转化与化归思想在立体几何中的一些应用

王垂趁

转化与化归思想是高中数学四大思想方法之一，在高中數学中占有极其重要的地位。运用得当能使得问题的解决大大降低难度。在高中数学各个章节中有普遍的应用，如函数与方程的转化，常量与变量的转化，正与反的转化，数与形的转化，等等。本文仅在立体几何方面就该思想的应用作些尝试，旨在学习该思想的应用，所有问题均不考虑空间向量的解法。

一、利用转化思想求空间距离。

例1、如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面

ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=∠A1AC=60°，点A1在底面ABCD上的射影为O。

（1）证明：A1O//平面CB1D1。（本文略）

（2）求点B1到平面A1BC的距离。

分析：直接过点B1作平面A1BC的垂线明显不甚理想，容易想到对四面体B1-A1BC变换顶点和底面用等体积法来求解，但是四面体B1-A1BC中无论哪个面作底面也都是不甚理想。这时应当转变思路。思路一：在计算四面体B1-A1BC的体积时不再局限在四面体B1-A1BC本身，而是考虑利用等底等高等手段变换为其它四面体。如图1.

简解如下：A1O=3，，从而，而，故所求为。（注：转变为、等亦可。）思路二：在计算四面体B1-A1BC的体积时，也可以利用割补法，避开四面体B1-A1BC本身，探求其与柱体体积的关系，转化为求柱体体，如图2。

二、利用转化思想求空间角

当直线m//n时，若m与其它线、面所成的角较为难以求解时，可以转化为n与其它线、面所成的角。当平面α//β时同理。

例2、平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α平行于平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为_______（图3）

该题参考答案是在原正方体上方补一个同样的正方体，

再去寻找m，n的平行线。此法比较抽象，而且平面α与直线m也未出现，需要再借助平行面、平行线。

优化：抛开α，只看平面CB1D1，转化为平行线来处理。

根据α//平面CB1D1，可知m//B1D1，n//CD1，则转化

为求B1D1与CD1所成角的正弦，易知它们所成角为60°

例3、长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，

CC1=1，E，F，G分别是棱AB，AD，B1C1中点，

求直线BG与平面A1EF所成的角的余弦值。（图4）

思路一：寻找线的平行线。（作图略，N，H，M为所在棱中点），转化为BG的平行线EH与平面A1EF所成的角。在小正方体AENF-A1E1HM中，利用AH⊥平面A1EF，用常规方法不难得所求为。思路二：寻找面的平行平面。如图6，将长方体补成正方体，转化为平面A1EF的平行平面A2BD与直线BC2所成的角，同思路一解答即可。

文末提供一个习题供大家练习，解答思路与上例相同：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1=2AC⊥BC，D为AB中点，求C1D与平面A1BC所成的角。

思路二，转化为OE与平面A1BC所成的角（作图略）。其中E到平面A1BC的距离可以用等体积法等方法求得，设所求角为，由可知。

思路三：转化为C1D与平面DFG所成的角（作图略）。不难证明AC1⊥平面DFG，则∠C1DH即为所求角。

总的来说，转化与化归思想经常能够把困难的问题转化为简单的问题。在立体几何中除了前面所述的两个方面的应用，还有其它方面的广泛应用，比如在折叠问题中抓住变化中的不变量，进行动与静的转化;在最短路径问题中利用展开图进行空间与平面的转化，等等，使用得当往往颇有奇效，