基于柔性负载的液压自动调平系统控制器设计

(滨州学院 机电工程学院， 山东 滨州 256600)

引言

调平技术应用广泛，目前已经应用在道路施工的沥青摊铺机[1]、大型工程运梁车[2]、静力压装机[3]、导弹发射车[4-5]、大型液压机[6]、山地拖拉机[7]以及防空火炮上[8]。在众多的关于调平问题的研究中，大都以刚性平台的调平为研究对象。而实际调平过程中，往往会遇到某些前后跨度较大，刚性较低的柔性平台或刚柔耦合平台。平台的柔性不但加剧了各液压缸之间的相互耦合，同时产生的振动对调平性能的影响也不能忽视。因此，对基于柔性负载的液压自动调平系统进行初步的理论研究，在假设负载为悬臂梁的基础上，建立了2个液压缸之间的耦合动力学模型，并在该模型的基础上设计了控制器。通过选择合适的控制方法不但实现了各控制通道的解耦，保证负载能够达到期望的位置，而且能够有效抑制调平过程中的负载振动。虽然本研究的控制器针对2个液压缸调平设计，但该控制器的设计方法可以扩展到负载为悬臂梁的多缸调平系统中。

1 两缸调平系统的建模与耦合分析

2个液压缸的调平示意图如图1所示，调平的最终目标是实现负载与大地保持水平。假设液压缸与负载是球铰接触，由于2个液压缸之间通过负载形成了闭运动链[9]，这个闭运动链形成的约束导致负载的旋转自由度消失，因此负载只有1个自由度，即只能做直上直下的运动，想要实现调平的目标则负载必然要发生形变。通常调平系统的水平度测量通过水平仪实现，这里假设通过水平仪已经折算出某水平度对应的各缸期望的位移。因此，本研究设计的控制器的控制目标是要保证负载达到期望的位置xd，同时使负载自由端达到期望的变形ω2d，另外还要保证负载振动为零。为了实现控制目标首先对图1系统进行建模。

图1 两液压缸调平示意图

1.1 柔性负载的动力学建模

首先假设负载为悬臂梁，负载与液压缸1的接触点为固定端，而与液压缸2的接触点为自由端。在建模过程中只考虑悬臂梁的横向变形，忽略其他方向的变形。假设调平过程中变形量较小，因此将负载的运动近似为刚体运动与变形的叠加。下面利用Lagrange方程和Hamilton原理来进行建模。由于负载只有y方向1个自由度，因此只考虑y方向坐标的变化，负载上任一点的坐标xp可以表示为：

xp=xc1+ω(x,t)

(1)

式中,xc1为负载的刚体运动位移，同时也是液压缸1的位移；ω为负载的变形量，x∈[0,l]定义了梁的空间坐标。对式(1)求导可得：

(2)

由式(2)得梁的动能为：

(3)

式中，ρ为梁的单位长度质量；l为梁的长度。

梁的势能有两部分组成，分别是弹性势能和重力势能，弹性势能可表示为：

(4)

式中，EI为梁的横向弯曲刚度。重力势能简化为:

(5)

其中，M为负载的质量。

液压缸对悬臂梁做的虚功可表示为：

δW=f1δxc1+f2δxc2

(6)

其中，f1和f2分别表示液压缸1和液压缸2作用于负载的力，xc2=xc1+ω2表示液压缸2的位移，ω2=ω(l,t)。

对式(3)～式(6)应用Hamilton原理，得到梁的动力学模型为：

(7)

其中，式(7)中的第1式为梁振动的动力学方程，第2式为梁刚体运动的力平衡方程，后两行为梁的边界条件，由于梁没有旋转自由度，故ω″(l,t)=0；当f2≠f1，在l端会产生剪力，于是EIω‴(l,t)=f2-f1。详细的建模过程可参阅文献[10-14]。

图2 负载变形受力示意图

由于式(7)中出现了积分项和力的冗余，给控制器的设计增加了难度，下面对模型(7)进行简化。图2为负载发生变形的简化示意图，负载在f2-f1的作用下发生变形和振动，由于负载0端固定，所以变形和振动相互叠加将会在0端施加一个力的作用，于是得：

(8)

