电液伺服试验机方波再现的谐波控制方法

李 潮， 陈章位， 黄连生， 邱宏亮

(1.浙江大学 流体动力与机电系统国家重点实验室，杭州 310027；2.杭州亿恒科技有限公司，杭州 310015)

材料和结构可能由于循环应力而破裂或失效，材料试验机是用于确定材料和结构在循环应力的特性，在机械零部件、车辆、航空航天等领域有着广泛的应用[1]。电液伺服试验机来说，方波再现非常困难。一方面，电液伺服系统在高频段具有幅频特性下降和相频滞后的现象，响应时间较长，难以实现高精度的方波跟踪；另一方面，试件的刚度特性千差万别，控制器需要对于不同刚度试件的适应能力。

目前为止，已有许多关于液压伺服试验机的自适应控制。Lee[2]提出了伺服液压材料试验台的自校正极点配置控制器。试验结果表明正弦波形幅值得到了有效的补偿。他们还进一步指出，由于伺服阀操作在力和应力控制中的应用接近于零，因此阀的机械零位偏移、阀重叠和径向间隙对系统的影响更大，因此有必要对系统模型进行在线辨识。有些学者提出可变PID控制如自动调节PID控制器[3]和自适应PI控制器[4-5]，通过重新调整参数以适应系统的变化，但这两种方法都需要进行预试验的调节。广义预测控制(GPC)也被应用于力控制液压系统，尽管动力和非线性高，试验结果也显示出良好的适应性[6]。此外，还有学者将自适应逆控制[7]，迭代学习控制[8]和重复控制[9]应用于液压伺服系统。这些方法都能对系统的刚度变化有良好的自适应能力，实现正弦波形的幅值补偿，但对于方波的再现，响应速度仍然不够快。

为了克服干扰，刚度和其他环境不确定性，噪声放大或共振，Niksefat等[10-11]将QFT控制应用于液压力控制。他们给出了具有不同环境刚度、不同参考力、不同压力供应的阶跃响应的结果，证明了QFT控制的鲁棒性。此外，Ahn等[12]提出了一种利用梯度下降法来调整QFT参数的自校正QFT控制器。自整定QFT方法的结果显示出比PID控制器更快的阶跃响应。QFT控制虽有较强的鲁棒性，但在波形跟踪精度方面，仍不如前述的自适应逆控制、广义预测控制等自适应的控制策略。

针对液压系统的非线性和参数不确定性，Alleyne等[13]提出了一种基于Lyapunov自适应控制的参数不确定性补偿方法。针对具有非线性未知参数的电液伺服系统Guan等[14]提出了一种自适应滑模控制方法，结合滑模控制方法，构造了一种新型的Lyapunov函数，构造了渐近稳定的自适应控制器和自适应律。Yao等[15]提出了一种非线性自适应鲁棒反步控制器，它可以补偿系统的非线性和不确定参数。然而，控制器的设计通常需要较为精确的数学模型及其参数，自适应过程也需要状态量的测量，这限制了它们在一般工业中的应用。

此外还有一些智能控制用于液压伺服控制的研究。Truong等[16]提出了一种基于鲁棒扩展卡尔曼滤波器的在线智能整定模糊PID方法。模糊控制[17]，学习控制和神经模糊学习控制[18]也被提出用于克服系统的不确定性。然而，这些控制方案需要较长的学习过程，对于方波也不能提供足够快速的响应。

本文主要研究电液伺服试验机方波再现的控制问题。从理论上讲，方波在实际系统中是不能完全再现的，因为在阶跃点上有一个无限快的指令，实际的物理系统是不可能跟踪的。我们只能使响应尽可能接近方波。本文提出了一种新型的谐波控制方法，由多个谐波近似合成方波。该方法通过在线提取响应信号的各阶谐波的幅值和相位，并迭代修正每个谐波的幅值和相位而精确再现方波，而无需事先知道被控系统的数学模型。

