开放题融入常态课堂助力学生深度学习

摘   要：选择和使用小学数学开放题，需要先研读教材，找寻知识的起点，以原型题为出发点，融入内容关涉的开放题，对课堂教学中呈现的知识点进行引申和拓展，有意识地拓展学生思维，帮助学生构建灵活多变的数学思维模式，提升数学课堂的深度和广度。

关键词：开放题;运算规律;数学课堂教学;两位数乘法;

作者简介：徐宏，高级教师，湖北省应城市实验小学教育集团碾屋校区校长、党支部书记，湖北省小学数学优秀教师，孝感市骨干教师，孝感市首届教育英才，应城市拔尖人才，应城市名师。（湖北  应城  432400）

中图分类号：G623.5      文献标识码：A      文章编号：1671-0568（2019）19-0021-03

教材是学生学习数学知识的直接来源，教师需要从教材上找到知识的起点，从原型题出发，选择合适的数学开放题，满足不同层次学生的学习需求，让学生得到不同程度的成长。教师实施常规教学时，如能合理地选择、使用开放题，将有助于拓展学生的思维，帮助学生构建灵活多变的数学思维模式，提升数学思维的深度和广度。

一、以教材内容为依托，给思维提供一个起点

学习数学概念、数学公式，教师不仅要关注学生对基础知识的理解和掌握，更要拓展学生的思维空间，关注学生思维的深度和广度。将基础知识的学习与开放题的使用结合起来，既能帮助学生学习理解基础的数学知识结构体系，又能借助开放题的使用帮助学生深入理解数学概念、公式内涵，达到事半功倍的效果。

乘法及乘法运算中隐含的规律不易被学生发现，也不易被学生理解。“人教版”教材在编排时有意识地给学生提供探究乘法运算规律的空间。如在三年级下册第四单元结束后，教材59页练习十三中有这样一道练习题（如图1）。要求学生在计算的基础上观察算式中的积与两个因数，在比较中发现规律：

教师要求学生说出自己发现了什么，主要是希望学生通过观察和比较，结合两位数乘两位数的估算和笔算来发现规律，即观察每一道乘法算式的两个因数和积的变化规律，探究其中蕴含的数与积之间的内在联系，初步发现这一类乘法算式中积的规律，获得借助估算和笔算来发现探究数学规律的初步体验。

一般来说，探索规律总是在已有知识经验的基础上来进行的，三年级学生已经掌握了两位数乘两位数的笔算方法，要探索两位数乘两位数的规律。教师一般从估算入手，让学生体会到估算不仅是一种数学计算方式，还是一种有效解决问题的常用手段。例如：

30×30≈;31×29≈;32×28≈;33×27≈;

50×50≈;51×49≈;52×48≈;53×47≈;

学生估算出结果后，展开交流。

生：这里第一排的估算结果都是900，第二排的估算结果都是2500。

师：从估算过程中发现了什么？

生：这里虽然第一组算式中的数都不一样，但是结果都相同。第二组也是这样的。

师：为什么这里的估值都是一样的呢？

生：我们发现，这里第一行两个因数估值都是30，所以估算的结果都是900。第二行两个因数的估值都是50，所以估算的值都是2500。

很明顯，通过估算的方法只是确定了两组算式的积的取值范围，要探索积的变化规律还需要有进一步的探究。接下来，笔者让学生借助笔算得出每道算式的准确结果：

30×30=900;31×29=899;32×28=896;33×27=891;

50×50=2500;51×49=2499;52×48=2496;53×47=2491;

笔者让学生中观察比较第一组算式，看看有什么相同点和不同点。

生：相同点是这一组数中两个因数的和都是60。30+30=60;31+29=60;32+28=60;33+27=60。

生：不同点是每个算式的积都不一样，而且是一个比一个小，也就是900>899>896>891。

师：两个因数的和都是60，为什么积会减少呢？这中间有什么特殊的规律吗？

生：好像是第一行的算式中的第一个因数每次增加1，第二个因数每次减少了1，所以积也会发生变化。

师：非常好，虽然第一个因数每次增加1，第二个因数每次减少了1，但是两个因数的和还是60啊，积为什么会逐渐减少呢？

生：……

很显然，学生根据已有知识经验，能够发现乘法运算中的直观规律，如因数的变化能够引起积的变化。但是涉及两个因数的和不变，比如：一个因数减少，另一个因数增加，积为什么会有变化？这需要有更深的知识结构和生活体验，但囿于学生认知能力的局限性，进一步的探究活动常常难以为继。

二、以开放题为抓手，提升学生思维的深度

《小学数学开放题举一反三》中有“变幻的因数”这一章节，能够给学生提供一个全新的角度，恰到好处地诠释了这个问题。笔者暂时放弃对教材问题中结论的揭示，转而出示“变幻的因数”中的例题一：用2、3、4、5这四个数字组成一道两位数乘两位数的乘法算式（数字不可重复应用），请你写出三道算式，比较它们乘积的大小;比一比，看看你能写出几道符合条件要求的算式，这些算式中谁的乘积最大，谁的乘积最小？比较以上算式的因数和积，看看你能从中发现什么规律？这三个层次的活动，能丰富学生的认知过程，强化对问题的分析和理解。首先是估算，让学生先用估算的方法写出的每个算式的积：32×45≈1500;24×35≈600;43×52≈2000;53×24≈1000，然后让学生对比观察。

