高观点下的中学代数试题解题方法初探

王金隆 张红

摘要：新课程改革后，中学教材以及高考题均增加微积分、几何这类高等数学内容，所以中学教师和中学生都应该具备更高的数学素养。以高观点的视角去分析初等数学中的问题，是可以提高数学素养的途径之一。本研究选择中学典型的代数问题，对比初等数学和高等数学视角下的解答，以此为基础分析高观点在初等数学解题中的简洁性和一般性，从而更好的认识数学问题的实质，并以此分析为基础，分别对中学教师和中学生给出适当的建议。

关键词：高观点;代数;解题方法;数学素养;

1 研究背景

“高观点”是指使用高等数学（包括经典高等数学和现代数学）的知识、方法以及思想来解决和分析初等数学中的问题。共包含3个方面的内容：现代数学的思想和方法在中学数学中的渗透;高等数学对中学数学的具体指导;中学数学某些难以处理的问题在高等数学里的背景分析[1]。

新课程标准指出，为了在大学中学习数学打下基础，高中阶段的学生应该具备更高的数学素养。新课程改革之后，中学的数学教学内容和高考题中均增加了高等数学的内容和问题，主要包括分析、几何等内容[2]。

通过相关文献的查阅发现，有160余篇文章研究高等数学与中等数学的关系。这些文章可分为三类：高等数学对于中等数学教学的启示;高等数学对于高考题的编制与解答的应用;中等数学教学中高等数学的应用现状。如：2014年周玛莉、张劲松在《高观点的数学思想对数学教学的启示》[3]一文中，对某市的中小学教师进行了相关问卷调查，而后统计中发现，93.06%的老师对现代数学几乎没有了解，很少关注高观点下初等数学的老师占总共的80. 56%。2014年闫李铮、李三平的《中学数学教学中高等数学的应用现状及原因浅析》一文[]，对深圳多所学校进行了相关的问卷调查，通过回收问卷中的数据发现，对高等数学内容遗忘较多占61%，并且大部分教师在课堂中不会使用高等数学的知识和思想，偶尔会在课堂中运用高等数学的教师不足10%。这表明了很多老师对于高等数学的遗忘较多，了解太少，在教学中很少涉及高等数学的内容，所以对于高观点下的初等数学的研究很有必要。

已有的高观点解题的研究，大都是较为宽泛。为了提高中学生的数学素养，需要对高观点下的解题进行详细的研究。本研究选择中学代数的典型试题，对初等数学和高等数学的解题方法进行比较，以此分析高观点给初等数学解题带来的简洁性和一般性，从而更好的认识数学问题的实质。

2 研究实例

2.1 数学分析對中学数学试题的作用

例题1：求实数x，y的值，使得（y-1）2+（x+y一3）2+（2x+y-6）2的最小值[5]

分析：对于中学生，解决此题有两个方向，一是配方，二是均值不等式;但是配方如果展开所有项数，那么项数过多，难度太大;如果使用均值不等式，那么从何人手？在哪里使用均值不等式又是难点。但是如果有数学分析的基础，这道题就比较容易解决。以下对初等数学的解法和高等数学的解法进行展示和比较。

法1：因为展开所有项数，难度过大，所以思考通过换元法简化计算

令x+y-3=a，则有2x+y-6=2a-y

故原式就可以变为F（x，y）=（y—1）2+a2+（2a-y）2，则可将F（x，y）展开，然后配方得：

法1是首先使用换元法，然后将多项式展开，最后配方。为了简算而使用换元，这较为容易想到，但是即使简算之后，配方的过程仍然很难。例如怎么选择项数，怎么增添项数，学生在解答时仍然较为困难。又通过观察后发现，每个括号都有平方，故就将所有括号项都进行换元，由此产生第二种方法。

法2是通过法1得出，虽然与法1相比，简化了计算，但是如何分配a，b，c的值，这太过特殊，并不具有推广性。这就意味着变换某个数据，这个方法中a，b，c的值需要重新分配，也就意味着即使是原题型，难度依然不会减少。如果配方难度太大，可否采用均值不等式？这也就产生了第三种方法。

法3使用了均值不等式，在什么位置构造均值不等式，怎么构造是这一解法的难点。并且这种解法可推广性也不高，只适用于部分题目。

前三种解法可以归类为配方和均值不等式法，均为初等代数的方法，而这三种解法难度较大。如果学生具有高观点的视野，例如数学分析的基础，这种题目就较为简单。

法4使用了柯西不等式，方向非常明确，思路很清晰。与前三种初等代数的解法相比较，这种解法要简单、清晰许多，并且这个可推广性也较大，前三种解法的构造较难，学生比较难联想到，需要大量的练习和积累。而解法4，只需要学生掌握柯西不等式的基础，就能够很快的解答，并且推广性也较高，这就是高观点的优越性。

