一类分段近Hamilton系统极限环个数的估计

邓 蕊，李宝毅，张永康

（天津师范大学数学科学学院，天津300387）

1 引言和主要结果

分段动力系统不仅能用于解释众多的自然现象，而且能准确地刻画生物学、医学、机械学等领域的实际问题.因此，完善的分段光滑动力系统理论可解决自然科学中的许多问题，同时也能促进各科学领域的发展.极限环个数的估计是动力系统研究的重要问题之一，关于平面分段动力系统极限环个数的研究已有许多结果.将平面分成左右2 个半平面时，文献[1]证明了一类分段线性微分系统可以存在2 个极限环；文献[2]证明了一类二次分段近Hamilton 系统可以存在8个极限环；文献[3]证明了一类分段线性Hamilton 系统在n 次多项式扰动下至多存在n+2[（n+1）/2]个极限环；文献[4]证明了一类分段线性Hamilton 系统在n 次多项式扰动下至多存在n+2[（n+1）/2]-1 个极限环.文献[5]证明了一类将平面分成2 个扇形区域的分段光滑线性Hamilton 系统在n 次多项式扰动下至少存在n+2[（n+1）/2]+1 个极限环.文献[6]给出了由2条平行线将平面分成3 个区域的分段光滑近Hamilton系统一阶Melnikov 函数的计算公式，并证明了Kukles系统在某一闭轨附近可分支出2 个极限环.文献[7]证明了一类将平面等分成4 个扇形区域的分段光滑线性近Hamilton 系统可以存在5 个极限环.文献[8]证明了一类将平面等分成4 个扇形区域的二次分段光滑近Hamilton 系统可以存在16 个极限环.本文将平面等分成3 个扇形区域，在此基础上研究一类分段线性Hamilton 系统在n 次多项式扰动下极限环的个数.

在平面内定义3 条射线l0={（x，0）|x≥0}、l1=这3 条射线的参数方程分别为

其中s∈[0，+∞）.l0、l1和l2将平面等分成3 个扇形区域D1∪D2∪D3，其中

考虑分段近Hamilton 系统

其中： 0 ＜ε≪1，（x，y）∈Dk.当k=1、3 时，Pk（x，y）=当k=2 时，（x-x0）iyj，x0∈R+.Pk（x，y）和Qk（x，y）均为区域Dk内的n 次实系数多项式，n∈N+，且

当ε=0 时，系统（1）ε=0存在围绕原点的逆时针走向的周期闭轨其中

设周期闭轨Γh与l0、l1、l2的交点分别为A0（u，其中u∈（0，2），故则轨线Γ1h在区域D1上的参数方程为

θ1和θ2分别表示当Γ2h位于点和时所对应的角，因此

定理当系统（1）ε的一阶Melnikov 函数M1（h）≢0 时，存在n 次多项式Pk（x，y）、Qk（x，y），k=1、2、3，使得系统（1）ε至少存在2n+2[（n+1）/2]+2 个极限环.

2 一阶Melnikov 函数

引理1[7]系统（1）ε的一阶Melnikov 函数为M1（h）=I1+μ2I2+μ2μ3I3，其中

引理2I1可表示为其中fi（j）表示关于变量j的i 次多项式，且其各项系数相互独立.

证明利用数学归纳法证明.当n=1 时，将Γ1h的参数方程（2）带入I1的计算公式可得

其中

当n=2 时，将Γ1h的参数方程（2）代入I1的计算公式可得

其中

假设当n=2k（k∈N+）时结论成立，即

则当n=2k+1（k∈N+）时，考虑增加的项，

注意到当u=0 时有

且此多项式的次数为α+ζ+1+max{α+ζ+1，γ}，而

特别地，当α=β=δ=ζ=0，γ=2k+1 时，α+ζ+1+max{α+ζ+1，γ}=2k+2.故新增加的项为u2k+2、u4k+4.多项式的次数为γ，因为

即γ≤k+1，且当α=k，β=δ=ζ=0 时，γ=k+1，故新增加的项为

当n=2k+2（k∈N+）时，同理可证新增加的项为其系数相互独立且仅与2，i、j∈N}中的元素有关，故n=2k+2（k∈N+）时结论成立.证毕.

引理3设当m 为正奇数时，vmkm=u2fm-1（u2）； 当m 为正偶数时，vmkm=u2fm-1（u2）+Cmωvm.

证明当m=0、1、2 时，

且有

利用数学归纳法容易证明引理3 成立.

