牛顿运动定律与拉格朗日方程在力学问题上的解法比较

王振军

摘  要：在求解力学问题时可以利用牛顿运动定律，也可以利用分析力学中的拉格朗日方程来求解。这是两种完全不同的求解方法，却殊途同归。用牛顿运动定律求质点组的运动问题是要解算大量的微分方程组，如果质点组受到约束，则因约束反力都是未知的更增加了 解决问题的复杂性。而分析力学中的拉格朗日方程则很好的解决了这一问题。

关键词：参考文献;牛顿运动方程;拉格朗日方程;等价性;微分方程

我们所研究的力学问题，基本上是以牛顿运动定律来求解的。但是，用牛顿运动定律来求质点系的运动问题时，往往需要解算大量的微分方程组，如果质点受到约束，则因约束反力都是未知的，因此增加了问题的复杂性。随着工业革命的发展，在工程技术上迫切需要解决这类问题的方法，于是，便诞生了拉格朗日等人开创的一系列处理力学问题的新方法——分析力学，其中，包括虚功原理、拉格朗日方程、哈密顿原理等。在这里，浅谈拉格朗日方程在求解力学问题中的应用。

拉格朗日方程与牛顿方程之比较：

由此可说明：拉氏方程与牛顿方程“等价”.但等价并非相等，在许多方面，拉氏方程要优于牛顿方程.虽然拉氏方程与牛顿方程等价，但用拉氏方程求解问题，思路清晰、步骤规范.凡能用牛顿方程处理的问题，都可用拉氏方程处理，反过来则不尽然.拉氏方程在许多方面要优于牛顿方程.

1.牛顿力学与拉格朗日力学的关系：

质点力学的问题，既可以用牛顿力学也可以用拉格朗日力学（还有哈密顿原理）中的任何一种基本原理来表述.经典力学中惟一可以用实验加以验证的是牛顿第二定律，也正是这一定律，构成了牛顿质点力学的基础，而拉格朗日力学却要求抽象的虚位移、虚功，显然这种依赖于思维的原理是不可能用实验加以验证的。下面就这两种理论的内容、方程及切入点做简单的讨论和类比。

1）一般曲线运动问题和约束问题中两种理：

牛顿力学为求解力学问题提供了有效的方法，然而直接以牛顿运动定律为出发点来研究质点系统的运动，却存在着一些不足和困难。一方面，它在表述方式上有时显得十分复杂;另一方面，质点组力学问题中包含着大量方程的微分方程组，尤其在处理约束问题时，力学系统的独立变量的数目减少了，而引进的未知约束力和相应的约束关系反而使方程数目增多，增加了求解的复杂性。牛顿力学的这两种不足却能在拉格朗日力学中都能得到很好的解决，它不仅使在牛顿力学所解范畴的力学问题得以简化，而且扩展了牛顿力学。在运用中拉格朗日力学通篇没有用一个受力图，其表述的优势是不需要显含约束力，其重点放在系统的动力学方面，而不是计算作用在系统上各部分的力。

2）两种理论的类比：① 力学规律的比较：牛顿力学的基本观念：时间的绝对性与时空分离的观念，使得它只适用于物体运动速度远小于光速的范围，为了摆脱经典概念的束缚，而且成为自然地过渡向非经典力学的桥梁，拉格朗日力学为这种过渡做出了最好的准备。拉格朗日方程是以达朗伯原理为基础，而达朗伯原理的出发点是牛顿运动方程，后面进行的所有推导都只是改变表述的形式。

② 理论研究的切入点的比较：拉格朗日力学与牛顿力学的着眼点是不一样的。牛顿力学方法是以质点为对象，把着眼点放在作用于物体上的外界因素（力），在处理质点系统问题时，须分别考虑各个质点所受的力，然后来推断整个质点系统的运动，而拉格朗日在处理问题时，以整个力学系统作为对象，用广义坐标来描述整个力学系统的位形，着眼于体系的能量（如动能和势能）概念。实际上，在拉格朗日表述中没有一处引入过力的概念，这主要是因为能量是标量，并且一系统的拉格朗日函数是不随坐标变化而变化的;在力学系统受到理想约束时，可在不考虑约束力的情况下来解决系统的运动问题。

方程形式的比較：拉格朗日动力学方程取较简洁的形式。对于有n个质点所组成，受到k个约束条件限制的力学体系，应用牛顿定律将需要3n+k个方程联立求解，而用拉格朗日方程只有3n-k个，约束越多，这一优点就越明显。另外，在上述已谈到，牛顿运动方程是从物体受力角度导出的，而拉格朗日方程是从能量的角度来写动力学方程的，这样的好处是：一是，力是矢量，能量是标量，一般来说处理标量比处理矢量要方便。二是，力仅是力学范围内的一个物理量，而能量则是整个物理学的一个基本物理量，这就为把力学规律应用到其他物理学领域开辟了可能性，使拉格朗日方程成为力学和物理学其他分支相联系的桥梁。

综上所述：牛顿力学在数学处理方面着重于几何和矢量的应用，拉格朗日力学则偏重于解析数学，它们处理问题的出发点不一样，但所得的结论是一致的。在学习中我们看到在拉格朗日力学中并没有在任何意义上建立新的理论，只不过是在力学中引人虚位移和虚功的概念把牛顿观点进行扩展的结果，这也正是这两种不同风格的力学理论，在力学范畴内所包含的内容完全等价的原因所在。但我们也看到，由于拉格朗日力学具有普适的表达方式，使它有可能超越力学范围，推广到其他学科中应用。虽然拉氏方程与牛顿方程等价，但用拉氏方程求解问题，思路清晰、步骤规范.凡能用牛顿方程处理的问题，都可用拉氏方程处理，反过来则不尽然.拉氏方程在许多方面要优于牛顿方程.