难题的蝴蝶效应：“外延”视野下解决问题策略的探究

孙秋晴

摘  要：解决问题策略是数学学习中的重要环节，策略的探究和掌握不仅有利于学生解题能力的全面提升，还能进一步开发学生的数学核心素养;不仅能培养学生的数学抽象和逻辑推理能力，更能在数学建模能力上有所成就。“外延”视野下的解决问题策略教学注重于学生解决问题策略性的培养，在复杂问题的指引下，先化难为易，再以易解难，在解题的过程中体会策略的实用性，为灵活运用策略打下坚实基础。在复杂问题简单化的过程中，不仅实现了解决问题策略的灵活掌握，而且提升了学生自身能力的全面成长。

关键词：复杂问题简单化;小学数学;解决问题的策略

解决问题的策略教学归根到底还是要培养学生解决问题的策略性。在之前的教学中笔者一直有这样的困惑：到底如何激发学生对策略的需求？到底如何启发学生灵活运用策略？直到看到张载（北宋哲学家）“艰难困苦，玉汝于成”和老子“天下难事必作于易，天下大事必作于细”后，顿觉豁然开朗。

一、难题驱动：“蝴蝶振翅”引发的“微弱气流”

2014年笔者来到小学任教，面对不一样的学段和学校文化笔者困惑于：“一节解决问题策略的新课例题到底应有怎样的难度？”

为此笔者做了一个调查，调查结果显示学生更加喜欢简单明了、能够直接解决的问题，但是对复杂问题却有些掣肘，不知如何下手。对复杂问题的畏惧似乎成了所有学生的通病，学生对于复杂问题有所畏惧，数学教学偏重于学科知识的掌握。

学生对于复杂问题的畏惧归根到底还是缺少对复杂问题的历练。只有在平时的学习中掺入适量的复杂问题，让学生的思维得以活跃，才能从本质上克服这种畏惧心理。同时教师也应明确：只有充分地经历复杂问题的解答过程，才能真正地享受数学带来的乐趣。

复杂问题，是问题的一般表现形式。问题解决，尤其是复杂问题的解决，已经成为认知科学和学习研究中关注的焦点。复杂问题的解决是一个动态的复杂过程，需要综合运用多种认知和非认知成分。

问题的复杂性也成了生活、工作、学习中遇到问题的典型特质。解决复杂问题是所有人在现实生活中不得不面对的情形，为此，我们更加应当在平时的学习中加强对复杂问题的历练和解决，让学生在小学阶段就有对复杂问题解决的充分感知，进一步提升在今后学习、生活中解决复杂问题的能力。

会解决复杂问题是数学优秀思维的重要标志。复杂问题的解决从本质上来讲就是在绝境中寻找出路，解决复杂问题过程的价值往往全面超越了复杂问题答案本身，其关键价值往往体现在“你是怎样想到这个解法的”，优秀的数学思维往往能在复杂问题的解决上体现出极大的优势。如何培养学生拥有优秀的数学思维就成了当代教师需要直面的一个问题，复杂问题可以在某种程度上指引学生训练这种微妙的思维。

二、化难为简：“微弱气流”导致的“连锁反应”

复杂问题简单化是一种数学思维习惯。复杂问题简单化是一种探索“怎样想到解法”的策略。当面对复杂问题无从下手时，把问题进行适当的转化，转化成这个问题的低阶形式或者已经学习过的情形，再通过对新的简单问题进行发掘和思索，明确解题思路，最终找到解题方法。数学的解题过程就是把复杂问题转化成一个或者几个简单问题以便于针对每个问题逐个解决。分类讨论、特例探路、着眼于极端情况、爬坡式推理都是典型的复杂问题简单化思路。

对数学知识的理解有时候也可以化繁为简，对部分、具体或特殊的情况进行验证，往往能促进整体、抽象或一般数学知识的理解。比如在教学商不变的性质时，部分学生无法直接理解其中的数学原理，不得已只能从特殊情况想起：被除数乘2，除数也乘2，商不变;被除数除以2，除数也除以2，发现商也不变。通过特殊情况的举例学生不难想到：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商不变。之后再用极端情况0来测试数学知识的正确性，从而得出一般性结论。数学知识看似死板而生硬，但从特殊开始思考，往往能让学生感受到化繁为简的魅力。

