非高斯随机分布系统自适应控制算法的研究

屈毅+穆丽宁+赖展翅

摘 要： 针对非高斯随机分布系统的追踪控制问题，在建立系统动、静态数学模型的基础上，提出自自适应调整控制方法，并给出该算法的实现步骤。通过分析可知，该算法能够实现系统输出概率密度函数追踪目标概率密度函数，并满足规定的保性能指标。

关键词： 非高斯随机分布系统； 自适应控制； 数学模型； 概率密度函数

中图分类号： TN911?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）04?0053?03

Self?adaptive control algorithm for non?Gaussianstochastic distribution systems

QU Yi， MU Li?ning， LAI Zhan?chi

（1. Department of Electrionics and Information Engineering， Xianyang Vocational Technical College， Xianyang 712000， China；

2. College of Electrical and Information Engineering， Lanzhou University of Technology， Lanzhou 730050， China）

Astract： Based on dynamic and static mathematical models， a self?adaptive adjustment control algorithm is proposed for tracking control of the non?Gaussian stochastic distribution systems， and the algorithm steps are introduced. The analysis result shows that the systems output probability density function follows the target probability density function， and the performance index is not more than a specified upper bound.

Keywords： non?Gaussian stochastic distribution system； self?adaptive control； mathematical model； probability density function

0 引 言

近十几年来，经典的随机控制前提是假设系统中的变量服从高斯分布，通过选择控制量，使系统获得较优的追踪误差[1?8]。但是，在实际系统中，许多系统变量不服从高斯分布，经典的随机控制策略，很难获得满意的控制效果。

1996年，Manchester大学王宏教授提出了输出概率密度函数（Probability density function，PDF）形状控制算法。该控制算法是控制随机系统的输入，使系统输出的概率密度函数分布形状尽可能地跟踪给定概率密度函数分布形状，可有效的解决动态随机变量不服从高斯分布的问题，并在线实现了的造纸过程样机运行实验[1?2]。经过近十年来的发展，输出概率密度函数控制已经形成了一个逐渐完善建模及控制理论体系。

非高斯随机分布系统输出概率密度函数模型建立之后，接着就需要设计合理的非高斯随机分布控制算法。本文针对该问题提出了自适应控制算法，该控制算法的目的就是选择合适的控制输入[u（t）]使非高斯随机分布系统输出概率密度函数尽可能追踪目标概率密度函数[γg（y）] ，同时满足规定的性能指标。

1 模型参考自适应控制算法

1.1 模型建立

假设[v（t）∈[a，b]]是一致连续有界随机过程变量，表示非高斯随机分布系统的输出；[u（t）∈Rn×1]表示非高斯随机分布系统的控制输入，控制变量[v（t）]的概率分布。在任何时刻，[v（t）]可通过其概率密度函数[γ（y，u（t））]来表示，其表达式为：

[P（a

式中[P（a

假设定义区间[a，b]是已知的，概率密度函数[γ（y，u（t））]是一致连续有界，使用B样条函数逼近，则系统输出概率密度函数的表达式为：

[γ（y，u（t））=i=1nvi（u（t））Bi（y）] （2）

非高斯随机分布系统的动态部分由连续时不变系统表示，则其表达式如下：

[V（t）=AV（t）+Bu（t）+w（t）γ（y，u（t））=C（y）V（t）+L（y）] （3）

式中：[A∈R（n-1）×（n-1）]和[B∈R（n-1）×m]是未知的参数矩阵；[V（t）=（v1，v2，…，vn-1）]是状态向量；[w（t）∈Rn-1]是外界干扰；[C（y），L（y）]的定义如下：

[L（y）∈b-1nBn（y）∈R1×1C（y）=C1（y）-Bn（y）bnbT=（B1（y）-Bn（y）abBn（y）dyabB1（y）dy，B2（y）-Bn（y）abBn（y）dyabB2（y）dy，…，Bn-1（y）-Bn（y）abBn（y）dy abBn-1（y）dy）∈R1×（n-1）]

