浅谈数学中的数学美

彭世界

摘 要：数学本质上说，是客观世界的真实反映，只不过是高度浓缩的、极度概括的抽象反映而已，它具有美感，表现为“统一美，对称美，简单美，辨证美”等。

关键词：浅谈；数学；数学美

数学，无论是简单的代数几何，还是深奥的解析几何、线性代数、微积分以及用于微观研究的复杂数学，好像远离现实世界，极度抽象，与人们生活远之又远。其实不然，所有的数学都有现实世界的模型作为基底，而不只是数学天才凭空奇想出来的符号、公式、图形的演绎。数学是透过抽象化和逻辑推理的使用，在计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理，数学具有美感，我们称之为数学美！

数学美主要表现为：主要有：统一美，对称美，简单美，辨证美等。

一.统一美

统一美，反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性，它能给人一种整体和谐的美感。数学对象的统一性通常表现为数学概念、规律、方法的统一，数学理论的统一，数学和其它科学的统一。

1.数学理论的统一。在数学发现的历史过程中，一直存在着分化和整体化两种趋势。数学理论的统一性主要表现在它的整体性趋势。布尔基学派的《数学原本》，用结构的思想和语言来重新整理各个数学分支，在本质上揭示数学的内在联系，使之成为一个有机整体，在数学的高度统一性上给人一美的启迪。

2.数学概念、规律、方法的统一。一切客观事物都是相互联系的，因而，作为反映客观事物的数学概念、数学定理、数学公式、数学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统一体之中。例如，运算、变换、函数分别是代数、几何、分析这三个数学分支中的重要概念，在集合论中，便可统一于映射的概念。又如代数中的算术平均——几何平均定理、加权平均定理、幂平均定理、加权幂平均定理等著名不等式，都可以统一于一元凹、凸函数的琴森不等式。

3.数学和其它科学的统一。数学和其它科学的相互渗透，导致了科学数学化。力学的数学化使牛顿建立了经典力学体系。科学的数学化使物理学与数学趋于统一。建立在相对论和量子论两大基础理論上的物理学，其各个分支都离不开数学方法的应用，它们的理论表述也采用了数学的形式。化学的数学化加速了化学这门实验性很强的学科向理论科学和精确科学过渡。生物数学化使生物学日益摆脱对生命过程进行现象描述的阶段，从定性研究转向定量研究，这个数学化的方向，必将同物理学、化学的数学化方向一样，把人类对生命世界的认识提高到一个崭新的水平。不仅自然科学普遍数学化了，而且数学方法也进入了经济学、法学、人口学、人种学、史学、考古学、语言学等社会科学领域，日益显示出它的效用。

二.简单美

简单、明快才能给人以和谐之感，繁杂晦涩就谈不上和谐一 致。因此，简单性既是和谐性的一种表现，又是和谐性的基础。数学美的简单性，并非指数学对象本身简单、浅显，而是指数学对象由尽可能少的要素通过尽可能简捷、经济的方式组成，并且蕴含着丰富和深刻的内容。数学的简单美，主要表现在数学的逻辑结构、数学方法和表达形式的简单性。

1.数学结构的简单美。简单性是数学结构美的基本内容。就数学理论的逻辑结构而论，它的简单性一般包括两个方面的内容：一是理论前提的简单性，独立的概念简单明确，以最少的公理来建立理论；二是理论表述的简单性，以最简单的方式抓住现象的本质，定理和公式简单明晰。著名的皮亚诺算术公理系统，就是逻辑结构简单美的一个典范。

2.数学方法的简单美。简单性是数学方法美的重要标志。一个美的数学方法或数学证明，一般都包含着简单性的涵义。如希尔伯特解决果尔丹问题的存在性证明方法就是数学方法简单美的一个范例。正是由于希尔伯特的方法简单而深刻，才使它能进一步应用到抽象代数中去，并把群、环、域的抽象理论提高到显著的地位。

3.数学形式的简单美。简单性也是数学形态美的主要特征。数学形态美，是数学美的外部表现形态，是数学定理和数学公式（或表达式）的外在结构中呈现出来的美。形态美的主要特征，在于它的简单性。例如，牛顿用F=ma概括了力、质量、加速度之间的定量关系；中国著名数学家张景中院士认为，“周氏猜测”以非常简洁、优美的形式揭示了数学之美。

三.对称美

对称美，反映的是审美对象形态或结构的均衡性、匀称性或变化的周期性、节律性。数学的对称美，实质上是自然物的和谐性在量和量的关系上最直观的表现。

从数学美来讲，对称包括狭义对称、常义对称与泛对称等，内容十分丰富。狭义对称可分为代数对称（共轭根式、共轭复数、对称多项式、轮换对称多项式、线性方程组的克莱姆法则、对称矩阵、反对称矩阵、厄米特矩阵、反厄米特矩阵等）与几何对称（轴对称、中心对称、平面对称等），常义对称包括同构、同态、映射、反演、互补、互逆、相似、全等等，泛对称包括数学对象的系统性、守恒性、不变性、周期性、对偶性、等价性和匀称等。

四.辨证美

数学充满着相对数量、概念和性质，是辩证的对立统一，是真正的辩证法。如果说各门科学都包含着丰富的辩证思想，那么，数学则有自己特殊的表现方式，即用数学的符号语言以及简明的数学公式能明确地表达出各种辩证的关系和转化。例如：初等数学中：点与坐标的对应；曲线与方程之间的关系；概率论和数理统计所揭示出的事物的必然性与偶然性的内在联系等。

总之，数学中的美是千姿百态、丰富多彩的，如美的形式符号、美的公式、美的曲线、美的曲面、美的证明、美的方法、美的理论等。从内容来说，数学美可分为结构美、语言美与方法美；就形式而论，数学美可分为外在的形态美和内在的理性美。把内容和形式结合起来考察，数学美就具有和谐美，和谐是数学美的最基本、最普遍的一个特征。数学美也是艺术美和人们审美的重要依据和尺度。

参考文献

[1] 《高等数学》，傅延欣，韩伟，王德，电子工业出版社，2009年。《数学美拾趣》，易南轩，电子扫描版。

[2] 《数学的美与理》（普通高等教育“十五”规划教材），张顺燕，北京大学出版社，2004-07.

[3] 《美丽数学》，（日）安野光雅，中国城市出版社，2011-07-01.

[4] 《数学之美》，吴军，人民邮电出版社，2014-11-01.