将式(8)和式EIω‴(l,t)=f2-f1代入式(7)，整理得：

其中，fb为将要设计的边界控制力，用于保证负载末端达到期望的变形量同时抑制负载的振动。显然通过模型的转化不仅克服了冗余力问题，而且仅需要测量两端的应变而避免了测量整个负载的应变。

1.2 液压缸建模

为了推导方便，假设调平液压缸为对称液压缸。对称液压缸的力平衡方程表示为：

i=1,2

(10)

其中，pLi=p1i-p2i为液压缸i的负载压力；mi为液压缸i的活塞质量；Ffi为已建模的库仑摩擦力；Bi为黏性摩擦系数；xci为液压缸i的行程。

每个液压缸由伺服阀控制。考虑液体的可压缩性并且忽略阀的动特性，每个液压缸的压力动特性可由如下方程表示[15]：

i=1,2

(11)

其中，Vti为液压缸i及其与伺服阀之间管路的总容积；βe为油液弹性模量；Ctmi为由于压力引起的通道i的总泄漏系数；QLi为液压缸i负载流量。QLi与伺服阀i的阀芯位移有关，QLi可表示为[15]：

i=1,2

(12)

其中，Cdi为伺服阀i的流量系数；wi为伺服阀i的阀口面积梯度；xvi为伺服阀i的阀芯位移；ps为油源压力；ρ为油液密度。取：

(13)

考虑到实际电液伺服系统的响应频率远低于电液伺服阀的响应频率，因此在实际建模中可以将电液伺服阀的模型近似为比例环节，即：

xvi=Kviui

(14)

其中，Kvi为阀芯电压位移增益。ui为伺服阀输入电压信号。联立式(11)～式(14)得：

(15)

1.3 系统动力学模型

结合式(9)和式(10)，获得以下动力学模型：

(16)

其中，ω2=xc2-xc1。

从式(16)可以看出，2个液压缸之间相互耦合，给控制器的设计增加了难度。下节会针对该模型给出第1步控制器设计方法，该方法包括合适的解耦方法，以及位置控制和振动抑制的方法。完成此步控制器设计之后，能够获得虚拟控制输入p1d和p2d，即期望的负载压力信号。随后将会针对模型式(15)，设计实际的控制信号u1和u2跟踪期望的负载压力p1d和p2d，以保证控制目标能够实现。

2 控制器设计

2.1 边界控制器设计

首先针对模型式(16)完成第1步控制器的设计。该步控制器的控制目标如下所示：

其中，ωd和xd为常数。

提出如下解耦控制律：

(17)

0.5Mg+Ff2+m2g+0.5EIω‴(0,t)+

(18)

其中，xc1e=xc1-xd，ω2e=ω2-ω2d，k1，k2，k3，k4和k5为反馈增益。该控制律通过消去通道中的耦合项实现解耦。

取y(x,t)=xc1(t)+ω(x,t)，并将控制律式(17)和式(18)代入式(16)，得：

(19)

其中，y(0,t)=xc1，ye(0,t)=xc1e。由式(19)可见在控制律式(17)、式(18)的作用下通道间实现了完全解耦。

下面证明在控制律式(17)和式(18)的作用下，式(19)的解渐进趋近于0，即控制目标能够实现。

首先定义一个函数空间H，如下：

x1,x2,x3,x4∈R}

(20)

(21)

Hk={f∈L2|f′，…，f(k)∈L2}

(22)

于是方程式(19)可写成如下抽象形式：

(23)

算子A的定义域D(A)定义为：

x1,x2,x3,x4∈R,EIu‴(l,t)=fb}

(25)

在H空间定义“能量”内乘：

(26)

(27)

ki>0,i=0,1,…，6，kye>0，kωe>0

且:k2=kye，k4=kωe，k5=k6。

可以保证算子A在H空间生成C0收缩半群T(t)，并且对于每一个λ∈ρ(A)，预解算子(λI-A)-1是紧的，其中ρ(A)是算子A的预紧集。

证明：根据Lumer-Philips理论[16]，证明A生成了C0收缩半群共分为两步，首先证明算子A是耗散算子。然后证明值域R(I-A)=H。

对任意z=(u,v,x1,x2,x3,x4)T∈D(A)，可得下式：

2[z,Az]H=-[x2+x4]EIu‴(l,t)+x2EIu‴(0,t)+

x2[-k1x2-k2x1-EIu‴(0,t)]+

kyex1x2+kωex3x4+x4[-k3x4-k4x3+k5x2]