记：

[f（y，u（t））=γ（y，u（t））-L（y）] （5）

对于[y∈[a，b]]，可进一步可获得

[V（t）=AV（t）+Bu（t）+w（t）f（y，u（t））=C（y）V（t）] （6）

假设存在一个正定常数[δ]，满足如下表达式：

[w（t）δ]

1.2 自适应控制器的设计

在非高斯随机分布系统控制中，控制算法设计的目的是选择合适的系统控制输入[u（t）]使系统输出概率密度函数跟踪目标概率密度函数[γg（y）]，即：

[limt→+∞γ（y，u（t））=γg（y）] （7）

为了实现系统输出概率密度函数的追踪目的，假设目标概率密度函数可用如下表达式表示：

[γg（y）∈Ω=ff=i=1nwici（y）] （8）

式中[ci（y）]是基函数向量[C（y）]的第i个元素；[wi（i=1，2，…，n-1）]是定值。这就意味着存在一个已知向量[Vg∈Rn-1]，使目标概率密度函数[γg（y）]可用如下表达式表示：

[γg（y）=C（y）Vg]

在系统输出概率密度函数追踪过程中为了获得好的动态性能，权值向量[V（t）]应逼近参考目标权值向量[Vg]，[Vg]可从如下参考模型中得到：

[Vm（t）=AmVm（t）+Bmr] （9）

式中：[Am∈R（n-1）×（n-1）]和[Bm∈R（n-1）×m]是已确定的矩阵；[r∈Rm]是已确定的常量。

[Am]是稳定矩阵，使下列表达式成立：

[limt→+∞Vm（t）=VgAmVg=-Bmr] （10）

这就意味着选择系统控制输入[u（t）]，使[V（t）]尽可能的逼近[Vm（t）]。

定义：

[e（t）=V（t）-Vm（t）]

则，可得到误差动态系统：

[e（t）=AV（t）+Bu（t）+w-AmVm（t）-Bm] （11）

为了使误差动态系统式（11）渐近稳定，可构造如下控制算法[1]：

[u（t）=Q（t）（K（t）abD（y）f（y，u（t））dy+r）] （12）

式中：[K（t）∈Rm×（n-1）]和[Q∈Rm×m]已确定的自适应调整增益矩阵；[γ（y，u（t））]是可测的系统输出概率密度函数，[D（y）∈Rn-1]是定义在区间[a，b]上的函数向量，控制输入[u（t）]与概率密度函数[γ（y，u（t））]的积分相关，定义系统的性能指标为：

[J=ab（γ（y，u）-γg（y））2dy] （13）

该性能指标依赖于系统输出概率密度函数[γ（y，u（t））]的权值积分。

为了简化表达式，定义：

[Σ=abD（y）C（y）dy∈R（n-1）×（n-1）] （14）

存在两个常数矩阵[K0∈Rm×（n-1）]和[Q0∈Rm×m]，使下面的条件成立：

[A+BmK0Σ=AmBQ0=Bm] （15）

由式（3）和式（12），可得非高斯随机分布闭环系统为：

[V（t）=（A+BQ（t）K（t）Σ）V（t）+BQ（t）r+w（t）] （16）

由式（11），式（15），式（16）可得到误差动态系统：

[e（t）=Am（t）V（t）+B（Q（t）K（t）-Q0K0）ΣV（t）+BQ（t）r- AmVm（t）-Bmr+w（t） =Ame（t）+Bm（K（t）-K0）ΣV（t）+Bm（Q-10- Q-1（t））u（t）+w（t）] （17）

定义：

[?（t）=K（t）-K0ξ（t）=Q-10-Q-1（t）] （18）

则式（11）进一步可表示为：

[e（t）=Ame（t）+Bm?（t）η（t）+Bm（t）ξ（t）u（t）+w（t）] （19）

式中[η（t）=ΣV（t）]。

由于[V（t）]是不可测的，[e（t）]也是不可测的，则[e（t）]不能在自适应调整算法中使用。必须构造一个信号可在自适应调整算法中使用，则构造的信号为：

[ε0（t）=abD0（y）（f（y，u）-g（y））dy∈Rm] （20）

式中[D0（y）∈Rm]是一个已确定的函数向量，则可看出信号：

[ε（t）=ε0（t）-Σ1（Vm（t）-Vg）] （21）

是可测得定义：

[Σ1=abD0（y）C（y）dt∈Rm×（n-1）]

