课例：圆与圆的位置关系

蒋婷婷

摘  要：本课例从单元目标出发，确立教学目标，通过巧妙的递进式的问题设计，启发学生不断思考，经历平面解析几何解决问题的基本过程，进一步体会数形结合的基本思想，积累基本活动经验。

关键词：圆;公共弦;位置关系;解析几何;数形结合

1  教学目标

每个单元的设计应该具有整体性，所以根据单元目标确定本课的教学目标：

（1）根据给定的两圆的方程，判断圆与圆的位置关系。

（2）若两圆相交，能求出公共弦所在的直线方程。

（3）让学生通过观察图形，把几何问题转化为代数问题，运用代数方法解决几何问题，体会数形结合的思想，进一步理解方程与几何的关系。

2  教学过程

2.1复习引入，合作交流

问题1：已知圆：和圆：

如何运用圆的方程，研究圆与圆的位置关系？请以小组为单位，合作交流共同完成表格。

生1：利用圆的方程可知圆心距为，半径分别为和，那么只需比较、、之間的大小关系就可以判断位置关系。

生2：可以，直接联立方程组，判断方程组的解的个数。

设计意图：引导学生可以运用类比的思想方法，合作交流得到解决圆与圆的位置关系的两种方法。

2.2小试牛刀，探究发现

例1：已知圆，圆，试判断两圆的位置关系。

教师鼓励学生独立思考，尝试几何法和代数法，并把详细过程写在学案上。两圆相交且交点为。

探究活动一：

问题2：你能求出例1中两圆的公共弦所在的直线方程？它与方程（3）有什么关系？教师鼓励学生画出两圆及其公共弦。

生3：交点为，所以，就是方程（3）表示的直线！教师追问为什么呢？

生4：因为方程组的解一定是方程（3）的解，所以两个交点都在方程（3）表示的直线上，又因为两点确定一条直线，所以方程（3）表示的直线就是公共弦。

此时，仍有一部分学生表示不理解，这其实是对方程与曲线的对应关系不理解。为了便于理解，可以设两圆的交点分别为，则有

，得：同理可得，由此可得均在上，而直线唯一，故。

教师：原来只要两圆相交，不求出交点也可以直接利用圆方程求出公共弦方程。

设计意图：学生共同经历发现问题，提出猜想，进而探究事实，突破了本课的一个难点。而教师在这个过程中做到适当点拨，与学生一起科学探究。

探究活动二：

问题3：方程（4）表示什么圖形？有什么特点呢？当时，方程表示什么图形呢？

生5：方程可以整理为：

即：，这时方程（4）表示的是个圆。

教师：非常好，带上笛卡尔为我们特制的“眼镜”，此方程变成了圆。那么这个圆过定点吗？

生6：定点就是两圆的交点。师：太棒了！此时方程（4）表示的是一个经过圆和圆的交点的圆！

设计意图：这是个难点，类比直线系，考察学生对含参方程表示的图形的理解能力。渗透直观想象与代数运算结合的思维方式。

2.3发散思维，巩固应用

问题4：求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程。

生7：求出两圆的交点，设圆的一般方程，得到三个独立的方程，利用待定系数法求出圆方程。

生8：求出两圆的交点后，求出的中垂线方程，与联立求出圆心，再求出半径即可。教师追问：的中垂线是哪条直线呢？学生马上发现正是连心线。所以求圆心无需求交点，但是求半径必须要有交点！

生9：待定系数法，所求圆不可能是已知的两圆，故可设方程为

设计意图：再次挖掘例1，普通的题从不同的角度思考，就会有不同的滋味！培养学生发散性思维，一题多解，深刻地体会几何与代数巧妙的结合会碰撞出不一样的火花！

2.4 拓展思考，永无止境

问题5：试着判断每组中两圆的位置关系，并且思考方程（5）表示的直线有什么特点。

（1）  （2）

（3）       （4）

設计意图：已知若两圆相交，（5）表示的是公共弦直线方程。学生自然存在这样的疑问，当两圆是其他的位置关系时，此时的方程（5）表示的直线仍然存在，它又会有什么特点呢？

3  教学感悟，反思提升

本课作为平面解析几何单元中重要的一部分，笔者根据单元目标定位本课的教学目标，教学过程的设计从单元的整体性出发，承前启后，通过巧妙的递进式的问题设计，启发学生不断思考，激发学习数学的兴趣，经历平面解析几何解决问题的基本过程，进一步体会数形结合的基本思想，积累基本活动经验。

教师可以恰当的提供课后思考题，拓宽思维。及时抓住学生的困惑，提出问题7，适当留白，课堂上不给出答案，激发学生的求知欲，留给学生思考的时间和空间，课后鼓励和赞赏闪光点，培养探索精神，促进核心素养的提升。

参考文献

[1]  包伊娜.课例：直线与圆的位置关系（第1课时）[J].中学数学教学参考旬刊，2015（26）：19-21.

[2]  杨天育.高中数学圆与圆的位置关系教学设计[J].数理化解题研究，2017（27）：35-35.