引理4I2可表示为其中fi（j）表示关于变量j 的i 次多项式，且其各项系数相互独立.

证明当n=1 时，将的参数方程（3）代入I2的计算公式可得其中

其中

假设当n=2k（k∈N+）时结论成立，即ωv2fk-1（v2），则当n=2k+1（k∈N+）时，考虑增加的项，

当j 为奇数时，

故有

注意到当u=0 时有

且此多项式中u 的最高项次数为4（k+1-β -i/2）+2+2（2β+i-1）=4k+4，故新增加的项为u4k+4.多项中v 的次数为2k+2，故新增加的项为ωv2k+2.

新增加的项u4k+4、ωv2k+2的系数相互独立且仅与中的元素有关，故n=2k+1（k∈N+）时结论成立.

当n=2k+2（k∈N+）时，同理可证新增加的项为u4k+6，且其系数仅与中的元素有关.故n=2k+2（k∈N+）时结论成立.证毕.

引理5I3可表示为I3=uf2n+1（u），其中fi（j）表示关于变量j 的i 次多项式，且其各项系数相互独立.

证明当n=1 时，将Γ3h的参数方程（4）代入I3的计算公式可得

其中

40年来，上海国民经济实现年均增速9.8%，GDP增长的同时，通过调整产业结构、转变经济发展方式，单位能耗稳步下降。万元地区生产总值能源消费在1980年为6.8t标煤，2005年首次降至1t标煤，2017年下降至0.4t标煤，约为1980年的5.8%，年均降幅高达7.4%。由于各产业单位能耗差别显著，尤其是第三产业单位能耗仅为第二产业的50%左右，得益于产业结构调整和产业内部结构优化的有力带动，上海第三产业比重不断加大，总体能源利用效率持续提高，（见图4）。

假设当n=k（k∈N+）时结论成立，即I3=uf2k+1（u），则当n=k+1（k∈N+）时，考虑增加的项，

注意到当u=0 时有

根据引理1、2、4、5 可得到分段近Hamilton 系统（1）ε的一阶Melnikov 函数为

3 定理证明

引理6[5]设φi（u）为（0，+∞）上的连续函数，且当0 ＜u≪1 时其中Ai≠0，1≤i≤k 且α1＜α2＜…＜αk，则存在实数B1，B1，…，Bk，使得上至少存在k -1 个正变号零点.

定理的证明当0 ＜u≪1 时，

其中

因此有

其中

且σ4≠0，σ5≠0.

当n=1 时，M1（h）=0 等价于

注意到

其中

令

因此，M1（h）=0 等价于

其中系数a1+b1μ1、a2+b1μ2+c1σ1、a3+b1μ3、a4+b1μ4+c1σ2、a5+b1μ5、a6+c1σ3、c1相互独立.由引理6 可知存在实数a1、a2、a3、a4、b1、a6、c1，使得M（1h）=0 在（0，1）上至少存在6 个正变号零点，即存在一次多项式P（kx，y）、Q（kx，y），k=1、2、3 使得系统（1）ε至少存在6 个极限环.

当n=2 时，M1（h）=0 等价于

令

因此，M1（h）=0 等价于

其中系数a1+b1μ1、a2+b1μ2+c1σ1、a3+b1μ3、a4+b1μ4+c1σ2、a5+b1μ5、a6+b1μ6+c1σ3、a7+b1μ7、a8+c1σ4、c1相互独立.由引理6 可知存在实数a1、a2、a3、a4、a5、a6、b1、a8、c1，使得M1（h）=0 在（0，1）上至少存在8 个正变号零点，即存在二次多项式Pk（x，y）、Qk（x，y），k=1、2、3 使得系统（1）ε至少存在8 个极限环.

当n≥3 时，M1（h）=0 等价于

用类似的方法可以证明存在实数ai（i=1，2，…，2n+2，2n+4），bj（j=1，2，…，[（n ＋1）/2]）, ck（k=1，2，…，[（n+1）/2]）（2n+3+2[（n+1）/2]个独立参数），使得M1（h）=0 在（0，1）上至少存在2n+2[（n+1）/2]+2 个正变号零点，即存在n 次多项式Pk（x，y）、Qk（x，y），k=1、2、3 使得系统（1）ε至少存在2n+2[（n+1）/2]+2 个极限环.进一步，当n 为偶数时，极限环的个数为3n+2.当n 为奇数时,极限环的个数为3n+3.