《椭圆、双曲线离心率的常见解法》教学设计

谢树芳

一、内容分析：求离心率的问题主要考查圆锥曲线的几何性质以及平面几何知识的应用。涉及到勾股定理、三角函数、圆、正余弦定理、三角形的面积公式以及向量的有关性质和计算等知识，其中会应用到的数学思想方法有数形结合、化归转化、方程思想等，解决此问题的关键是利用圆锥曲线的性质和满足题意的几何图形的边角关系建立等式（不等式），进而列出关于三者中某两个或三个元素的方程或不等式，再结合三者间的关系式转化为离心率的表达式进行求解。

二、教学理念：找准核心，回归本质，自主探究，合作互评。

三、教学设想：本节课在多媒体应用背景下，让学生课前从学案进行课前学习。课上教师启发引导，学生合作探究、交流互评，归纳总结出求解离心率及其范围问题的方法。学习过程中让学生深刻体会数形结合思想、方程思想、转化、化归等多种思想方法的运用。

四、三维目标

基础目标（100%）：知道离心率的定义和求解离心率的基本方法，能根据三者之间的关系直接求出离心率。

拓展目标（80%）：会结合平面几何的相关性质和圆锥曲线的性质列出有关的式子，再化为齐次式，进而建立关于的方程，能有意识应用数形结合思想和方程思想方法，解决离心率的求解问题，通过解题训练提高计算能力。

挑战目标（10%）：能体会转化化归成一个不等式解决最值、范围等综合交汇的高考重热频考点问题。

五、教学重点：掌握圆锥曲线几何量的等量转化，寻求圆锥曲线离心率的求法，并解决圆锥曲线离心率范围的问题。

六、教学难点：挖掘转化题目中的等量关系式和不等式，求圆锥曲线离心率范围的问题。

七、教法学法：教：启发引导、几何画板动画展示，归纳总结;学：自学探究、合作互评。

八、教学手段：多媒体、几何画板、实物投影仪、电子白板.

九、课前准备

1.离心率的计算公式：_______;

2.椭圆的离心率范围：______，双曲线的离心率范围：______，抛物线的离心率：______.

3.椭圆中、、的关系式：__________，

双曲线中、、的關系式：_________.

学生活动：学生自主学习学案，并以小组为单位，认真填写学案.

设计意图：通过课前学习让学生回顾学过的知识点，为本节课做好知识储备.

十、教学过程

问题1.若一个椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为__________。（解答过程略）

变式1.若一个双曲线实轴长、虚轴长和焦距成等比数列，则该双曲线的离心率为______。（解答过程略）

请您总结提炼：                      。

教师活动：引导学生运用数列知识建立之间的关系，进而转化成离心率的表达式。

学生活动：学生独立完成，然后汇报展示、互评互补。

设计意图：利用数列的知识建立三者之间的关系，再化为齐次式，进而建立关于的方程，引出构造方程法。

问题2.已知椭圆的两焦点，以线段為底边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另外两边，则椭圆的离心率为__________。（解答过程略）

变式2.在正三角形ABC中，D是BC的中点，则以D、A为焦点，且过B、C的双曲线的离心率为__________。（解答过程略）

变式3.已知正方形ABCD，分别是AD、BC的中点，则以为焦点且过A、B、C、D四点的椭圆的离心率为__________。（解答过程略）

请您总结提炼：                      。

教师活动：引导学生运用正三角形“三线合一”的性质和椭圆定义直接列出方程，再转化为离心率的表达式。

学生活动：学生独立完成，然后汇报展示和互评，如果有困难，再提醒同桌之间讨论、交流、总结。

设计意图：利用圆锥曲线定义和平面几何知识建立的关系，强调曲线定义在构造方程过程中的重要性。

问题3.已知椭圆（）的两焦点分别为，为椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是                。

（解答过程略）

变式4.将问题三中的点改为椭圆内一点，其它条件不变，则该椭圆离心率的取值范围是               。（解答过程略）

请您总结提炼：                      。

教师活动：教师展示动画图形，引导学生从定义、三角形边角关系与基本不等式等方面建立不等式解题。

学生活动：合作探讨采用代数法和数形结合两种方法，比较优缺点，上台展示解题过程。

设计意图：利用几何性质建立的不等式，转化成离心率问题，注重一题多解。

问题4.已知双曲线的焦点在X轴上，若过原点O且倾斜角为60°的直线与双曲线没有交点，则此双曲线离心率的取值范围是         。

變式5.若过双曲线的右焦点且倾斜角为60°的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是           。（解答过程略）

请您总结提炼：                        。

教师活动：教师展示动画图形，引导学生比较渐近线斜率解题。

学生活动：学生观察动态图形，考虑比较渐近线与定直线斜率大小。

设计意图：从渐近线斜率入手建立不等关系式，揭示问题本质还是寻求有关的不等关系。

十一、教学反思：本节课求离心率的问题主要考查的是圆锥曲线的几何性质以及平面几何知识，涉及到勾股定理、三角函数、圆、正余弦定理、三角形的面积公式、点线距离、向量等问题。解决此类问题的关键，就是利用圆锥曲线的相关性质和满足题意的几何图形的边角关系，列出关于a、b、c三者中某两个或三个元素的方程或不等式，进而转化为离心率的问题，关键在于找到问题本质，让课堂教学更加有实效性。