1 系统描述

本文的目的研究方波再现的谐波控制，试验系统的构成如图1所示，试件被夹持在液压缸和横梁之间，安装在液压缸之上的伺服阀控制液压缸作动，对试件进行加载。系统中包含两个传感器，其中，力传感器安装于试件与横梁之间，采集试件所受的载荷数据；LVDT位移传感器安装于液压缸内部。

图1 试验系统构成

Clarke等建立了一个材料试验机的九阶模型，并与试验结果的吻合度很高。他们进一步指出，忽略载荷框架的动力学，系统可以进行简化，如图2所示。简化后电液伺服系统可以描述为三阶线性化模型，能够很好地描述液压材料试验机的特性。

图2 系统的简化模型

通过对阀孔局部线性化和流量方程的推导，推导出了三阶数学模型。

QL=Kqxv-KCPL

ApPL=MXps2+KXp

(1)

式中：QL是负载流率，PL是作动器的两腔压力差；Kq和KC分别为流量增益系数和流量压力增益系数；Ap，Vt和Xp分别是执行器活塞的面积、油量和试样位移；M和K是试样的质量和刚度；Ctp和β分别是油的泄漏系数和体积模量。

根据式(1)描述的模型，力控制系统的传递函数可以表示为

(2)

式中，Kce=Kc+Ctp。

位移控制系统的传递函数可以表示为

(3)

经典的反馈控制必须达到稳定性和快速性之间的折衷，这导致在高频信号的跟踪中不令人满意的精度。理论上，PID控制器可以抵消系统传递函数在低频的稳定零极点，在低频段能获得很好的跟踪效果，但是若想较好地跟踪高频信号，必然会在一定程度上损失系统稳定裕量。在工程实践中，PID控制器虽然简单易懂，但若想在实践中调节到最优的控制效果是不容易的。用PID控制对上述的三阶模型在MATLAB/Simulink中进行仿真，图3给出了两种典型的力跟踪效果。如果想要快速响应，很容易会发生超调，这是试验机不允许的。

更进一步，从系统传递函数可以看出，试件刚度对系统特性有相当大的影响，对于不同刚度的试件，PID参数在试验中需要重新调节，这为试验过程造成很多不便而且增加了操作人员的难度。

因此，为了使系统对方波的高频部分有更好的自适应跟踪能力，本文提出一种谐波控制的方法，对输出信号的各阶幅值和相位的偏差进行在线补偿。这种方法不仅提高了方波信号高频段的跟踪精度，对于系统特性的变化有良好的适应能力。

(a) 响应快，有超调

(b) 响应较慢

2 期望波形的谐波合成及其优化

本文采用谐波合成的方法实现方波的精确控制。首先，需要谐波合成期望的方波。周期信号的频谱是离散的，可以由有限的或无限的正弦波合成。假设n次谐波用于合成方波的近似，时域信号可以被描述为

(4)

其中，

ωi=(2i-1)ω0

(5)

(6)

Ai和ωi是每个谐波的振幅和角频率。ω0是基频，即方波的频率；A是方波的幅值。然而，如果我们试图通过谐波合成理想的方波，则发现即使在选择大量谐波时，时域信号会有较大的峰起和纹波。图4给出了幅值为1的5 Hz方波的谐波合成，这表明即使50个谐波(频率高达49 Hz)也不能给出令人满意的结果。

(a) 20个谐波合成

(b) 50个谐波合成

因此，期望波形需要进行优化，我们既希望波形的响应较快，同时不要产生超调，以免造成对试件的过试验。需要调整每个谐波的幅值来优化期望方波的时域波形，这里采用Nelder Mead单纯形法[19-20]搜索各阶谐波的最佳幅值。

设搜索的各阶谐波幅值向量p=[A1A2…An]，定义其对应的指标函数为

(7)

式中，N是方波一个周期内额总采样点数，Δrk是用幅值向量p合成的时域波形与理想方波在第k个点的偏差，αk是第k个点的加权系数。将方波不连续点处邻域的系数设置为较小值，而在其他点处的加权系数设置为较大的值，可以防止方波的谐波合成过程中由于吉布斯现象造成的峰起和纹波。各阶幅值优化过程如下。

