关于一道数学考研试题的解法与思考

刘国祥 刘众

摘要：本文针对2019年全国硕士研究生入学考试高等数学（一）18题和解法，对教学及考研辅导、复习等问题，进行了多方位的思考.

关键词：递推数列;单调性;定积分;分部积分法

中图分类号：O174  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2019）07-0016-04

2019年全國硕士研究生入学考试高等数学（一）第18题是：

针对这道题目的解法和分析，对教学及考研辅导、复习等问题，进行了思考，并探讨在教学中如何培养思维定式与创新意识.

1 题目分析

看到一个题，首先看已知什么，要求什么，或者要证明什么.这个题的题设非常清晰，是以定积分形式给出的无穷数列的通项.问题有两问第一问是证明数列的一个递推关系，第二问是求数列通项的商的极限.问题非常清晰简练，看不清楚题目，看不懂题目是绝对不会的.

高等数学考试或者研究生入学考试与中学数学或者说高考数学题目有一个明显的区别，高考中，如果一个题目有两问或者多问，其中第一问基本是送分的.只是为了后续问题做个准备，甚至是后续问题的提示.考研中，如果一个题目有两问或者多问，其中第一问基本是最难的.如果第一问解决，后续问题基本就迎刃而解，基本是送分的了.

严格说来，没有难题与简单题之说，只是针对具体的问，根据自己的学习情况，熟练程度，就有了难易之分.那什么样的题对你是难题呢，基本上有两种，一种是看不懂题目，具体的又有这么几种情况，其一是新定义一个或者几个概念、规定符号，从来没有见过，不知其意，一般是新颖创新型的题目.其二是问题中有的概念忘了或者记忆模糊，虽然见过，但不知其意.一时想不起来，还不如第一种情况.严格来说，这都属于基本功不扎实，复习准备不到位，知识脉络有漏洞.第二种难题是虽然题目看懂了，但是无从下手，没有突破口.整数论课程这样问题很多，例如哥德巴赫猜想、费尔马大定理，谁都懂，但是证明却无从下手.高等数学考试中利用中值定理证明存在性问题，想不到构造辅助函数，或者想到构造辅助函数但是选取不到合适的.这样都使得解答无从进行.

这个题对于多数人来说，都应该不是难题，都能够入手.至于是否能够完满顺利解答，还有看你的计算能力和推演能力.

从这里可以更明显地体会到，记住方法或许比记住结果更重要.

分类讨论和转化是数学解题的两个重要思想，中学数学教学和高考中体现更明显.这道考题解法，选择适当，可以避免分类讨论奇偶性.分奇偶性讨论，结论更直观，直接用.对于分类讨论，我们的观点是，不必过于追求，也不过于回避.平时练习时候，多思考，不用分类讨论解不出来或者过于复杂的题目，试试分类讨论.当然分类讨论接触的题目，想一想不用分类讨论能不能解出来，是否更精炼.

至于转化，可以说是贯穿于整个数学界.严格说不能简单说成是方法或者思想.狭义地说，这里用到an，an-1，an-2的转化，In，In-1，In-2的转化，an，In之间的转化等.我们的观点同对待分类讨论一样，不过于追求，不过于回避.

4 试题溯源

分析历年来考试试题，无非以下几种情况：第一种是所谓的成题（或旧题），就是以前考过或者常见文献上可查到.旧题稍微变化或者换换数字，也算作这种情况.主要考查学生掌握基本知识和基本方法.这种题目占很大比例也并不一定简单，例如2019年全国硕士研究生入学考试高等数学（一）第15题，第一问求解一元线性微分方程，第二问求函数的凹凸区间与拐点，就是成题.第二类是完全新颖的题目，或者创新的题目，从未见过或者类型都没有见过.这主要看你能否准确理解题目，或者适当转化、类比于成题.并不一定是难题，可能只是一个华丽（唬人）的外表.第三类，也是最常见的一类是某些成题或者结论的变形或者转化、引申，或者参考某个方法.总之它们都有明显或者不明显的出处.

在课堂教学、课外辅导或者考研辅导时，这么多方法，那种是最好的.我们的观点是：容易想到的，你会使用的，你熟练的，对你来说，就是最好的.对于“定式”的、经典的题型，至少要熟练一种.至于到底是哪种呢？你喜欢的，常规的.不要过分追求新奇的‘巧妙的’解法，熟生巧，不熟，“巧”也记不住，掌握不了.

还是回到老话，平时多看、多读、多练、多思、多试，夯实基础，学会变通，才会有提高与创新.

参考文献：

〔1〕刘国祥，刘众.一道不定积分的解法与教学探讨[J].赤峰学院学报（自然科学版），2017（10）：10.

〔2〕陈文灯，黄开先，曹显兵，等.考研数学轻巧手册[M].北京;世界图书出版公司，2006.101-102.

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