研磨知识体系，提升复习思维——也谈初三数学总复习的教学实效

☉浙江省湖州市南浔区南浔锦绣实验学校 孔传辉

初三数学总复习是毕业班教学的一个重要阶段，是学生再学习、再创造的过程，也是全面提高学生数学素质，发展学生思维能力，培养学生分析问题、解决问题能力的“收获季节”.在总复习中通过构建数学知识网络，精选典型中考题型，归纳数学思想方法，设计分层巩固练习，积累数学解题经验，每一节课都觉得时间紧，任务重.如何针对不同复习内容选择合理的复习方法，运用恰当的教学手段，精选优质的习题，使不同层次的学生都能主动参与，有所收益，真正达到夯实基础、查缺补漏、拓展提高呢？下面我从构建数学知识框架，合理选题方面浅谈本人的几点探索.

一、自主梳理知识，构建知识网络

数学复习，知识点的掌握是首要的，也是关键的，它是解题之源、思维之本.初三数学复习目标是回顾、理顺旧知，更好地形成知识体系，使得知识结构更清晰化、系统化.知识的构建不是简单的叙述或列举，更不是知识、方法的简单重复，而应是学生自主建构、不断更新、持续生长知识的过程.

（一）妙用板块形式梳理，清晰创建知识结构

在梳理知识时，传统的做法是以教师讲为主，通常是知识点回顾，一一罗列出，耗时费力、学生较为被动，而学生掌握的更多的是零散、琐碎的知识.而引导学生厘清知识，自主创建知识小板块可更好地促发学生的参与感.当知识点较多时，教师可布置预学任务单，让学生根据要求，先在课外整理，再在课堂上交流.

案例1：在“二次函数”的复习中可形成如下的知识板块：

（1）概念：形如y=ax2+bx+c（a≠0）.

（3）二次函数的平移规律拓展到轴对称与旋转变换（着重顶点与开口的变化）.

（4）求抛物线的解析式（根据条件灵活选择）.

①一般式：y=ax2+bx+c；②顶点式：y=a（x+h）2+k；③交点式：y=a（x-x1）（x-x2）.

（5）二次函数与一元二次方程之间的关系.

设计意图：以板块的形式提炼出二次函数的主要内容，以结构化的形式明晰知识，有效地促进学生的知识建构，有助于学生把二次函数的图像、性质融会贯通.

（二）活用思维导图创构，优化知识网络体系

心理学家认为，数学学习的重中之重就是给学生建立一个数学思维结构.知识的总结，尤其一章内容的总结，需建立知识结构框架，在确定好复习内容后，根据复习目标，通过让学生（独立或小组合作）绘制思维导图，使其参与知识的构建，提高效率的同时，养成自主学习的习惯.

案例2：在“四边形性质与判定”这节课的复习中，教师可以将需要复习的概念罗列清楚，厘清各个概念之间的关系，让学生提前利用思维导图来构建知识框架，使得四边形内容更加系统化和层次化.图2和表1是两名学生整理的四边形判定与性质的思维导图：

设计意图：学生通过小组合作，用思维导图的形式表征复习内容，别出心裁，增强了参与感，归纳知识点，更加直观，有利于记忆与理解.

表1

（三）巧用串问以线带点，联动突出知识主线

一般可采用一条或几条主线把知识串联起来，使知识由点到线，再由线到面.例如“实数”的复习，概念多，较零碎，可找准主线，引导联系.可以数轴这个知识为主线：数轴给我们提供了哪些信息？通过数轴你能联系到哪些知识点？（强化数形结合的思想方法）（相反数、绝对值、实数的分类、有理数大小比较……）

这个环节的复习目的是让学生全面、系统掌握初中数学基础知识、基本技能，力求全面、扎实、系统，使学生对所学内容形成一个知识网络体系.“过三关”：过记忆关，过基本方法关，过基本技能关.

二、精选例题，建构思维

精心选题是上好复习课的重要一环，选题得当事半功倍，否则劳而无功，达不到预期的目的，因此教师应结合《义务教育数学课程标准（2011年版）》《考试说明》，从提高学生数学能力出发，以课例、中考试题、学生错题典例为生长点，形成生长链，使学生实现从知识的内化到能力的迁移、升华.

（一）立足教材，注重例题变式的精选——引导生长点

源于教材，活用教材，很多例题具有科学性、示范性、导向性，而且教材中的例题有规范的解答过程，控制了教材的深度和知识的辐射范围.立足教材的基础，同时挖掘一些典型例题的内涵与外延，就是注重例题的改编与变式，让学生在已有的基础上进行思考与衍生.

案例3：（浙教版八上）如图3，已知点C为线段AB上一点，△ACM和△BCN是正三角形.求证：AN=BM.

（1）将△CNB绕点C顺时针方向旋转60°、120°、180°（如图4、图5、图6），AN和BM相等吗？为什么？

（2）如果正三角形换成正方形（如图7），AN与BM有什么关系？

（3）如果A、B、C三点构成一个三角形的三个顶点，在AC、BC上向外作正三角形或正方形（如图8、图9），这时AN与BM又有什么关系？

设计意图：通过“形变扩思”，以“形”设疑，以“形”引思，以“形”促思，除了能提高学生学习的兴趣，图形的多次演变，还将促使学生的思维活跃、扩展，在信息的多次变化中，引导学生思维的生长点.

（二）着眼中考，注重改编精选考题——拓展发散点

初三数学复习坚持以课标为主线，以考试说明为根本，中考数学试题往往具有较强的热点性、导向性、典型性，很多题目的设计都坚持了能力立意，将数学知识、方法、技能和数学思想有机结合起来.精选中考试题，解析建模，应用迁移，通过改编例题，以期举一反三.