则式（21）可表示为：

[ε（t）=Σ1e（t）] （22）

误差动态系统可进一步表示为：

[e（t）=Ame（t）+Bm?（t）η（t）+Bmξ（t）u（t）+w（t）ε（t）=Σ1e（t）] （23）

式中除了[e（t），?（t）]和[ξ（t）]外，所有参数信息都是可测的。

2 参数[K（t），Q（t）]的调整规则

在建立非高斯随机分布误差动态系统（23）之后，接着就需要设计非高斯随机分布系统的控制算法。为了设计[K（t），Q（t）]的调整规则，首先考虑在噪声干扰不存在的情况下，通过文献[1?2]中的定理1直接引出[K（t），Q（t）]控制算法。

定理1：假设式（10），式（15）成立；矩阵[Am]稳定和满足[w（t）=0]；存在定义在区间[a，b]上的函数向量[D0（y）]和一个正定矩阵[P]，使表达式：

[ATmP+PAm=-In-1BTmP=Σ1] （24）

成立，则自适应调整规则：

[K（t）=-ε（t）ηT（t）Q（t）=-Q（t）ε（t）uT（t）Q（t）] （25）

成立，式（23），式（25）中的参数变量一致连续有界且：

[limt→+∞f（y，u）=g（y）， ?y∈[a，b]] （26）

当定理1中的条件满足时，非高斯随机分布闭环系统是全局渐近稳定，可实现式（7）的追踪性能指标。

自适应调整控制算法可通过以下步骤实现：

（1） 选择[D0（y）]使条件式（24）满足；

（2） 采集控制输入[u（t）]，和由系统输出获得概率密度函数[γ（y，u（t））]；

（3） 利用式（5）计算[f（y，u）]和参考模型输出[Vm（t）]；

（4） 利用式（21）计算[ε（t）]；

（5） 利用式（25），计算增益[K（t），Q（t）]；

（6） 利用式（12），计算[u（t）]。

3 结 语

非高斯随机分布系统控制是控制理论与应用研究领域的一个重要分支。其目标就是通过分析系统特性来设计、优化控制算法、确保非高斯随机分布系统的稳定性、鲁棒性和收敛性能。本文针对系统追踪控制问题，首先建立系统输出概率密度函数模型，动态数学模型，通过定理1提出自适应调整控制算法，并给出该算法的实现步骤。通过分析可知该算法能够实现系统输出概率密度函数追踪目标概率密度函数，并满足规定的保性能指标。

参考文献

[1] WANG Hong. Bounded dynamic stochastic systemss： modelling and control [M]. London： Springer?Verlag Ltd， 2000.

[2] GUO Lei， WANG Hong. Stochastic distribution control systems design [M]. London： Springer?Verlag Ltd， 2010.

[3] 屈毅，李战明，李二超.随机分布系统的神经保性能控制器的设计[J].计算机集成制造系统，2012，18（11）：2515?2521.

[4] QU Yi， LI Zan?ming， LI Er?chao. Fault tolerant control for non?Gaussian stochastic distribution systemss [J]. Circuits System Signal Process， 2013， 32 （1）： 361?373.

[5] GUO Lei， WANG Hong. Observer?based optimal fault detection and diagnosis using conditional probability distribution [J]. IEEE Transactions on Singnal Processing， 2006， 54（10）： 3712?3719.

[6] QU Yi， LI Zan?ming， LI Er?chao. Fault detection and diagnosis for non?Gaussian stochastic distribution systemss with time delays via RBF neural networks [J]. ISA Transactions， 2012， 51： 786?791.

[7] WANG Hong， AFSCHAR P， YUE Hong. ILC?based generalised PI control for output PDF of stochastic systems using LMI and RBF neural networks. Proc.of the IEEE Conference on Decision and control. San Diego， CA： IEEE， 2006： 5048?5053.

