圆锥曲线中的垂直问题

摘 要：圆锥曲线的综合问题以圆锥曲线知识为载体，综合函数、三角、数列、向量、不等式等知识，综合性强。要求考生具备较强的运算能力、分析问题和解决问题的能力。也是提高学生数学核心素养的良好载体。

关键词：圆锥曲线;垂直;最值

在高中数学教学过程中，我们时常会看到这样一个现象：相同的老师，相同的课堂，经过一段时间的学习会在测试成绩上出现不小的差距。有些同学上课记得勤、课后练得勤，但成绩与一些“聪明”的同学比总是稍逊一筹，而他们总结出的原因多半是“同学比较聪明”。事实上原因是多方面的，其中较为突出的是学生学习的主动性。哪些被动的吸取、模仿、记忆和反复练习的同学总是学的比较累，进步比较慢。

构建主义理论认为学生的学习不是被动接受，而是主动建构，因此，在教学过程中鼓励学生发现问题，自主探究，养成勤于思考的好习惯。英国近代著名的教育家主张“正确的思考，比多知道一些更有价值。”如何在教学过程中促进学生思考，进而养成思考的好习惯呢？下面我们以圆锥曲线的综合题解题教学为例进行探究。

教材中“圆锥曲线”一章的内容在高中数学中的地位异常重要，圆锥曲线的综合问题是各地高考、模拟考的一大热点，也是中学数学教学的一大难点。成为难点原因有三：其一、思维量大，解题过程中蕴含的数学思想丰富;其二、计算量大，大到怀疑自己的解错了;其三、综合性高，圆锥曲线常与向量、三角、函数、不等式的内容相结合。也正是这些特点使得解析几何成为提高学生数学核心素养的良好载体。

一、课堂实录（片段）

例1，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2.过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，垂足为P.

（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：

（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值.

师：第1小问证明的不等式转化为几何结论是什么？

生1：点P不满足椭圆方程，所以点P不在椭圆上。

生2;点P在椭圆内

师;怎么证明？

生3：P在弦BD上，所以P在椭圆内。

生4：不对，垂足P不一定在线段BD内。

师：条件AC⊥BD怎么用？

生5：由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故，

所以，.

师：很好，垂直转化思路1——圆。

师：第2小问求面积怎么表示？

生1：把四边形拆成两个三角形，求面积之和=

师：，怎么求？

生2：用弦长公式，设BD的方程为，代入椭圆方程，并化简.

设，，则，

同理，设AC方程为，得。

师：两个变量求最值怎么办？

生3：化成单变量，因为AC⊥BD，所以km=-1，即

.四边形ABCD的面积

当k2=1时，上式取等号.

师：很好，垂直转化思路2---斜率之积为-1。

师：对上述同學解题过程有没有疑议？

生4，当AC或BD斜率不存在没考虑，此时四边形ABCD的面积S=4.四边形ABCD的面积的最小值为.

二、课后反思

（1）设问有层次;

问题贯穿课堂始终，因此选取合适的例题，设置恰当的问题至关重要。使不同层次的学生思维不同，经验不同，理解力不同，为使不同层次的学生都积极思考，设置的问题得有层次。学生在思考问题时可以从不同方向、不同角度、不同途径入手，达成不同思路取长补短。

问题设置遵循由浅入深，循序渐进的原则，它可以使学生在问题解答过程中不断获得成功，树立自信心，进而培养敢于思考，勇于解决困难的良好品质

（2）教师点拨有梯度;

对一般的学生来说，数学知识和数学经验比较缺乏，面对具有一定难度的问题往往一筹莫展，需要教师适时的点拨。根据学生解题过程中遇到的不同障碍，给出相应的知识点提示，切不可一点不通全盘托出，也不能高估学生的能力让学生自行讨论解决。对不同的点，不同的同学给予不同的提示，使他们在解题上更近一步。

结语：亚里士多德有句名言：“思维是从疑问和惊奇开始的。常有疑点，常有问题，才能常有思考，常有创新。”数学解题教学要从学生解题障碍出发，引导学生不断分析问题，从而解决问题。培养学生善于思考的好习惯，提升学生分析问题、解决问题的能力，锻炼学生的数学数学思维。这些远比仅仅获得知识更为终身受益。

作者简介：金素英（1979-），女，汉族，籍贯浙江义乌，本科，中学一级教师，研究方向：数学教学