师：这里哪两个数相乘的积最大，哪两个数相乘的积最小？

生：这里的43×52≈2000最大，24×35≈600最小。

师：如果我们要使得两个数相乘的积最大，你会怎样选择？

生：因数十位上的数必须选择最大的那两个数。

师：如果我们要使得两个数相乘的积最小，你会怎样选择？

生：因数十位上的数必须选择最小的那两个数。

师：那我们来选一下，两个数相乘的积最大，你会选哪一个？

生1：43×52。

生2：我认为是42×53。

师：这两个算式的积是一样的吗？究竟谁大一些？

依据以往的知识经验，学生知道因数最高位的大小影响积的大小这一运算基本规律，但要找出两组数中积最大的那一组数，只能通过笔算比较。

师：为什么43×52的积大于42×53的积？请同学们对照笔算乘法算式，互相交流，看看你有什么发现？

生：我发现第一个算式的十位上的5乘43得215个十，也就是2150，第二个算式的十位上的5乘42得210个十，也就是2100，第一个算式的积多一些。

师：还有什么发现？

生：我发现第一个算式43个位上的3乘52十位上的5得150，个位上的2乘43十位上的4得80;第二个算式42个位上的2乘53十位上的5得100，53个位上的3乘42十位上的4得120，两者之间相差了10。所以，43×52的积大于42×53的积。

这样学生自然而然地发现：两个数相乘，十位上的大数与个位上较大的数相乘，得到的积要大一些。

有了这样的基础，两个数相乘积最小的那一组就比较顺利了，学生发现：要得到最小的积，因数十位上的数必须选择最小的那两个数。根据这个条件可以选择：34×25，35×24。学生独立完成笔算过程：34×25=850，35×24=840。交流总结得出结论：这里34个位上的4乘25十位上的2得80，25个位上的5乘34十位上的3得150;35个位上的5乘24十位上的2得100，24个位上的4乘35十位上的3得120，两者之间相差了10。因此，34×25>35×24。

将开放题适时融入常态课堂，不仅能增加学生计算练习的密度，也让估算和笔算过程成为展示数学现象、探究运算规律的有效手段，既增强了探究活动的真实性，又提高了学生参加探究活动的积极性，大大提升了探究的价值。学生在计算中不仅掌握了基础算法，获得探究活动的真实体验，还完成了对数学规律的归纳和总结，加深了对数的运算规律的深层次的认识与理解。这样的开放性研究对學生数学学习方式的拓展和多元思维的发展大有裨益。

三、借助开放题，拓展学生思维的空间

有了上述经历，可以继续研讨教材59页练习十三中的练习题，第一组算式：30×30=900，31×29=899，32×28=896，33×27=891。我们先来比较各个算式中十位上的数与十位上的数相乘的积，四道算式中的十位数相乘的积分别是900、600、600、600。除了30×30外，再来看看每个算式中个位上较大数乘十位上较大数的积，算出的结果依次是：30×9=270，30×8=240，30×7=210。两项积加起来分别是900、870、840、810。很明显，积在逐步减少。对比两项乘积可以发现，第一道算式30乘30，十位上的两个数最大，因此乘积的百位数最大。后三道题由于个位上的数与十位上的数相乘时，只有用最大的数乘十位上的3得到的积才是最大的数，最后加起来的积也比较大。第一组的规律找到了，第二组算式的规律也就迎刃而解了。

接着，我们继续借力开放题进行思维拓展：把2、4、6、8四个数分别填入方框中，写成乘法算式，结果接近1000，你知道这样的算式有哪些？（数字不允许重复使用）

□□□×□=

让学生自由填写算式，用自己认为可行的方法计算对比，找到自己认为合适的答案。然后集中交流。

师：你们找到哪些算式？

生1：我们组找到这些算式：248×6= ;284×6= ;286×4= ;268×4= ;486×2= ;428×6= ;284×6= ;468×2= 。

师：这些算式中哪些算式的积接近1000？

生2：接近1000的算式有：248×6≈1000;68×4≈1000;486×2≈1000;468×2≈1000;

师：究竟哪些算式的结果最接近1000呢？可以采用什么办法来解决问题？

生：笔算。

学生的笔算结果为：248×6=1488;2268×4=1072;486×2=972;468×2=936。

师：你们认为哪个算式的结果最接近1000呢？

生：486×2=972最接近1000。

师：为什么486×2最接近1000呢？

生：因为这里的486最接近500，500乘2得1000。

学生边计算、边分析、边推理，将估算与精确计算有机地融入问题的解决过程中，不仅提升了学生对于估算以及笔算应用价值的认识，同时也有效地帮助学生建构解决计算问题的一般性策略：估算→初步排除，精确计算→精准定位，结果对比→解决问题。学生从开放题的问题解决过程中获得了常规教学中未曾体尝过的独特体验，完成了对数本身内涵的初步认识，拥有了具有极高数学思维价值的活动经验。

总之，开放题的选择和使用要结合教材内容的编排来综合考虑。尤其对于小学数学学科来说，数学活动应该是一项逻辑性很强的思维活动，教师的教学活动不仅能引导学生学习数学知识，还能给学生提供全方位的数学思维活动空间，引导和帮助学生多角度思考问题，提高全方位解决问题的能力，培养发散性思维，形成开放性与创新性思维。从这个角度来说，将开放题融入常态课堂教学，遴选具有生活气息的开放题，能够极大地提升学生的数学学习积极性，不断开阔学生的数学视野，促使学生自主建构知识结构，提高学生的创新意识和创新能力。

参考文献：

[1] 杨传冈，等.小学数学开放题举一反三[M].南京：南京大学出版社，2014.

[2] 杨传冈.小学数学开放题教学行思[J].教育探索，2015，（11）：31-35.

责任编辑   秦俊嫄