吴世朗
离心率是圆锥曲线的一个重要概念,是椭圆的定义、方程与几何性质的一个交汇点.全国高考数学卷对圆锥曲线离心率的考查一直是个热点,考查频率很高,几乎每年都有涉及。如2018理科卷Ⅱ12、卷Ⅲ11,文科卷Ⅰ4、卷Ⅱ11、卷Ⅲ11;2017理科卷Ⅰ15、卷Ⅱ9、卷Ⅲ10,文科卷Ⅱ5、卷Ⅲ11;2016理科卷Ⅱ11、卷Ⅲ11,文科卷Ⅰ5、卷Ⅲ12……全国卷对离心率的考查,基本上是以客观题为主,偶有填空题解答题,中档题居多,尤其近三年有加大的趋势。
对于求圆锥曲线离心率的问题,通常有两类:一是求离心率的值问题;二是求离心率的取值范围,但从全国卷来分析,基本上侧重于求离心率的值。
一般来说,求离心率,只需要由条件得到一个关于基本量a,b,c的一个关系式,列出方程(组)或不等式(组),就可以从中求出离心率。如椭圆的离心率,双曲线的离心率,就是由a,c或a,b的关系可直接求得离心率的值。但如果选择方法不恰当,则极可能计算量大,运算繁琐,小题大作了。本文从全国卷高考为例,探讨分析离心率求值的解题策略。
一、直接利用题目中已具有的条件,建立等量关系。
有些试题中题意显然,等量关系已存在,解题思路是根据已有的关系,直接列出方程或方程组。
例1(2016年全国卷1文数5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】设椭圆(a>b>0),根据题意直线l方程为,利用点到椭圆中心到l的距离为,由,即得。故答案选B。
【点评】因为题意中的等量关系很明显,运用点到直线的距离公式,可以直接建立a,b,c的一个齐次等式。
例2(2014年高考新课标Ⅱ卷数学理20文20)设F1,F2分别是椭圆(a>b>0)的左右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(Ⅰ)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
【解析】:由已知可得,故直线MN的斜率为将代入,解得,(舍去).故C的离心率为.
【点评】本题已知直线MN的斜率,可用两点的斜率公式建立方程。
二、紧抓圆锥曲线的定义、转化到焦点三角形处理。
在椭圆、双曲线上,若有某个点P到焦点F1,F2距离问题,一般上,要根据曲线的定义,抓住PF1+PF2=2a或|PF1-PF2|=2a,焦距长为F1F2=2c,转化到焦点三角形△PF1F2,利用解三角形的有关性质进行求解,如常用正弦定理、余弦定理、勾股定理建立方程。
例3、(2013全国新课标Ⅱ卷文5)、设椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF1⊥PF2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】在中,因为,所以。又,所以,即椭圆的离心率为.故答案选D
【点评】本题利用直角三角形的性质,根据条件将三边用c表示出来,再根据圆锥曲线定义找出a、c间的等式求出e.本题主要考查了椭圆的定义,几何性质、数形结合与化归思想。
三、挖掘题目中的等量关系,巧用平几,进行转化与化归,
解析几何的研究對象就是几何图形及其性质,用代数方法来研究几何问题。圆锥曲线是解析几何问题,因此当题目中条件关于a、b、c间的一个齐次等式不明显时,充分挖掘题目中隐含的几何条件,结合有关的平面几何知识,将几何问题与代数问题的进行等价转化.如何将几何问题转化为代数问题?首先是审清题意,理解几何对象的本质特征;其次恰当选择代数化的形式,将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来.数形结合,这样往往能减少计算量,解决问题就会达到事半功倍效果.
(一)活用三角形知识,巧搭桥梁求解离心率.
例4、(同上例1)
【解法二】设椭圆(a>b>0),椭圆中心到l的距离为OA,由焦点三角形性质可,BF=a,在中,利用等面积法,可得,再由,即得。
【点评】方法二巧用直角三角形的等面积法建立关系式,比例1的解法运算量稍低些。
例5(2012年高考新课标全国数学理)设F1F2是椭圆(a>b>0)的左、右焦点,P是直线上一点,是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()
A、 B、 C、 D、
【解析】设直线与X轴交于点M,结合图象可知,在直角三角形中,,所以。答案选C
【点评】本题考查数形结合的思想,从中挖掘直角三角形,等腰三角形的平面几何性质,找到等量关系。
在几何图形中,利用解三角形和三角形相似等知识,转化为边角之间的关系解决解析几何问题.在解题时,要善于将几何性质转化为代数间等量关系。能巧用几何性质,数形结合,能减少计算量.
