用切线法证明一类不等式

摘  要：本文首先在两种情况下用切线法证明形如且满足的对称不等式，构造在均值点处的切线，用来近似在处的值;然后通过举例可知用切线法证明该类不等式是比较有效的.

关键词：不等式;切线法;对称性

1引言

不等式与函数是两个重要的工具，二者有着紧密联系.在数学思想方法中，常见的用来证明不等式的有很多，例如构造函数法，构造向量法，构造对偶式法，增量代换法，均值不等式法等.本文用切线法来处理不等式问题，借助函数的图像，利用数形结合思想，往往能收到意想不到的效果.

2 用切线法证明一类不等式

下面重点研究用直接法和间接法来证明不等式.通过具体实例，展现切线法证明不等式的灵活和简便.为今后的一类不等式的证明打开思路，另辟新径.

2.1直接使用切线方法证明一类不等式

首先从求一个函数的最小值出发，给出用切线法证明一类特殊不等式的基本思想.

例1 均是正实数，且，

求三元函数的最小值，并给出证明.（03湖南省数学竞赛题）[1]

解：设.

则在處的切线方程为.

首先证明，，     （1）

即证   

此式显然成立.

同理有                       （2）

                               （3）

式相加得，当且仅当时，

这里，我们考虑与有什么关系？研究函数的性质不难发现直线是函数在处的切线，且位于圖像的下侧，故在附近可用来近似估计.

例2 设且

证明：（05第八届香港奥数）[1]

证明：设

原不等式即为其中且.

因为在处的切线为

下面证明，

即证        

上式顯然成立.

所以

故

原不等式得证.

通过例2的证明，我们可以得到如下结论：在证明形如且满足的不等式（或对称不等式）时，可以构造在均值点处的切线，用来近似估计的值，再比较与的大小，从而完成不等式的证明.

三、总结

通过以上的一类不等式可以看出利用切线方法证明是非常有效的.在各类数学竞赛试题中有的不等式证明可以利用本文所述的方法.在众多的证明方法中选择合适有效的策略无疑为不等式的解题提供更大的平台[5].

参考文献

[1]  蔡玉书.数学奥林匹克中的不等式研究[M].苏州大学出版社.2007年9月.

[2]  邓赞武.用切线法新探一类条件不等式[J].数学教学通讯.2008（06）.

[3]  蒋斌编.通过构造“零件不等式” 证明不等式[J].中学数学研究.2008（07）.

[4]  张宏.利用切线方程证明不等式[J].中等数学.2009（04）.

[5]  周斌.构造切线证明一类对称不等式[J].中学数学研究.2011（01）.

作者简介：张丹，（1987，10-），汉，内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹镇，大学本科，中学一级教师，毕业院校，内蒙古民族大学。