失率和OSPA距离均值三方面的对比数据。表3为三种算法100次Monte Carlo仿真实验，在算法运行时间、目标丢失率和OSPA距离均值三方面的对比数据。

表2 三种算法数据对比

表3 100次Monte Carlo实验数据对比

从表2和表3数据对比来看，EKF-GM-PHD算法和UKF-GM-PHD算法在运行时间上相差不大，与GM-PHD算法相比，算法运行时间有了一定的增加，但在目标丢失率和OSPA距离误差上，都有了显著的提高。UKF-GM-PHD算法相对EKF-GM-PHD算法，算法运行时间相差并不大，而目标丢失率相对较低，同时OSPA距离误差也相对较小，滤波效果更好。

6 结语

本文开展基于GM-PHD滤波器在非线性目标跟踪系统中的方法研究，基于GM-PHD滤波算法在进行预测和更新过程中是基于Kalman滤波原理，将传统非线性处理方法UKF与GM-PHD滤波算法相结合，提出了UKF-GM-PHD滤波算法，通过验证提出算法的有效性，仿真多机动目标运动情形，将提出算法与EKF-GM-PHD滤波算法进行分析对比，验证了提出算法具有更高的滤波精度。