变式探究 揭示本质

许决英

【摘 要】形如“AP+kP

”的最小值问题是关于两条线段之和最小值的新题型。解决此类问題的基本策略有两种，一是利用相似比k构造与kP

等长的线段，二是利用三角函数值k构造与kP

等长的线段。

【关键词】初中数学;最值问题;专题教学

“将军饮马”问题是求两条线段之和最小值的经典问题（如图1）。近年来，各地中考数学中关于两条线段之和最小值问题出现了新的题型，其中有一类题型：已知A、

为两个定点，P为直线、圆等几何图形上的动点，k为小于1的正有理数，求AP+kP

的最小值。

图1

对于“求AP+kP

的最小值”问题，学生会联想到“将军饮马”问题，并试图将问题转化为在线段P

上取一点C，使PC

kP

（如图2）。但这样的结果是点C也成了动点，当点A、P、C′三点在同一条直线上时，AP+PC并不是最小值。学生运用已有的经验无法解决此类问题，而且点P也不一定是直线上的一点。学生的认知受到严重阻碍，导致对问题无从下手。

图2

本文拟对两道中考数学模拟题进行深入剖析，探讨解决此类新问题的两种基本策略。

一、利用相似比k构造与kP

等长的线段

问题1 （苏州市相城区2017年九年级第一次模拟考）如图3，在R

△A

C中，∠

AC

30°，AC

8。以点C为圆心，4为半径作⊙C。

图3

（1）试判断⊙C与线段A

的位置关系，并说明理由。

（2）若点D在边AC上，且CD

2，点E、F分别为边A

、⊙C上任意一点。①求证：△FCD△ACF;②求EF+12FA的最小值。

[解析]（1）线段A

与⊙C相切（过程略）。

（2）① ∵CD

2，CF

4，CA

8，

∴CDCF

CFCA。

又∵∠FCD

∠ACF，

∴△FCD△ACF。

② ∵△FCD△ACF，

∴FDFA

CFCA

48

12，即FD

12FA。

∴EF+12FA

EF+FD。

如图4，当D、E（E′）、F（F′）三点在同一条直线上，且DE（DE′）⊥A

时，EF+12FA取得最小值。

图4

作DE′⊥A

交A

于点E′，则DE′

12AD

3，即EF+12FA的最小值为3。

【评析】本题综合考查直线与圆的位置关系、相似三角形的判定和性质、垂线段最短等内容，构思巧妙，环环相扣。问题“求EF+12FA的最小值”设计新颖，给考生以似曾相识之感，拉近了考生与考题的心理距离，激发了考生探究问题的积极性。解决问题的关键是构造或寻找与12FA等长的线段。这具有一定的挑战性，需要考生从宏观层面揣摩命题者的设计思路，从△FCD△ACF中寻求突破口，利用相似比等于12，找到与12FA等长的线段FD，从而将问题转化为求点D到直线A

的距离。

变式1 如图5，在R

△A

C中，∠

AC

30°，AC

8。以点C为圆心，4为半径作⊙C。若点E、F分别为边A

、⊙C上任意一点，求EF+12FA的最小值。

图5

[解析]变式1弱化了问题1中的条件，虽然问题不变，但是难度比问题1大。解题的关键是先构造出相似比为12的相似三角形，再构造出与12FA等长的线段。如图6，仿照问题1，在线段AC上取一点D，使CD

2，并连接FD。接下来的解题步骤与问题1相同。

图6

【设计意图】变式1旨在让学生明白，问题“求EF+12FA的最小值”之所以能够顺利求解，在于⊙C的半径与线段AC长的比值为12，从而可以在线段AC上截取CD

12CF

2，构造出相似比为12的相似三角形。

变式2 如图7，在R

△A

C中，∠

AC

30°，AC

8。以点C为圆心，2为半径作⊙C。若点E、F分别为边A

、⊙C上任意一点，求EF+14FA的最小值。

图7

[解析]如图8，变式2的解题关键是找出与14FA等长的线段。此时⊙C的半径与线段AC长的比值为14，故在AC上截取CD

14CF

12，构造出相似比为14的相似三角形（△FCD△ACF），从而得到FD

14FA。以下过程略。

图8

【设计意图】变式2旨在让学生明白，此类问题可以推广到一般情形。问题的解决不在于⊙C与线段A

的位置关系，而在于⊙C的半径与线段AC的比值。当⊙C的半径与线段AC的比值为k时，学生可以通过构造相似比为k的相似三角形，找到与kFA等长的线段，从而解决“求EF+kFA的最小值”问题。

问题1及其变式让学生知道，解决“求EF+kFA的最小值”问题，可以通过构造相似比为k的相似三角形，寻找与kFA等长的线段。然而，并不是所有的此类问题都可以通过构造相似三角形来解决。

