上三角矩阵李代数的强ad-幂零元

靳梦丹，胡志广

（天津师范大学数学科学学院，天津300387）

1 引言和预备知识

在李代数理论中，著名的共轭定理是：特征为0的代数闭域上的有限维李代数的任意2 个Cartan 子代数关于内自同构群共轭.共轭定理与李代数的强ad-幂零元密切相关，而强ad-幂零元一定是ad-幂零的[1-2].在幂零李代数中无非平凡的强ad-幂零元，在半单李代数中，由强ad-幂零元指数生成的自同构子群是内自同构群[2].上三角矩阵李代数是一类重要的可解李代数，许多学者对其进行了研究[3-8].本文考虑特征为0的域F 上的3 阶上三角可解李代数，给出了其所有的强ad-幂零元，并得到了其强ad-幂零元集在自同构群下的轨道.

设F 是特征为0 的代数闭域，t（n，F）={（aij）∈gl（n，F）|aij=0，i ＞j}为n 阶上三角可解矩阵李代数，有时简记为t.记Aut（L）为李代数L 的自同构群，Int（L）为L 的内自同构群.设σ 是有限维线性空间V上的线性变换，令

若Vλ≠{0}，则称之为σ 关于λ 的根子空间.文中其他记号见文献[1-2].

定义1设L 为域F 上的李代数，x∈L，若存在y∈L 以及ady 的某一非零特征值a，使得x∈La（ady），则称x 为强ad-幂零的.

引理1[2]设φ∈Aut（L），则

定义2设称O（x）={φ（x）|φ∈Aut（L）}为x 在自同构群Aut（L）作用下的轨道.

引理2设L 为F 上的李代数，其导子列为

设φ∈Aut（L），则φ（L(i)）=L(i)，i≥0.

2 主要结果

定理1设L=t（3，F），则ce23|a、b、c∈F}.

证明设则ady 在基e11+e22+e33，e11，e22，e12，e23，e13下的矩阵为

由此可得ady 的特征值为

下面分情况讨论.

情况1若y11、y22、y33互不相等，则λ1、λ2、λ3均不为零，有如下情形.

（1）若y11+y33≠2y22，则λ1、λ2、λ3互不相等，此时ady 的非零特征值的根空间均为特征子空间.计算得

（2）若y11+y33=2y22，则有λ1=λ2≠0，λ3=2λ1，计算可得

情况2若y11、y22、y33中仅有2 个相等，则有如下情形.

（1）若y11=y22≠y33，即λ1=0，λ2=λ3≠0，则解（ady-λ2id）2x=0 可得Lλ2=Fe23+Fe13.

（2）若y22=y33≠y11，即λ2=y22-y33=0，λ1=λ3≠0，则

（3）若y11=y33≠y22，即λ3=y11-y33=0，λ1=-λ2≠0，此时计算得

情况3若y11=y22=y33，此时无非零特征值.

综上可得到t（3，F）的所有强ad-幂零元.证毕.

推论设L=t（3，F），则E（L）=Int（L）.

证明由定理1 及其证明知，若adx 幂零，则x=λI+y，其中I 为3 阶单位阵，y 为强ad-幂零元.所以adx=ady，因此E（L）=Int（L）.

定理2设L=t（3，F），φ∈Aut（L），取L 的一组基

则φ 在这组基下的矩阵为

或者

证明设

因为李代数的自同构将中心映为中心，而C（t）=Fε1，故有

由引理2 及L(1)=span{ε4，ε5，ε6}和L(2)=Fε6知

由[φ（e11），φ（e13）]=φ（e13）和[φ（e22），φ（e12）]=φ（-e12）可分别求得b2=1 和c2=0.再由[φ（e12），φ（e23）]=φ（e13）得f6=d4e5-e4d5.注意到f6≠0，则有d4e5≠0 或e4d5≠0.

当d4e5≠0 时，由[φ（e22），φ（e12）]=φ（-e12）得c3=1，d5=0，d6=c5d4，由[φ（e22），φ（e23）]=φ（e23）得e4=0，e6=c4e5；再由[φ（e11），φ（e23）]=0 得b3=0，b4=-c4；最后，由[φ（e11），φ（e22）]=0 可得b5=0，c6=-b4c5.由此可得自同构φ 的第1 种表达形式，容易验证由这种形式定义的φ 是自同构的.

当e4d5≠0 时，利用同样的方法可求得自同构φ的另一种表达形式.证毕.

注 容易求得t（3，F）的内自同构为定理2 的第1 种表达形式下的a1=1，b1=c1=0 的情形.关于n 阶上三角可解李代数t（n，F）的自同构和内自同构可见文献[3].

定理3李代数t（3，F）的强ad-幂零元集在其自同构群作用下的轨道分解为

证明由定理1 知e12、e12+e23和e13都是强ad-幂零元，再由定理2，可求出它们在自同构群下的轨道分别为

易知它们互不相交，且它们与零轨道的并就是所有的强ad-幂零元，因而可得自同构群作用下的轨道分解.证毕.