[8] QU Yi， LI Zan?ming， LI Er?chao. Fault detection and diagnosis for non?Gaussian singular stochastic distribution systemss via output PDFs [J]. Automatika， 2012， 53（3）： 236?243.

[ATmP+PAm=-In-1BTmP=Σ1] （24）

成立，则自适应调整规则：

[K（t）=-ε（t）ηT（t）Q（t）=-Q（t）ε（t）uT（t）Q（t）] （25）

成立，式（23），式（25）中的参数变量一致连续有界且：

[limt→+∞f（y，u）=g（y）， ?y∈[a，b]] （26）

当定理1中的条件满足时，非高斯随机分布闭环系统是全局渐近稳定，可实现式（7）的追踪性能指标。

自适应调整控制算法可通过以下步骤实现：

（1） 选择[D0（y）]使条件式（24）满足；

（2） 采集控制输入[u（t）]，和由系统输出获得概率密度函数[γ（y，u（t））]；

（3） 利用式（5）计算[f（y，u）]和参考模型输出[Vm（t）]；

（4） 利用式（21）计算[ε（t）]；

（5） 利用式（25），计算增益[K（t），Q（t）]；

（6） 利用式（12），计算[u（t）]。

3 结 语

非高斯随机分布系统控制是控制理论与应用研究领域的一个重要分支。其目标就是通过分析系统特性来设计、优化控制算法、确保非高斯随机分布系统的稳定性、鲁棒性和收敛性能。本文针对系统追踪控制问题，首先建立系统输出概率密度函数模型，动态数学模型，通过定理1提出自适应调整控制算法，并给出该算法的实现步骤。通过分析可知该算法能够实现系统输出概率密度函数追踪目标概率密度函数，并满足规定的保性能指标。

参考文献

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[8] QU Yi， LI Zan?ming， LI Er?chao. Fault detection and diagnosis for non?Gaussian singular stochastic distribution systemss via output PDFs [J]. Automatika， 2012， 53（3）： 236?243.

[ATmP+PAm=-In-1BTmP=Σ1] （24）

成立，则自适应调整规则：

[K（t）=-ε（t）ηT（t）Q（t）=-Q（t）ε（t）uT（t）Q（t）] （25）

成立，式（23），式（25）中的参数变量一致连续有界且：

[limt→+∞f（y，u）=g（y）， ?y∈[a，b]] （26）

当定理1中的条件满足时，非高斯随机分布闭环系统是全局渐近稳定，可实现式（7）的追踪性能指标。

自适应调整控制算法可通过以下步骤实现：

（1） 选择[D0（y）]使条件式（24）满足；

（2） 采集控制输入[u（t）]，和由系统输出获得概率密度函数[γ（y，u（t））]；

（3） 利用式（5）计算[f（y，u）]和参考模型输出[Vm（t）]；

（4） 利用式（21）计算[ε（t）]；

（5） 利用式（25），计算增益[K（t），Q（t）]；

（6） 利用式（12），计算[u（t）]。

3 结 语

非高斯随机分布系统控制是控制理论与应用研究领域的一个重要分支。其目标就是通过分析系统特性来设计、优化控制算法、确保非高斯随机分布系统的稳定性、鲁棒性和收敛性能。本文针对系统追踪控制问题，首先建立系统输出概率密度函数模型，动态数学模型，通过定理1提出自适应调整控制算法，并给出该算法的实现步骤。通过分析可知该算法能够实现系统输出概率密度函数追踪目标概率密度函数，并满足规定的保性能指标。

参考文献

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[7] WANG Hong， AFSCHAR P， YUE Hong. ILC?based generalised PI control for output PDF of stochastic systems using LMI and RBF neural networks. Proc.of the IEEE Conference on Decision and control. San Diego， CA： IEEE， 2006： 5048?5053.

[8] QU Yi， LI Zan?ming， LI Er?chao. Fault detection and diagnosis for non?Gaussian singular stochastic distribution systemss via output PDFs [J]. Automatika， 2012， 53（3）： 236?243.