基于“学力”视角，探觅数学概念教学

陈宗久

【摘要】“概念”是小学数学的“细胞”，也是小学数学教学的基石。概念具有多种特质，如过程性、结构性和抽象性。在小学数学概念教学中，要激活学生建构之需、呈现学生建构之态、彰显学生建构之美。

【关键词】“学力”视角 数学概念 概念教学

概念是数学的“细胞”，是数学教学的“基石”。学生数学学习，无论是“数与代数”“空间与图形”还是“统计与概率”等都绕不开概念。基于学生“学力”发展视角，教师要将概念学习与学生数学思考、探究等结合起来，从而让概念成为学生数学学习的基石，成为学生展开数学活动、体会数学思想方法的重要载体。

一、诠释：数学概念的内涵

在“认知心理学”看来，所谓“概念”，是指“符号所代表一类具有共同标准属性的对象、事物。”无论是内涵还是外延，概念都是动态和不断发展的。在小学数学教学中，概念主要是反映事物数量关系和空间图形的本质属性的思维形式，它排除事物物理、化学等非数学属性，聚焦于数、形等数学特征，因而具有普遍意义。数学学习，不仅要理解概念内涵，而且要把握其外延;不仅要洞察其本质，而且要建构结构。因此，学生理解、掌握、习得数学概念通常有两种方式：概念形成和概念同化。所谓“概念形成”，是指从具体例证出发，通过归纳法抽取共同的本质属性，这是一个“从无到有”的过程。所谓“概念同化”，是指“将新概念纳入学生已有概念结构之中”，从而形成新的概念结构系统，这是一个“从旧到新”的过程。

二、寻绎：数学概念的特质

数学概念具有过程性和结果性、具象性和抽象性等相辅相成的特质。一般而言，数学概念形成之初是以过程性、具象性形态出现的，而数学概念诞生之态是以结果性、抽象性和结构性形态出现的。学生对数学知识正确认识和理解，是在数学概念不断形成、发展、完善中形成的。

1.过程表征让思维可见

数学概念本身具有高度抽象性，而学生思维却是具体形象的。因此，数学概念必须借助具体形象的表征来实现。如“加法”，必须建立在物体合并操作基础之上，只有通过合并操作，才能让学生形成最初的“加”的概念，这就是概念形成。再如抽象的“乘法”，教师就可以引导学生计算具有多个相同加数的算式，从而让学生自主建构“乘法概念”，这就是概念同化。概念产生过程反映了概念丰富的历史背景和诞生过程，有助于将抽象数学问题和学生看不见的思维过程呈现出来。

2.结构表征助学力发展

每一个数学概念都不是孤立地存在的，而是与其他相关数学概念存在千丝万缕的联系。概念理解不仅是掌握此一概念或彼一概念的内涵，更要洞悉此一概念与彼一概念的关系、结构。良好的概念结构有助于概念同化，有助于促进学生学力发展。如教学“小数的认识”，在理解小数的意义基础上，教师要引导学生沟通小数与分数的联系，即小数是不带分母的十进分数;要沟通小数与整数的联系，让学生准确把握“数位顺序表”，为小数计算法则教学奠定基础。这样的教学，能促进学生数学结构表征力的发展。

3.抽象表征促进创造可能

揭示数学概念过程是逐级抽象的。因此，在概念抽象化的过程中，学生获得的并非只是形式定义，也包括丰富、鲜活的表象。这种概念逐级抽象化过程有助于促进学生的数学创造。如“认识厘米”，重要的不是认识厘米概念本质——“1米的百分之一”，而是掌握厘米概念表象。教师借助“田字格”“回形针”等，让学生建立“1厘米”表象。只有清晰概念表象，才能真正把握“厘米”。在这个过程中，学生会产生系列创造想法，如厘米有“图钉”长、有“订书钉”宽、有“大拇指指头宽”，等等。并且，有了“厘米”概念表象，学生就尝试着创造“厘米尺”。当学生借助“厘米”概念表象自主建构“米尺”后，反过来就能真正理解“厘米”概念本质。

三、深探：数学概念的建构

数学概念的建构过程实质上就是数学概念的不断精致化、结构化、系统化的过程。即可以基于学生的前概念，对学生前概念进行适度提炼、加工、改造，也可以创生数学新概念。数学概念的建构既追求学生对数学概念的本质把握，也追求学生对数学概念的主动习得。笔者认为，这里重要的是要处理好数学概念与学生的思维对象之间的关系。

1.概念建构，激活学生建构之需

学生建构数学概念的根本动力是学生已有认知结构与新概念之间是否平衡。瑞士杰出教育心理学家皮亚杰深刻指出，学生已有认知结构与新概念之间是否平衡，决定着学生数学概念建构的效度。作为教师，要善于捕捉学生与概念之间的差异，并根据这种差异创设教学情境，激活学生内在的建构之需。