步骤1 生成初始单纯形。

选取幅值向量的初值p0，这里取为式(6)中的方波各阶谐波幅值的标称值。利用下式(8)生成另外n个初值p1～pn。

pi=p0+λiei,i=1,2,…,n

(8)

式中，ei是n维空间的单位正交基。λi是正的系数，其大小与搜索范围相关。n+1个向量p0～pn构成初始的单纯形。将n+1个向量p0～pn的分别代入指标函数，并对其从小到大进行排序，不失一般性，描述为

J(p0)≤J(p1)≤…≤J(pn)

(9)

步骤2 求取重心点、最差点的反射点。

分别用pl、pnl、ps表示单纯形内的n+1个向量中使得指标函数最大的、次大的、最小的幅值向量。除最差点pl之外，其余点的重心为

(10)

最差点pl关于重心的反射点为

pr=pg+ρ(pg-pl)

(11)

式中，ρ是反射系数，通常取为1。

步骤3 迭代寻优

根据反射点的指标函数值J(pr)落在的区间，进行分类讨论。

(1)若J(ps)≤J(pr)≤J(pnl),用pr直接替代pl，构成新的单纯形；

(2)若J(pr)≤J(ps)，求pr的延伸点

pe=pg+χ(pr-pg)

(12)

式中，χ>1是延伸系数。如果J(pe)≤J(pr)，用pe替换pl；否则，用pr替换pl。

(3)若J(pnl)≤J(pr)≤J(pl)，进行外收缩

pc=pg+γ(pr-pg)

(13)

其中，0<γ<1是收缩因子。如果J(pc)≤J(pl)，用pc代替pl；否则，需要进行压缩操作

vi=ps+σ(pi-ps),i=1,2,…,n

(14)

其中，0<σ<1是压缩因子。压缩后构成新的单纯形p0,v1～vn。

(4)若J(pr)≥J(pl)，进行内收缩

pc=pg+γ(pl-pg)

(15)

如果J(pc)

步骤4 重复步骤2和步骤3，不停迭代更新单纯形。迭代一定次数后，最后所得的单纯形中的ps即是所求的最优幅值向量。

用上述的单纯形寻优方法，将参数设置为n=8,λi=0.05,i=1,2,…,n,ρ=1,χ=2,γ=0.5，σ=0.5，采样频率为3 000 Hz。αk在k=24～276时取1，其余点处取0。图5显示了优化后的5 Hz方波的谐波合成结果。图中优化后的合成波形基本没有超调和纹波，而且有一个相当快的响应速度，其上升时间大约为9 ms。

图5 用8阶谐波优化后合成的方波

3 谐波控制方法

3.1 谐波幅值相位修正算法

在第二节中，我们求得了优化的期望波形的各阶幅值，这里记作Adi，i=1,2,…,n。而期望波形各阶相位都为φdi=0。然而，如果将期望的信号作为输入信号输入闭环液压伺服系统，由于液压系统的在中高频段的幅值衰减和相位滞后，输出响应不能维持所需的幅值和相位。因此，本文采用谐波控制器，在线修正命令输入信号的各阶谐波幅值和相位，以实现期望的输出信号。控制系统的框图如图6所示。

图6 谐波控制原理框图

PID控制器构成一个内层闭环伺服控制。谐波控制器的输出由给定幅值和相位的多个谐波正弦信号叠加生成，作为PID伺服闭环的命令输入信号。输出响应信号通过A/D转换器采集至数字信号处理器DSP，DSP对每一帧输出信号进行谐波幅值和相位估计。谐波控制器根据输出响应信号的各阶谐波幅值和相位误差对命令输入信号的幅值和相位进行修正。幅值迭代修正的方法如下

(16a)

(16b)

式中，上标k代表第k次迭代，下标i代表第i阶谐波。EA是输出响应信号的谐波幅值估计与期望幅值偏差。Am是输出响应信号谐波幅值的估计值。D是谐波控制器输出信号的谐波幅值，随着迭代的过程不断更新。常量μ<1是收敛因子，用于调节收敛速度。

同理，相位的修正方法为

(17a)

(17b)