(28)

于是可得算子A是一个耗散算子。

(29)

(30)

其中，a4=ρ/EI。式(29)的解为：

u(x)=c1cosbxsinhbx+c2sinbxsinhbx+

c3sinbxcoshbx+

cosb(x-τ)sinhb(x-τ)]·

(31)

u(x)=d1x+d2x2+d3x3+

(32)

(33)

其中，式(32)中的d1，d2和d3是常数，其求解过程可通过将式(31)，式(32)代入式(33)即可求得，进而得到u(x)的表达式，由u(x)可求得其它变量。因此，-A-1存在。下面证明如下条件满足：

(34)

综合以上不等式可得不等式(34)成立，故-A-1是紧算子。

引理2：闭环系统式(23)是渐进稳定的。

证明：由文献[17]的理论3.26，结合引理1的结论，要证明渐进稳定，只需要指出虚轴上无特征值。引理1的结论已经指出，0不是特征值。首先由：

(35)

(36)

其中，K=-w2<0。式(35)解的形式为：

ω(x)=c1sinaγx+c2sinhaγx+

c3cosaγx+c4coshaγx

(37)

其中，c1,c2,c3,c4为常数，a4=ρ/EI，K=-γ4，γ由梁的结构形式决定。根据边界条件(36)可得c1,c2,c3,c4为0，故φ1=0。因此，φ=0。显然这与φ是特征向量矛盾。故虚轴不存在特征值，闭环系统式(23)是渐进稳定的。

2.2 后推控制器设计

第2步控制器采用后推设计方法，针对模型式(15)设计实际控制信号u1和u2，跟踪期望的负载压力p1d和p2d，保证能够达到期望的控制目标。由式(17)和式(18)可得：

(38)

(39)

于是定义跟踪误差为：

(40)

重新整理模型式(15)得：

i=1,2

(41)

选择Lyapunov函数为：

(42)

其中，zp=diag(zp1,zp2)

Q=diag(Vt1/4βe,Vt2/4βe)

对式(42)求导并结合式(40)、式(41)可得：

(43)

选择控制律：

(44)

将式(44)代入式(43)可得：

(45)

于是在式(44)的作用下，跟踪误差将会渐进趋于0。由式(44)得实际控制输入为：

(46)

(47)

3 仿真验证

在仿真过程中，负载模型采用有限维模型近似，这里选择前4阶模态。选择的负载的物理参数为：l=1 m,M=50 kg,ρ=50 kg/m3,EI=100 N·m2。液压系统物理参数选择为：B1=B2=300 kg/s,βe=700 MPa,m1=0.2 kg,m2=0.5 kg,ps=2 MPa,A1=0.002 m2,A2=0.0021 m2,Ctm=10-8,Vt1=0.000158 m3,Vt2=0.000155 m3,Kq1=0.00175 m,Kq2=0.0017 m,Kv1=0.0001 m/V,Kv2=0.00012 m/V。控制器参数选择为：k1=k2=20，k3=k4=20，k5=100,k6=10，K1=diag[300,300]。位置控制目标是保证xc1→1 m，ω2→0.02 m。在未考虑添加边界控制律的前提下两个液压缸的行程如图3所示。图4为加入边界控制律后两个液压缸的行程。负载l端在加入边界控制律前后的振动对比如图5所示。通过加入边界控制律的前后对比可以发现加入边界控制律能够有效的抑制负载自由端的振动。图6和图7分别为2个液压通道的负载压力以及伺服阀电压信号。通过仿真结果表明本研究提出的控制律能够有效的实现提出的控制目标。

图3 未考虑边界控制律的两液压缸行程

图4 加入边界控制律后两缸位移

图5 负载自由端振动对比

图6 加入边界控制律后负载压力曲线

图7 加入边界控制律后实际控制信号

4 结论

(1) 针对大跨度柔性负载的调平系统进行了初步的理论研究，将柔性负载简化为悬臂梁，建立了该系统的分布参数力耦合模型；

(2) 针对建立的力耦合模型，提出一种控制器设计方法，该方法能够有效的实现通道间的解耦，同时能够抑制柔性负载自由端的振动，有效提高位置控制精度，仿真结果验证了提出方法的有效性。