例如，教学“素数与合数”，教师可以借助学生学习“因数和倍数”的经验，引导学生用不同数量的小正方形拼长方形。通过拼长方形，激发学生的数学思考：为什么有些数量的小正方形只能拼一种规格的长方形，而有些数量的小正方形可以拼多种规格的长方形？为什么拼一种长方形的规格的宽都是1？这种认知冲突，有助于学生建构“素数和合数”的概念。学生联想到探究“因数和倍数”时，也是借助小正方形拼长方形。由此，学生深刻认识到：如果一个数的因数只有1和它本身两个因数，以这个数为数量的小正方形拼成的长方形就只有一种规格，而其他数量的小正方形拼成的长方形的规格就绝对不止一种。概念建构，彰显了学生的数学探究之美、思维之美。

实践表明，只有建立在学生内需基础上的概念建构，才有可能真正发挥学生主观能动性、创造性。这种概念建构在给予学生知识、技能的同时，也生成了更为丰富的教学价值。

2.概念建构，呈现学生建构之态

概念建构是一个复杂的过程，包括概念的引入、抽象、形成和内化。概念建构过程不可能一蹴而就，而是一个循序渐进甚至反复的过程。因为学生对概念的真正内化也并不一定是一帆风顺的。作为教师，要引导学生循序渐进地建构概念，呈现概念的建构之态。概念的逐步建构让学生的数学学习向更深处漫溯。

例如，学生在学习“百分数的意义”这一内容前，已经学习了“分数的意义”。因此，在借助经验帮助学生理解了“百分数的意义”后，教师要引导学生比较“分数”和“百分数”，逐步深化学生对百分数意义的认识，进而呈现学生的建构之态。如“百分数和分数在意义上有什么不同？”“百分数和分数的特征有什么异同？”这样的问题，能让学生将目光聚焦于百分数的概念，对之进行辨析。如“90%”和“9/10”，两者有着相等个数的计数单位，都是90个;前者的计数单位是1%，后者的计数单位是1/10;前者强调平均分，后者强调一个数是另一个数的几分之几;前者不可以表示量，只可以表示率，后者既可以表示量又可以表示率，等等。正是在逐层比较建构中，学生逐步抽象出百分数的概念。这种概念的理解不仅停留于意义层面，而是深入到特征、应用层面。

数学概念建构要警惕过早形式化。只有引导学生逐层建构，才能悟得概念精髓。要让数学概念在直观中显影、在理性中定格、在内化中成像。不仅要让学生能够进行操作表征、形象表征，也要让学生进行符号、意义表征。

3.概念建构：彰显学生建构之美

课改以来，许多教师都有意识地重视数学概念的形成过程，但由此也让部分教师走入另一个极端，只注重概念具体性，而弱化了概念的“数学味”。学生对数学概念的理解比较肤浅，学生概念理解水平被具象捆绑，失去了自由生长力量。数学概念要引导学生进行多向厘析，彰显建构之美。

例如，教学“三角形高”这个概念，就不能让学生形成固着形态表象，必须通过各种变式（如高的方向、高的位置等）凸显概念本质内涵。引导学生突破原有固着表象（锐角三角形中从上往下的“高”的概念等），形成“从三角形的顶点到对边的垂直距离”的关于“三角形的高”的本质认识。在教学中，教师可以借助几何画板，首先让学生画出锐角三角形的一条高，然后旋转锐角三角形，让学生认识到“高不一定是竖直方向的，也可以是水平方向的或斜著的”;接着，还是借助几何画板，将锐角三角形拉成直角三角形，学生就能直观感知到另外两条高重合到三角形的边上;继续拉三角形，将直角三角形拉成钝角三角形，学生就能直观感知到另外两条高位于钝角三角形的外部。动态的展现让学生领略到数学之美，学生也能深刻认识到“三角形高”的“从顶点到对边垂直”的本质。

概念教学要变“静态”为“动态”。动态变式，能让学生舍弃数学概念的非本质属性，把握概念的本质属性。这种动态的变化过程，不应过分“求新”，也不能盲目“求变”，而应通过动态化的过程、形式凸显概念的本质内涵。

学生数学概念的建构是一个由浅入深、由此及彼、由表及里的逐步深化过程。在概念教学中，教师要关注学生的数学思考、探究，引导学生经历概念的数学化过程。数学概念始于学生经验，发展于自主建构，终结于结构理解。数学概念是实现学生思维跃迁的平台，是发展学生学力的重要依托。

【参考文献】

[1]汪树林.小学数学概念的特质与有效建构策略[J].教育研究与评论（小学教育教学），2012（12）.

[2]林传忠.有结构地教数学[J].中小学教师培训，2018（8）.