求一类二元函数最值的方法与技巧

钟高介

摘要：在高中函数教学中，二元函数是一类常见的问题，求解二元函数最值的主要方法为导数或不等式的方法进行处理，本文将从高中的不同知识维度中寻求解决一类二元函数最值问题的方法与技巧，利用导数，不等式，不定方程，三角换元，线性规划，向量，极坐标等不同知识维度对其进行分析，从而有效的解决一类二元函数的最值问题。

关键词：二元函数;最值问题;方法技巧.

在高中教学中，处理函数的最值是常见的一种问题，处理一元函数最值问题常会在定义域内研究函数的单调性来确定函数的最值，或者借助基本不等式、柯西不等式等的取等条件求函数最值，但对于二元函数，有哪些处理的方法，是否还可以借用一元函数的方法，可以从哪些方面思考，本文将结合高中不同知识维度进行分析。

这是一道圆锥曲线中常見的共焦点的交点三角形问题，问题的特点是椭圆和和双曲线共焦点且椭圆和双曲线的交点与焦点构成的焦点三角形是求解圆锥曲线的离心率关联的桥梁，我们可以作如下的探究求得到两者离心率之间满足的数量关系。

（六）利用导数求解

本问题是有条件的二元函数的最值问题，也会想到通过消元将二元函数转化为一元函数进行求解，利用到导数研究函数的单调性进而求出函数的最值，故产生以下解法，

三、结束语

本文中涉及的问题的为一类有条件的二元函数最值问题，条件的特征为二次齐次式，可以联系到圆锥曲线的标准方程，柯西不等式，向量的模长，二元二次方程，从不同的联系，可以得到不同维度的思路出发点，再联系到结论的二元一次齐次形式，可以将问题联系直线方程，柯西不等式，向量数量积，二元一次方程，进而从已知和结论的思考中产生了圆锥曲线中用参数方程进行三角换元，联立方程组求直线与曲线的交点，柯西不等式进行放缩，转化为向量的数量积，线性规划并数形结合的方法，若直接用条件方程进行消元，则将目标函数转化为一元函数，可用导数求得最值。

在利用各种维度知识解题时，也各有优缺点，本问题用柯西不等式的方法来解，求最值和取得最值的条件都能比较容易求出，但消元为一元函数再利用到求最值时，方法的思路简单，求导难度相对较大，转化为圆锥曲线再用方程思想联立也是顺理成章的方法，虽然计算求最值容易，但是求最值取得的条件稍显麻烦，若是如果用椭圆的参数方程进行三角换元，容易求得最值，但取得最值的条件难求，通过坐标变换转化为圆与直线的关系时计算量相对较小，但是思维难度相对较大，若再转化为向量数量积理解，其计算会变得更简单，如果把圆的方程用圆的参数方程表示带入目标函数求解也较为简单，又或者用把问题转化到极坐标系下，圆的方程更为简化，目标函数即转化为三角函数求最值，解题难度大大降低，故在解答数学问题时应该结合题目条件，依据结论选择合适的知识维度，把问题分解为多个部分，从单维度或多维度综合的角度去思考并解答问题是重要的策略。

同时不同知识维度之间有着背后的关联性，如柯西不等式的证明方法中有一种就来源于向量的数量积的定义，所以此问题会有向量的方法和柯西不等式的方法，看似不同的两个维度，实质在背后有重要的关联，又如圆锥曲线与直线的位置关系的问题，常常会用到联立方程组转化为方程的问题进行求解，把一次方程看成是直线还是二元一次方程，在思考上就会出现不同，前者可以数形结合，再联系线性规划的知识理解最值取得的条件，后者即为讨论不定方程组解的问题，两者看似方向不同，但方程与曲线本来就有着数与形相互完美的结合，只不过在形与数结合时通过坐标变换可以把把数变得更简洁，形变得更优美。

参考文献：

1.【数学解题学引论】罗增儒著陕西师大出版社.

2.【解题研究】单墫著上海教育出版社.

3.【高中数学教材】，选修2-1，人民教育出版社.