数学的奇偶性与勾股数

2019-09-10 07:22王建辉
教育周报·教研版 2019年33期
关键词:奇偶性奇数偶数

王建辉

我们先看这样一些数:3=4+5,3+4=5;5=12+13,5+12-=13。7=24+25,7+24=25……

不难发现,任何一个大于1的奇数的平方都可写成两个连续整数的和,则这三个数是一组勾股数.再如:9=40+41,且有9+40=41从而可得9、40、41是一组勾股数.

勾股数的这一性质是可以证明的。

证明:设给定的大于1的奇数为a,两个连续整数为n、n+1,且有a=n+(n+1),即a=2n+1.

∵(n+1)=n+2n+1=n+(2n+1)=n+a,即a+n=(n+1).

∴a、n、n+1是一組勾股数.反之,若a、n、n+1是一组勾股数,则a=n+(n+1).请同学们尝试证明此结论.

我们再看一些数:

……

不难发现,任何一个大于2的偶数的平方的一半都可写成两个相差2的整数的和,则这三个数是一组勾股数.再如:,且有10+24=26,从而可得10、24、26是一组勾股数.

勾股数的这一性质也可被证明.请同学们思考证明方法.

综上所述,对于任意大于2的整数(奇数成偶数)都可根据上述方法,很快得两个整数与之成为一组勾股数,这个任意大于2的整数通常作为三个整数中的最小一个.据此,我们可快速判断某个三角形是否是直角三角形,亦可由已知直角三角形的两边很快得出第三边.

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