构造全等三角形进行计算

☉山西省北大培文晋中实验学校 张树义

☉山西省北大培文晋中实验学校 孙永清

☉山西省北大培文晋中实验学校 紫泽丽

我们都知道利用三角形全等可以进行计算，有些计算角度、边、三角形的面积的题目则需要构造全等三角形.如何构造呢？本文做系统整理，供同行们教学时参考.

例1如图1，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，求△PBC的面积

分析：三角形PBC的底和高都是未知的，无法用三角形面积计算公式计算.图中有全等三角形吗？抓住角平分线和垂直的条件，可延长AP交BC于点E，可得出△ABP△BEP.又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可求出三角形PBC的面积.

解：如图2，延长AP交BC于点E.

由AP垂直∠B的平分线BP于点P，得∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°.

在△APB 和△EPB 中，∠APB=∠EPB，BP=BP，∠ABP=∠EBP，则△APB△EPB（ASA）.

则S△APB=S△EPB，AP=PE.

则△APC和△CPE等底同高.

则S△APC=S△PCE.

例2如图3，AD∥BC，AB=AD+BC，AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，点F在AB上，且AF=AD.若AE=5，BE=4，求四边形ABCD的面积.

分析：如图4，连接EF，只要证明△AEF△AED，△BEC△BEF，△AEB是直角三角形，可得S四边形ABCD=2S△AEB，由此即可解决问题.

解：如图4，连接EF.

在△AED和△AEF中，AD=AF，∠EAD=∠EAF，AE=AE，则△AED△AEF，则∠DEA=∠FEA，S△AED=S△AEF.

由AB=AD+BC=AF+FB，AD=AF，得BF=BC.

在△EBC和△EBF中，EB=EB，∠EBC=∠EBF，BF=BC，则△EBC△EBF，则∠BEF=∠BEC，S△EBC=S△EBF.

由2∠AEF+2∠BEF=180°，得∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，则

S四边形ABCD=2S△AEB=20.

对于题目中有三角形角平分线的题，常可把角平分线一侧的三角形翻折到角平分线的另一侧，构成全等三角形.

例3如图5，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC.若AC=6，求四边形ABCD的面积

分析：本题中的四边形是一个不规则的四边形，不能直接计算，考虑将其中的一个三角形割下来，补在另一个三角形旁，构成特殊的三角形.

解：过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E，如图6所示.

由AE⊥AC，得∠EAC=90°.又∠DAB=90°，则∠DAE=∠BAC.

由∠BAD=∠BCD=90°，得∠ADC+∠B=180°.又∠EDA+∠ADC=180°，则∠EDA=∠B.

由∠EAD=∠CAB，AD=AB.∠EDA=∠B，得△ABC△ADE，则AC=AE=6.

则S四边形ABCD=18.

为了构造全等三角形，常常把图中某个三角形绕一个点旋转一定的角度，使相等的线段重合，构成全等三角形.

例4如图7，AB＝BC且AB⊥BC，点P为线段BC上一点，PA⊥PD且PA＝PD，若∠A＝22°，则∠D为________

分析：由已知不难发现△ABP和点P、D所在的三角形已经有PA＝PD，∠A＝∠DPC，要证全等还差一个条件，因∠B=90°，故考虑作DE ⊥BC 于点E，则△ABP△PED，则DE=BP=CE，则∠DCE=45°，则∠PDC=∠DCE-∠DPE=45°-22°=23°.

总之，添加辅助线可以由平移、翻折、旋转的方法进行添加，有时也通过连接两点、延长线段、作垂直等方法进行添加，不管哪种方法，都是通过作辅助线，为证三角形全等增加一个条件，解题时可灵活运用这些方法.