式中，EP是输出响应信号的谐波相位与期望相位的偏差，φm是输出响应信号谐波相位的估计值。P是谐波控制器输出信号的谐波相位η与μ类似，是收敛因子。

3.2 谐波幅值相位提取估计算法

在线性系统的假设下，因为谐波控制器的输出(命令输入信号)是由多个谐波叠加生成，输出响应信号也是多个正弦波的叠加。

设输出响应信号为

(18)

根据积化和差公式得到

(19a)

(19b)

(20a)

(20b)

4 试验结果

将本文提出的谐波控制方法应用于液压伺服试验机上进行试验，并与PID控制器的波形控制效果进行了比较。表1列出了试验机液压系统的参数。

图7和图8分别给出了谐波控制之前的PID控制和谐波控制后的位移方波跟踪效果。位移控制试验采1 Hz，±10 m的方波，中心位置为0 mm。类似的，图9和图10是1 Hz，±200 N的方波的力控制试验结果。在谐波控制中，输出响应信号的幅值相位估计的帧长度为256个采样点，谐波幅值相位估计使用二阶巴特沃斯低通滤波器，幅值相位修正算法的收敛因子均取为0.1。

表1 液压系统的参数

图7 谐波控制之前的PID位移控制跟踪效果

图8 谐波控制之后的位移控制跟踪效果

图7和图8采用相同的PID参数，图9和图10也是采用相同的PID参数，图7和图9的PID参数均未调到最优。由图可见，采用谐波控制方法经过一段时间迭代之后，输出响应波形对方波的跟踪精度非常高，位移控制的方波响应的上升时间约为50 ms，力控制方波的输出响应的上升时间约为48 ms。事实上，上升时间主要是由合成的优化方波影响的。本文由于只选用了8阶谐波进行合成，对于1 Hz的方波，其上升时间理论上是45 ms。如果选用更多阶谐波，在物理系统允许的情况下能够达到更快的响应速度，但这在另一方面大大增加了计算量。

图9 谐波控制之前的PID力控制跟踪效果

图10 谐波控制之后的力控制跟踪效果

谐波控制不仅拥有快速的响应时间，而且其跟踪曲线都没有产生明显的超调，其跟踪效果对于内环的PID参数也不敏感，有良好的自调节能力。快速的响应时间主要是由于谐波控制器从频域对各阶谐波的幅值相位进行修正，对于高频部分的幅值衰减和相位滞后有定位的补偿能力。此外，由于精确的幅值相位提取算法，几乎不会对控制系统的稳定性造成影响。而PID控制器参数调节较难，在高频段无法定位补偿，只能通过协同调整三个参数来拓展频宽，而且提升波形的跟踪能力必定在一定程度上影响其闭环稳定性。

从图10力控制的效果来看，输出响应信号存在较大的噪声，这是因为传感器测量和仪器噪声引起的。因为本试验采用的试件刚度很小，试验力不能采用太大的幅值。由于200 N的信号相对较小，所以引入了较大的噪声，但是与谐波控制算法的精度无关。

5 结 论

本文提出了一种新的方波再现的谐波控制方法，并进行了试验验证。首先，用Nelder Mead单纯形法，合成方波的各阶幅值进行优化，进而合成期望的近似方波。然后，通过在线估计输出响应信号的幅值和相位，求取与期望波形各阶幅值相位的误差，根据误差迭代修正各阶谐波的命令输入信号的幅值和相位，最终使输出响应信号与合成的优化后的时域波形趋于一致。最后，本文提出的谐波控制算法在一个液压伺服试验机上进行了试验验证，从位移控制和力控制的方波跟踪效果看，谐波控制方法可以对方波进行精确的控制。输出响应信号不仅有相当快的响应速度，同时，没有产生超调。

本文所提出的谐波控制从频域的角度对时域的方波进行控制，其优点是，控制通过迭代进行，不需知道系统模型，也无需做系统辨识。由于一直进行在线的幅值和相位迭代修正，对于系统特性的变化和环境不确定性，有非常强的适应能力。本文将该方法在液压试验机系统方波的控制中得到成功的验证。此外，我们相信它也可以推广应用于其他领域的周期波形的控制问题中。