借助极径ρ巧妙设计直线的参数方程

张方方

摘 要：从学生已经学过的极坐标中ρ的意义，从而推广得到直线的参数t的几何意义，进而得到直线的参数方程，即从已经学过的知识通过构建支架，让学生达到一个更高的水平，符合最近发展区理论以及先行组织者理论。

关键词：极径;直线;参数

笔者每每在“直线的参数方程”新授课过程中，学生总是很难理解参数t的几何意义，自己也尝试翻阅了资料发现同仁们对于直线的参数方程有很多很好的教学设计，例如浙江省杭州市余杭高级中学曹凤山老师采用从特殊到一般，从数轴上理解直线的参数方程中参数的几何意义;南京师范大学附属中学丁菁老师先已知直线上定点M0（x0，y0），以及倾斜角α，则当直线上的点M（x，y）在M0上方时，当直线上的点M（x，y）在M0下方时，从而归纳出直线的参数方程，t的几何意义为|t|=|M0M|，即直线上任意一点M到M0的距离，这也是很多教师设计直线的参数的方程的普遍做法。笔者也尝试过用以上的方法来设计这节课，但效果不佳，如何更好的引导学生理解t的几何意义呢？“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，为什么不可以从极坐标方程中ρ的几何意义来引导推出t的几何意义。于是笔者通过极坐标方程ρ巧妙设计直线的参数方程的一堂课。

参照《普通高中数学课程标准（实验）》的要求，作为第一课时，确定如下的教学目标：从特殊到一般，从极坐标中M（ρ，θ）转化为直角坐标（x，y）的过程理解ρ的意义，从而推广得到直线的参数方程，理解其几何意义;直线的参数方程的简单运用，体会到直线参数方程相对于普通方程的优越性，提升数学运算能力;借助极坐标中极径ρ推广得到直线的参数方程的过程，提高学生的数学迁移能力，数形结合能力，提高数学抽象.逻辑推理核心素养。问题1：在物理或者数学中，哪些量是存在正负的？问题2：确定一条直线需要几个条件？设计意图：问题的设计可以让学生回忆出位移，向量以及刚刚学习的极坐标中ρ这些量;问题‚的设计可以让学生回忆起确定直线的两个条件：两个点或一个点及其倾斜角，从而归纳出直线一旦确定，则直线上任意一点都已确定，为引出直线的参数t，直线的参数方程做好铺垫。探究一：在极坐标中，直线中取两点，将其转化为直角坐标，并回答ρ=2，ρ=1的几何意义。探究二：若已知直线，以及直线上定点M0（1，1），则直线上任意一点M（x，y）能否用M0及其θ表示出来？师生活动：有了探究一的铺垫，有学生回答为当M点在M0上方时，，当M点在M0下方时，。此时教师再追问该学生，从你的回答可知不管M点在M0上方或者下方，ρ都要满足大于0，但是从刚刚探究一可知ρ一定大于0？

师生活动：此时学生幡然醒悟，这时教师顺势要学生归纳出已知定点M0（1，1），并指出ρ一般用在极坐标中，因此通常在直角坐标系中，ρ用t来代替，此时t完美的完成了ρ的交接，并指出t的几何意义，t表示M0到M之间的位移，数量来表示，当M点在M0上方时，t>0;当M点在M0下方时，t<0，当M点在M0重合时，t=0，|t|表示M0M之间距离。

探究三：提问学生，能否将此直线一般化，写出直线过定点M0（x0，y0），及其倾斜角θ的直线的参数方程。设计意图：探究一到探究三从易到难，从特殊到一般，环环相扣，最终攻破本节课难点。从学生已经学过的极坐标中ρ的意义，从而推广得到直线的参数t的几何意义，进而得到直线的参数方程。这也是本节课的精彩之处，从已经学过的知识通过构建支架，让学生达到一个更高的水平，符合最近发展区理论以及先行组织者理论。

写出过定点（2，-4），倾斜角为Π的直线的一个参数方程;设计意图：理解直线的参数方程的形式特征，体验写出直线参数方程的步骤与方法，为运用直线的参数方程求解问题做好铺垫。设计意图：对于问题‚的解答学生倾向于联立直线与抛物线的普通方程求解，這也是在没有学直线的参数方程时的通法，但计算比较繁琐，这个时候引导学生从直线的参数方程来思考则要简单的多，特别对于问题ƒ运用直线的参数方程优势非常大，学生反应很激烈，进一步体会到直线参数方程t的几何意义。整理总结归纳提升让学生自己归纳出直线的参数方程的知识点，及其涉及的数学思想方法，特别是参数t的几何意义和在解决问题过程中用到的从特殊到一般，数学结合的数学思想。布置作业课后思索作业：课本习题1.2题

参考文献

[1]曹凤山.“直线的参数方程”（第一课时）教学设计[J].中学数学教学参考（上旬），2017，6.

[2]丁菁.“直线的参数方程”（第一课时）教学设计[J].中学数学教学参考（上旬），2017，6.