二、利用三角函数值k构造与kP

等长的线段

问题2 （苏州市新区2017年九年级第一次模拟考）如图9，已知拋物线y

a

x+2）

x-4）（a为常数，且a>0）与x轴从左至右依次交于A、

两点，与y轴交于点C，经过点

的直线y

-33x+

与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为-5。

图9

（1）求抛物线的函数表达式。

（2）点P为直线

D下方的抛物线上的一点，连接PD、P

，求△P

D面积的最大值。

（3）设点F为线段

D上的一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位长度的速度运动到点F，再沿线段FD以每秒2个单位长度的速度运动到点D后停止。当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

[解析]（1）y

39x2-239x-839。（过程略）

（2）△P

D面积的最大值为8138。（过程略）

（3）如图10，作DG∥x轴，FH⊥DG交DG于点H，AH′⊥DG交DG于点H′，并交线段

D于点F′。

由已知得

D所在直线的解析式y

-33x+433，设

D与y轴交于点E，则点E的坐标为0，433。

图10

∵

an∠E

O

OEO

433 4

33，

∴∠HDF

∠E

O

30°，FH

12DF。

∴点M在整个运动中用时为

AF1+FD2

AF+FH。

故当A、F、H三点在同一直线上，且AH⊥DG时，用时最少，此时点F的坐标为（-2，23）。

【评析】本题是一道考查一次函数与二次函数知识的综合题。问题（1）和问题（2）重点考查了待定系数法和配方法，问题（3）从表面上看是动点问题，但其实质是“求AF+12FD的最小值”问题。解题的关键是通过作平行线将30°的∠E

O转移至∠HDF，再利用30°角的正弦函数构造出与12FD等长的线段FH。

变式1 如图11，已知抛物线y

a

x+2）

x-4）（a为常数，且a>0）与x轴从左至右依次交于A、

两点，与y轴交于点C，经过点

的直线y

-33x+

与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为-5。设F为线段

D上一点（不含端点），连接AF。一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位长度的速度运动到点F，再沿线段F

以每秒2个单位长度的速度运动到点

后停止。当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

图11

[解析]如图12，作FH⊥x轴交x轴于点H，作点A关于直线

D的对称点A′，作A′H′⊥x轴交x轴于点H′，交

D于点F′。连接线段A′F、AA′、

A′，则AF

A′F，A

A′

6，∠A

A′

2∠A

F

60°。

图12

∵△AA′

为等边三角形，且点H′为线段A

的中点，

∴点H′的坐标为（1，0）。

∵∠F

O

30°，

∴FH

F

sin∠F

O

12F

。

∴点M在整个运动中用时为

=AF1+F

2

AF+FH

A′F+FH。

故当A′、F、H三点在同一直线上，且A′H⊥x轴时，用时最少，此时点F的坐标为（1，3）。

【设计意图】仿照问题2，学生不难将变式1转化成“求AF+12F

的最小值”问题，也能体会到利用sin∠F

O

12构造出与12F

等长的线段FH是解决变式1的关键，从而将问题进一步转化为“求AF+FH的最小值”。但问题2中的线段AF、FH在直线

D的异侧，学生可以直接利用“垂线段最短”解决问题;而变式1中的线段AF、FH在直线

D的同侧，学生需要类比“将军饮马”问题，作出点A关于直线

D的对称点A′（定点），将线段AF、FH在直线

D同侧的问题转化为线段A′F、FH在直线

D异侧的问题。

变式2 如图13，在平面直角坐标系中，二次函数y

ax2+

x+c的图像经过点A（-3，0）、点

（0，-4）、点C（4，0），其对称轴与x轴交于点D。若点P是y轴上一个动点，连接线段PD，求PD+35P

的最小值。

图13

[解析]如图14，学生不难求出抛物线的函数表达式为y

13x2-13x-4，点D的坐标为12，0。题目所求问题的关键是构造出与35P

等长的线段。通过作直线A

，学生不难发现在R

△A

O中，AO

3，

O

4，A

5，从而可得sin∠A

O

35。作PH⊥A

交A

于点H，则PH

P

·sin∠A

O

35P

。这样问题就转化为“求PD+PH的最小值”。因此，当D、P、H三点在同一直线上，且DH⊥A

时，PD+35P

的值最小，最小值为145。

图14

【设计意图】变式2旨在让学生明白，解决问题“求PD+kP

的最小值”的另一种思路是寻找或构造以P

为一边的∠P

H，使sin∠P

H

k，再构造出以P

为斜边的R

△P

H，求出PH

kP

，从而将问题转化为“求PD+PH的最小值”。

三、结语

中考数学复习专题教学的落脚点是发展学生的数学综合能力，培养学生的数学核心素养。教师可以通过专题教学的形式，借助变式教学的手段，指出问题的本质，引导学生学会数学思考，掌握基本的数学解决方法，做到触类旁通、举一反三，从而提升他们分析问题与解决问题的能力。

以上关于“求AP+kP

的最小值”问题的解决，需要将问题逐步抽象成“将军饮马”或“垂线段最短”的数学模型，而转化的基础是“构造”，这就需要学生具有一定的直观想象能力，自觉从相似三角形或三角函数中寻求解决问题的“钥匙”。