在涉及三角形题型中,经常要用到如下性质。(1)已知三角形两边垂直时,又有坐标条件则转化为斜率乘积为-1或向量数量积为0;有长度条件时则考虑用勾股定理建立方程。(2)若已知条件是三角形某边上的中线等于这条边的一半,则转化为直角三角形问题斜率或向量问题。(3)若已知条件是两角相等(角平分线),则转化为斜率问题:底边水平或竖直时,两腰斜率之和为0。(4)已知条件角是锐角、钝角时,则转化为向量数量积,斜率问题。
(二)关注与圆知识的结合,利用圆的几何性质建立关系
圆是平面几何中重要的内容之一,圆与椭圆、双曲线经常性地交汇命题。能准确地作出图形,挖掘几何图形中所隐含的条件,灵活运用好圆的有关知识,能使解几问题较为简捷地得到解决。
例6(2017年全国卷Ⅲ理10文数11)已知椭圆(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线相切,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
【解析】:以线段A1A2为直径的圆与直线相切,可得,,,因此C的离心率为答案选A.
【点评】本题利用直线与圆相切的几何性质,建立关系。
在解决与圆有关的问题中,注意几何性质与代数形式的转化。如果题意中若考查的是点与圆的位置关系,则转化为点与直径两端点的向量数量积与“0”比较大小,或运用两点的距离公式与半径比较;若考查的是直线与圆相切、相交的问题,则转化为直角三角形问题,可能要用到勾股定理、点到直线的距离公式、弦长公式.
(三)点共线问题,转化为斜率或向量问题。
坐标法是解析几何中最基本的方法,是以坐标系为桥梁,把几何问题转化成代数问题。而斜率公式、向量运算也是与坐标运算紧密相连,在涉及点线问题,利用它们之间坐标的联系,进行化归转化为斜率或向量问题,利用斜率或向量相关知识,建立方程。
例7(2016年全国卷Ⅲ理数11文数12)已知O为坐标原点,F是椭圆(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】:设则直线l的方程为,OE的中点由于三点共线,可得,整理得,椭圆的离心率。答案选A。
【点评】本题是利用三点共线,转化为斜率相等,建立等量关系。
四、利用点在曲线上,列出方程,建立关系
有些试题等量关系不明显,几何性质转化有难度,但题目中发现有某个点在曲线上,点在曲线上点的坐标是这个方程的解,可以根据已知条件,用关于含有a,b,c的代数式表示这个点的坐标,然后代入曲线方程中,从而建立关系。
例8(2015新课标Ⅱ理11).已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,∆ABM为等腰三角形,且顶角为120°,則E的离心率为()
A. B.2 C. D.
【解析】:设双曲线方程为(a>0,b>0),∆ABM为等腰三角形,则,过点M作轴,垂足为N,在直角三角形MBN中,,将M代入双曲线方程中,可得b=a,所以双曲线的离心率.故选D
【点评】本题抓住题意,表示出点M的坐标,利用点M在双曲线上,从而列出方程。无独有偶,在2018全国卷的考查中,仍有例8的影子。
例9(2018年全国卷Ⅱ理数12)已知F1,F2是椭圆(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
【简析】△PF1F2为等腰三角形,求得,过A且斜率为的直线方程为y=(x+a),将点P代入,或者由,易得。所以答案选D.
【点评】本题的解法与例9相似,双曲线问题改为椭圆问题,点在双曲线上改为点在直线上。
总之,在解决有关离心率问题时,要审清题意,从题意中挖掘显性的等量关系、隐性的几何条件,建立方程,然后将其转化为含离心率e的式子,进而求其值。在实际教学中,寻找等量关系,从哪种途径入手,要有意识地培养学生,让学生学会运用,才能真正掌握离心率的求法。
(备注福建省宁德市中学教育科学研究2018年度课题:“高考全国卷数学科试题特点及教学对策研究”。立项批准号:FJNDKY18-803)