案例教学法在高等数学课程中的应用研究

田淑环　王鑫

摘要：在分析高等数学课程教学现状的基础上，阐述了案例教学法的作用及应用意义，指出不同专业所选取的教学案例不同，并介绍了案例教学法的实施方案。

关键词：案例教学;高等数学;教学改革

一、高等数学教学现状

高等数学作为高等院校多数理工专业的公共基础课，一方面为后续课程的学习提供必要的数学基础及数学方法，同时通过高等数学的学习，可以进一步的培养学生的基本数学能力，提高综合运用数学知识解决其专业问题，使其高等数学为其所学专业服务。但在课程教学中，大部分教师采取讲授法，注重理论教学，忽略实践教学，在这样的教学下，大部分学生处于被动的接受知识，自主学习的能力较差，这就导致高等数学的学习存在着事倍功半的问题，学習效率不高，不利于学生的个人发展。

二、案例教学法在高等数学教学中的应用及意义

目前许多地方本科院校在向地方应用型本科院校转型，而据上述高等数学的教学现状，已不再适应当下应用型院校的发展，故对于高等数学的课程改革迫在眉睫，而案例教学法的特点就是通过分析一个个具体的案例对所学课程进行学习，突出实践应用性，正好符合现在地方本科院校的改革。

案例教学法不仅体现了高等数学的应用价值，在运用案例教学法的过程中，专业不同所选取的案例也要不同，所选取的案例要与该专业相关，故案例教学法不仅体现了高等数学的应用价值，它还和专业联系在一起，可以更好地为专业服务，这也正好体现了公共课的作用，同时体现了学科间的交叉。

三、案例教学法中的案例选取举例

高等数学课程中几乎每一部分知识都有很多案例，现已常微分方程中的一阶微分方程的求解方法这一部分为例。

（1）减肥问题。随着人们生活水平的提高，肥胖成为世人关注的问题，减肥健美日盛，许多医生和专家建议，可以通过控制饮食和适当运动能够达到减肥目的，但到底如何减肥，才能达到预期效果？这是一个大家都比较关注的话题，而就是这一热门话题恰恰可以通过变量分离方程进行分析。具体分析如下：

每天摄入的热量减去每天消耗的热量就是人们体重的增减，具体摄入与消耗情况如下表所示：

每千克脂肪含热量42000J，自变量为天数[x]，体重为[y]，则可以列方程为：

这是一个变量分离方程，利用分离变量法进行求解即可。

（2）探照灯反射镜面形状。在制造探照灯反射镜面时，总是要求点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，分析反射镜面的形状，如下图。

设光源在坐标原点，取[x]轴平行于光线反射方向，则反射镜面由曲线[y=f（x）]，绕[x]轴旋转而成，过曲线上任意点M（[x]，[y]）作切线MT。由光的反射定律：入射角 = 反射角。

可得 [∠]OMA=[∠]OAM=[α]，从而 AO=OM，故可得微分方程[yy'-x=x2+y2]，化简可得[dydx=yx+x2+y2]，显然为齐次方程。

（3）湖水污染问题。一湖泊的现有容积为Vm[3]，流入湖中的水流速度为3m[3]/min，流入水中每立方米含有0.02立方米的污染物，流出湖中的水流速度为 2m[3]/min，试分析湖泊的污染程度。

设[x]时刻湖水中的污染物含量为[ym3]，根据湖水中的污染物的瞬时变化率=污染物的流入速度-污染物的流出速度可得微分方程：[dydx=0.06-2yV+x]

这一方程为一阶线性微分方程。

还有酒驾问题、人口问题等案例都属于一阶微分方程的实例，这里就不再一一介绍。

对于以上的三个具体实例并不是对于每个专业都能应用，对于第一案例——减肥问题，这个属于趣味数学，哪个专业的学生都比较感兴趣，所以都可以利用这一案例进行教学，而第二个——探照灯镜面形状问题，这是一个与物理专业相关的案例，所以可以在物理专业教学中应用，第三个——湖水污染问题，涉及到地理环境问题，所以适合在地理专业进行教学使用。故不同专业应该设计不同的教学案例。

四、案例教学法的实施方案

随着信息时代的到来，高校教学也不能像以前那样黑板加板擦进行教学，我们也要顺应时代的发展，大力进行教学改革，将现在的信息化元素及手段融入到课堂中去。在近一年的高等数学教学过程中，我以学习通为平台，采取分小组活动，课下准备，课上讨论，课后巩固的教学方法，将案例教学穿插到每个教学环节中，这样有效提高了学生的自主学习能力，并大大激发了学生的学习兴趣，下面以减肥问题为例具体介绍案例教学法的实施。

在这节课以前先通过学习通平台发布任务，让学生课前就开始对减肥问题进行了解，课上利用学习通平台展开讨论，讨论如何求解减肥问题，大部分同学可以列出微分方程，但不能求解，更不能进行分析，这样学生遇到困难，带着问题学习变量分离方程的求解方法，这里采用了问题驱动法，很好地调动了学生的学习积极性，接着学生求解减肥问题，并对其进行分析，何种情况能够减肥，何种情况不能减肥，最后课后巩固，针对自己的体重，通过今天所学知识为自己制定一份减肥计划。学生都非常感兴趣，这样大大激发了学生的学习兴趣，提高了学生的自学能力。

参考文献：

[1]郭俊辉，曹旭华，王福忠. 案例教学效果的最优模型探索[J].高等工程教育研究，2010（3）.

[2]陈国华等.数学建模与素质教育[J].数学的实践与认识，2003，33（2）.