费希尔分布最大值分布的渐近展开

韦 杰，曾 萍

(贵州中医药大学 信息工程学院， 贵阳 550025)

(1)

其中G(x)为非退化分布函数。若上式在G(x)的连续点处成立，则称F(x)属于G(x)的吸引场，记作F∈Dl(G)，并且G(x)只能是3种经典极值分布类型之一[1]。自极值理论提出后，学者们对其展开了深入的研究[2-8]。在抽样分布中，费希尔分布的概率密度函数[9]为

(2)

其中m、v表示自由度(m>0，v>0)，

本文主要研究在最优规范化常数条件下，自由度为m、v的费希尔分布随机变量序列最大值分布的渐近展开，并得到最大值分布收敛到极值分布的逐点收敛速度。

1 相关引理

为了证明定理，需要一些辅助引理。首先给出费希尔分布尾部表达式、Mills率和最优规范条件下最大值的极值分布。

引理1设f(x)和F(x)分别为费希尔分布概率密度函数和分布函数，对于充分大的x>0，有

(3)

证明对于x>0，有

(4)

由洛必达法则得到

(5)

结合式(4)(5)，对于充分大的x可以得到式(3)，引理得证。

引理2当x→∞时，有Mills率：

(6)

证明对于x>0，由引理1可得

综上，当x→∞时，引理得证。

其中，规范化常数

(7)

证明对于引理1，当x>0时，有

根据引理1和文献[1]的推论1.12得到F∈Dl(Φv/2)。存在tn，使得满足n(1-F(tn))=1，因此结合式(6)，当n→∞时，有

整理得到

1) 当0

2) 当v=1时，有

3) 当1

4) 当v=2时，有

an(anh(an;x)-κ(x))→ω(x)

其中，这几种情况的κ(x)和ω(x)在定理1中给出。

证明令

(8)

(9)

(10)

(11)

下面讨论0

类似可得

引理得证。

2 主要结论

定理1设{Xn,n≥1}为i.i.d.序列，F(x)为费希尔分布的分布函数，规范常数an由式(7)给出，当n→∞时，

1) 当0

(12)

2) 当v=1时，有

(13)

3) 当1

(14)

4) 当v=2时，有

(15)

其中：

(16)

(17)

证明由引理3可知，当n→∞时，h(an;x)→0且

(18)

下面讨论0

定理得证。

致谢：衷心感谢西南大学彭作祥教授在学术科研上的悉心指导。