案例4：【模型建立】

（1）如图10，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E.求证：△BEC△CDA.

【模型应用】

（2）如图11，一次函数y=-2x+2的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段BC⊥AB且BC=AB，直线AC交x轴于点D.

①求点C的坐标，并直接写出直线AC的函数关系式；

②若点Q是图11中坐标平面内一点，当以点A、D、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标.

设计意图：通过三垂直的全等三角形这一基本模型生长问题，进一步拓展到函数图像中求点的坐标，让学生积累识别、应用模型的经验，理解问题本质，领悟数学化归思想.

（三）析错纠误，注重错题精选典例——明晰错误点

引导学生在数学作业中建立错题档案.要求学生准备错题本，收集摘录平时作业、测验中经常性出错的题目和给自己留下深刻印象的错题，建立错题档案.对于每道错题，都要分析错误原因，列出正确的解法，并且得到体验和启发.表2是错题本的模板.

表2

摘用学生错题时，通常选取同一解法中同一知识点的不同错题，也注重选择比较典型的题目，一题多解的各种解法及对解法进行分析和评价，通过讨论和评析，互相学习他们的经验和方法，进行对比分析，举一反三，触类旁通，加深对数学知识内涵与外延的理解，提炼数学思想方法，提高数学学习能力.

解题时应让学生掌握概念的实质，严格审题，周密思考，训练思维的严密性.

案例5：（1）若关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围是______.

分析：先解方程得x=6-k.因为x＞0，所以k＜6.x≠3这个条件很容易被忽略.

（2）已知函数y=（m-1）x2-2mx+4.证明：不论m取何值，此函数总与x轴相交.

分析：对二次函数来说，a≠0的条件至关重要，不可忽视.但第（2）题未强调是二次函数，应分m-1=0和m-1≠0两种情况讨论求解.

设计意图：以上两例说明不掌握数学概念的实质，命题结论成立的条件、适应范围，运用时就容易产生错误，在复习中，教师要有意识地设计一些类似的“陷阱”，以训练学生思维的严密性.

三、反思提炼，升华思维

反思是一条能够有效地使学生学习能力得到升华的途径，失去了反思，也就失去了创造力，同时会陷入题海中，教师要通过题后小结、课堂小结用心地培养学生反思的良好习惯.

（一）课堂互动中引导学生反思、内化

课堂是教育教学工作的灵魂.课堂上的45分钟是教师完成教学任务的主阵地，是学生学习知识的前线.课堂效率也决定着学生学习的效率.学生的反思往往不是与生俱来的，而是通过教师的教学及启发，然后结合自己的主观意识和自身的能力得到技能的提升.在课堂中，教师多结合习题给予指导，留出时间让学生进行反思，并对反思的结果进行交流，教师给予补充，确实提升学生的概括能力、抽象能力、表达能力，促进学生知识构建，使学生更好地把握课堂知识的全貌.

（二）典例解析生成中引导学生拓展提升

初三学生具备了一定的反思能力.有的自我反思意识较强，反思力较强，有的自我反思意识薄弱，反思力不足.所以在教学过程中，要有意识、有目的、有计划地教给学生自我反思的方法，提供各种载体和平台培养学生自我反思的能力，培养学生的反思性学习习惯，这不仅能激发学生的学习兴趣，而且有助于增强学生学习的积极性和主动性.在数学学习中，其主要表现为：善于从多方面、多角度、不依常规地去思考问题、发散思维，善于多方探求，对于一个问题，能通过联想、类比、迁移，获得解题的方向，寻求解决问题的最佳方案，从而自主提高自己的综合素质，挖掘自己的潜能，不断提高自身的数学素养.

案例6：在专题复习图形的折叠问题时，可以说2017年金华中考第23题非常经典，如图12，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC底边上的高线EF、HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.

（1）将▱ABCD纸片按图13所示的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段________、________；S矩形AEFG：S▱ABCD=________.

（2）ABCD纸片还可以按图14所示的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长.

（3）如图15，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形.请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长.

问题1：折叠问题中首要抓住什么？重叠的是哪些图形？

问题2：要折成正方形，有什么折法？小组合作并展示.

两种折法：如图16与17.

设计意图：本题是由较为常见的折纸而引入的数学问题，通过折痕的不断变化，从特殊到一般，从而生长成层次性较强的问题链，形成思维场，关键是要引导学生抓住基本支架——折叠后的等量，从不同视角（勾股定理、相似三角形对应边成比例）建立方程，再结合示例动手操作得到正方形，感悟数学思想的灵动，促进思维的迸发.

本例讲述完后，让学生点评悟与得，几何好像推理断案，从基本图形中找到蛛丝马迹，合并条条线索，通过层层剖析，由浅入深，自现象而本质，从具体而抽象，一步步深入思考和探究，做出科学的推理和正确的判断，培养了思维的逻辑性，锻炼探索问题的能力，从而产生“深者得其深，浅者得其浅”的效果.数学复习课不仅仅是刷题的程序化教学，更多的是激发学生思考、拓展学生思维的师生互动教学.

教学实践表明，构建数学知识框架，精心选题，反思提炼是提高复习质量的保障，三者缺一不可.在初三数学总复习中，把分散的知识点连成线、结成网，使所学知识系统化、条理化，挖掘教材，夯实基础是根本；精选习题，提质减负是核心；强化训练，发展能力是目的.反思总结，深化思维，关注知识关联生长，只有这样，才能以不变应万变，以一题带一片，融会贯通，开发学生的思维空间，真正提高学生的综合能力及水平，提高初三数学总复习的针对性和实效性.