复杂问题简单化可能不是最快捷的解题方式，很多时候只是迫于无奈，然而复杂问题简单化已经成为我们思维的习惯，是撬动“知识宝库”最完美的“杠杆”。

复杂问题简单化是一种数学教学方法。复杂问题由于层次高、跨度大、思维深，往往对学生的解题造成了很大的阻碍。在数学学习中不可避免地会遇到复杂问题，在数学教学中往往会把复杂问题简单化。比如在教学“多边形的内角和”一课时，整节课的核心问题便是“任意一个多边形的内角和是多少？”对于这个复杂问题，多数学生无从下手，所以教师引导孩子应当从最简单的情形入手：先考虑三角形，再考虑四边形、五边形……从简单情形入手，发现规律。

简单化是数学的一种结构理想，最简单的问题往往蕴藏着最实用的方法。从简单入手往往可以发现足够的引申推广空间，通过层层推进或探究内在规律以达到解决复杂问题的目的。复杂问题简单化的本质还是在于从简单入手寻找规律或解题方法，再运用规律或解题方法来尝试解决复杂问题。

复杂问题简单化是一种实用的教学方法，一方面，学生可以獲得解决一般复杂问题的基本方法;另一方面，学生在简单化的过程中，依托于问题的简单可以享受足够的推广引申空间，充分体会解题的乐趣和解决复杂问题的喜悦之情，增强学生的学习效能。

复杂问题简单化是一种培育数学核心素养的教育理念。首先，难题的引入在一定程度上激发学生的创新意识，只有在已学知识的基础上有所创新才能解决今天遇到的问题;其次，在把复杂问题简单化的过程中学生就已经开始有意识地应用学习策略——化难为简，在解决简单情形的过程中可能需要借助几何直观拓展学生的空间观念，也有可能需要数形结合，辅助学生理解题意，再从简单开始解决复杂问题的过程中锻炼学生的推理能力。在解决问题的过程中，能够直接套用方法的模型也深刻进入了学生的视野，优化了学生的模型思想。

复杂问题简单化在形式上是从简单入手，逐步解决难题的过程，但是在思维上却是对学生创新意识的激发，推理能力的磨炼，应用意识的强化，模型思想的形成，是一种更加切合于数学核心素养的教育理念。

三、以易解难：“连锁反应”产生的“狂风骤雨”

“化难为简，以易解难”是解题数学中基本的学习方式。从古至今，复杂问题都是从简单情形开始思考的，一方面，简单情形比较容易解决;另一方面，事物之间总是存在某种联系或关联，在简单问题的解决过程中往往也能发现解决复杂问题的一般方法。人类的学习方式就是从简单入手，正如波利亚所说：“解题只能通过模仿和实践来学到它，简单模仿是一个通过观察被模仿对象的行为，获得相应的表象，从而产生类似的过程。”从简单开始是一种模仿行为，通过对简单情形解决过程的模仿，逐渐解决高阶复杂问题。

化难为简的过程就是着力于对难题的分解，力求让所有孩子在简单化的情形中证明自己的能力，在解题过程中找到乐趣，尝到成功的喜悦，在简单情形中受到的启发和思考往往也能让孩子在接下来的解题过程中有很大的促进作用，这样的形式学生更加容易接受和理解，成功的喜悅之情也会让学习成为学生的一种内需，成为学习行为的推进器。

以易解难的过程是在学生已有的思考上进一步提出要求，让学生通过推理，得出正确结论，从维果斯基的“最近发展区”理论来看，更高要求的情形就是学生学习的“最近发展区”。在学生跳一跳摘取胜利果实的同时，充分拓宽简单情形的“外延”，直到解决复杂问题为止。在这个过程中学生对同一“外延”的几道题目分别进行了充分的思考，在一定程度上有利于解决最终的复杂问题，培养解决这类问题的模型思想，提高解决复杂问题的正确率。

从复杂情形简单化开始，解决问题的过程变得十分有条理，从简单到稍复杂再到复杂，在解题过程中学生始终明确解题方向，从简单开始一步一个脚印往前走，戒骄戒躁，把“笃实”作为信条，在解题过程中“眼观六路，耳听八方”，观察这整个解题过程中的有利因素和复杂情形，为解决问题不断收集素材和方法，过程完整清晰厚重，不仅仅是对学习方法的提升和总结，也进一步保护了这种笃实的学习态度。

从复杂问题引入是对学生的挑战和高要求，将复杂问题简单化是一种常用的数学思维，也是一种实用的解题技巧。由简入难是学习的一般形式，也是探究总结方法的绝佳过程，在这个过程中学生不仅仅解决了难题，强化了学生学习的策略性，更是在解题过程中提炼了这类题目的解决方法，培养了学生的模型意识，更是在数学学习的方法上进行了前所未有的指引。总之，复杂问题简单化让学生不仅“会学”，而且“乐学”。