法5对原式分别对x，y求偏导，得到一个微分方程，通过微分方程确定x，y的值。方向非常明确，思路很清晰，并且可推广性也较大。

综上所述，法1、法2、法3这三种属于初等代数的方法，难点在于怎么构造配方，怎么构造均值不等式，这些构造的方法都需要学生日积月累的练习，积累经验才有可能联想到，所以对于中学学生来说，难度较大。后两种方法的思路非常清晰，更具有一般性。与前三种方法相比较而言，如果有了高观点知识的视野，那么解答这种题就要简单许多，由此可以看出数学分析知识给中学数学试题解题带来的便利性和简洁性。

分析：这种方法是初等代数的方法，首先设出两个多项式，最后通过等式的性质，公式法，因式分解，求出两个多项式分别是什么？这个方法的难点在于公式的变形，这需要学生具备很强的数学功底，以及日积月累的练习，才能掌握。对于学生来说，寻找这些思想的方向较难，故造成了初等代数方法过程简单，但是思维很难。这也是这种方法推广性不强的原因之一。

法2为高等代数中多项式的应用，通过次数和首一多项式设出两个多项式的形式，然后展开，通过与原多项式系数的比较，确定出答案。这种方法思路很清晰，只要学生具备多项式次数和首一多项式的概念，基本就能解答。与初等代数的方法相比较，可推广性大大增加，并且有利于学生理解数学的本质。

对比高等代数与初等代数证明的方法，可以看出初等代数方法中的难点在于把握公式，对于公式的变形，构造等式都需要一定量的数学基础，需要学生日积月累的大量练习这种题，可能才会解答。因为初等代数中的解法较为特殊，构造比较特殊，并不具有一般性。而高等代数的方法更严谨，并且方法具有一般性，如果学生储备这些知识，解答中学代数试题就会感到比较容易。

3 研究启示

通过分别以高等数学与初等数学进行解答的比较，可以看到高等数学的方法明显优于初等代数的方法。高等数学的方法思路清晰，步骤简单明了，可推广性强，具有一般性。从高观点分析初等数学，对学生和教师有以下两点帮助：

（1）提高数学教师与学生对于数学本质的认知

教师只有清楚的了解高等数学之后，再研究初等数学，才能更深刻的把握初等数学的本质。学生只有了解高等数学的一定知识之后，才能把握数学的本质。例如数学分析中极限的思想、辩证的观点，都有助于学生把握数学本质。

（2）提高学生数学解题能力

初等数学中的许多问题，如果仅仅采用初等数学的方法，解答起来难度较大。因为许多公式的应用，公式的变形，等式的构造等等，都需要学生具有许多的题量储备，经过大量的联系才能解答。但是如果放在高观点的背景之下，那么这些问题解答较为容易。并且这种方法的可推广性也较大。

故由此提出两点建议：

（1）提高中学数学教师的数学素养

随着新课程改革的推进，微积分等高等数学的内容也下放至中学的教材中，数学教师面临这一挑战，更需要更新自己的认知，研究高观点下的初等数学，提高教师的专业水准，拓展教师的视野。中学数学教师在授课中，对于数学的本质有所欠缺，对于学生解题能力的训练重心有所偏移。应该提高中学数学教师对于高等数学的认知水平，加强教师对于高等数学知识的又一次学习。这样才能有助于在授课中把握数学的本质。

（2）促进学生积极主動了解高等数学知识

学生的解题能力并不是要通过题海战术完成，而是通过了解更多、更深层次的数学知识。如果学生具备一定的高观点下的数学视野，那么对于解答初等数学的数学试题有所帮助。所以通过促进学生了解高等数学的知识来提高学生的解题能力是最有效的办法。

参考文献

[1]蒲淑萍.F.克莱因的HPM思想及其教学启示[J].浙江教育学院学报，2010（5），16-20.

[2]韦玉球，高等数学在中学数学教学中的应用[J].课程教育研究，2016（11），91-92.

[3]周玛莉，张劲松.高观点的数学思想对中学数学教学的启示[J].中学数学月刊，2014（3），7-9.

[4]闫李铮，李三平，中学数学教学中高等数学的应用现状及原因浅析[J].科教导刊，2014 （3），149- 183.

[5]李三平，高观点下的中学数学[Ml.西安，陕西师范大学出版总社有限公司，2013.

[6]舒湘芹，陈义章观点下的初等数学[Ml.湖北，湖北教育出版社，1989.

[7]邱华，江雪萍，从初等数学到高等数学衔接的教学探究[J].淮北师范大学学报.2012 3，33 （1）：90- 92.

[8]申涛，张红，平面几何竞赛题解题思想方法初探[J].中学数学研究，2019（12），37-40.