关注圆类问题，突破知识联系

陈文峰

[摘  要] 圆作为初中数学的基础图形之一，具有很强的识别性，中考对其内容的考查常从知识联系角度进行，求解时需要准确把握图形的结构特点，依据知识联系开展合情推理. 文章对圆类考题进行总结探讨，提出相应的教学建议，与读者交流.

[关键词] 圆;位置;面积;函数;最值

圆类考题是中考数学的重要题型之一，该类考题具有知识联系性强、类型多、解法思路独特等特点，求解时除了需要充分利用圆的性质和定理外，还需要掌握模型构建的策略. 下面笔者将深入探索几种圆类问题，并开展相应的教学探讨.

圆类问题的常见类型

1. 关注圆与直线的位置关系

对于圆与直线的位置关系的考题，难点在于用数学语言描述其位置关系，以及探索出因位置关系引起的相应变化. 解决此类问题时，要利用相应的公式、定理，将条件串联起来.

方法点拨直线与圆的位置关系无非三种，即相切、相离和相交，难点在于相交与相切这两种关系的判断，常用的方法有两种：一是代数法，即构建圆与直线的联解方程，通过讨论方程解的个数加以判断;二是几何法，通过求解圆心到直线的距离，并将其与圆的半径比较，从而得到结论. 另外，还可以从几何构造的角度进行分析，即在交点处构建几何模型，通过求解相应的角度来加以判断.

2. 关注圆类问题中的面积

圆作为几何中较为特殊的图形，求解与其相关的面积问题时往往有一定的难度. 求解时，不仅需要求圆弧的半径，还需要求得相应的圆心角的度数，尤其是与圆相结合的复合图形的面积求解，因无法直接利用面积公式，所以很容易造成学生思维停滞. 实际上，求解此类问题往往需要采用割补的方法，巧妙地将所求图形转化为特殊图形的组合.

方法点拨与圆有关的阴影部分面积问题，图形虽然较为复杂，但从图形组合的角度来看，可以将其视为规则图形的组合，因此可采用面积割补的方法来求解. 对于双重复合图形，则可以考虑多次运用割补法，直到将其拆解为规则的图形. 求解时，需要准确地利用扇形的面积公式，注意与弧长公式相区别.

3. 关注圆与三角函数的综合

初中讲解三角函数时，是将其放在直角三角形中，利用直角三角形边的长的比值来加以诠释的，因此，对于圆与三角函数的综合题，同样需要借助直角三角形来构建模型，以获得其中关键线段的长. 而对于求解图形中的三角函数，则需要逆向思考，构建直角三角形模型，将问题转化为求线段的长，从而获得答案.

方法点拨例3借助三角函数值求解圆类考题中的线段长，分析求解过程可知，在图形中构建直角三角形，将三角函数值转化为图形中边的长的关系是解决问题的关键. 直角三角形构建的方式有很多，但在构建时需要结合具体的情形，尽量联系已知线段.

4. 关注圆中的线段最值

考查圆时，试题常与其他几何图形相结合，因此圆类问题具有很强的综合性，涉及众多的几何参数，如角、线段、点等，有时研究几何线段常从最值角度进行考查，即以线段长为基础，要求学生结合圆的公式、定理等来探求线段的最值.

方法点拨例4是与圆有关的线段最值问题，由于动点在圆弧上，所以造成了线段长的变化. 分析此类问题时，需要充分应用圆上各点到圆心距离均相等的特性，利用点与圆心的连线来完成最值位置的确定.

圆类问题的教学建议

圆的知识内容具有很强的包容性，上述只是其中的几种典型代表，无论是探讨位置关系、复合面积，还是研究三角函数、线段最值，都需要从基础知识入手，把握知识联系，构建完整的条件链，这是解题的基本策略. 下面，笔者结合教学实践提出几点建议.

1. 关注圆的基础内容教学

圆类问题的求解基础是充分掌握圆的基础知识，考虑到圆与其他棱角类图形有鲜明的差异，所以在学习时首先需要引导学生掌握圆构建的条件（不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆），然后指导学生掌握圆的几何元素和关键内容（圆心、半径、直径、周长和面积等），最后从几何证明角度帮助学生理解圆的相关定理及推论（垂径定理、圆心角定理等）. 圆的知识内容较多，具有一定的层次性，因此教学中教师要注意加以分类，构建相应的知识体系，逐步强化学生对圆的理解.

2. 关注圆类问题的辅助线添加

中考对圆的考查常从知识综合的角度进行，图形相对较为复杂，因此求解考题的关键一步是依据条件添加辅助线，构建相应的解题模型. 辅助线添加得是否合理，将直接影响问题的简化程度，以及论证表述是否简洁. 实际上，添加辅助线的过程就是对考题结构透析的过程，是构建条件与问题联系的过程，该过程需要教师采用合理的方式来引导. 教师在教学中要注重几何直观性的讲解，指导学生对几何图形的特征、结构进行观察、总结，并展开合理的联想，逐步探索解决问题的方案，使学生逐步掌握辅助线添加的方法，形成完整的构建思路.

3. 关注圆类问题的思想渗透

圆类综合题求解的背后是思想方法的解题指导，无论是模型的构建，还是问题的转化，都是在数学思想的指导下进行的，即思想指明方向，思想决定思路. 因此，要從根本上提升学生的解题能力，就需要在教学中不断地渗透数学思想方法，使学生掌握运用思想方法构建解题思路的策略. 数学思想是相对抽象的概念，在实际教学中，需要教师结合具体的内容，遵从特定的知识规律和方法基础，如抛物线内容的数形对照，代数解题的方程构建，抽象问题的数学转化等，并通过具体的内容讲解，使学生掌握数学运用的步骤和技巧，深刻感受思想方法解题的思维之美、简约之美.

总之，圆类综合题是基于知识联系所构建的，求解的关键是利用基础知识构建条件与问题之间的联系，合理转化，巧妙建模. 整个求解过程要注重思维的严谨性和逻辑性，以圆类知识作为解题思路的生长点，植入思想方法，探寻知识融合.