“过圆外一点作圆的切线”的教学价值评析及教学设计

李丽娜 张昆

2淮北师范大学 数学科学学院，安徽淮北 235000）[=]【摘 要】“过圆外一点作圆的切线”是“圆的切线的判定定理”教学内容的自然发展，作为平面几何基本作图的一个有价值的知识点，理应成为一个拓展的教学内容。文章阐述了两种课堂教学途径，一是讲授法，将“过圆外一点作圆的切线”作为巩固新知识“圆的切线的判定定理”一个例题的课堂教学活动的关键环节;二是探究发现法，教师与学生进行“心理换位”，从揣摩与推测学生如何思考问题出发设计教学。两种教学法各有优劣，但研究者倡导授课教师还是要练就以探究发现法进行教学，因为这是培养学生独立学习能力的重要途径。

【关键词】教学设计;讲授法;探究发现法

【作者简介】李丽娜，中学一级教师，淮北市濉溪县城关中心学校;张昆，中学高级教师，博士，主要研究方向为数学教学论、数学课程论、数学教育哲学、数学史等。 人教版数学九年级上册在第95页至第104页，以10页的篇幅呈现了课题名称为“直线和圆的位置关系”的教学内容，主要包含圆的切线的判定、圆的切线的性质定理、圆的切线长定理（教材注明为选学内容），并相应地配置了合适的例题与习题。教科书的材料内容呈现合理，例题、习题的选择典型、精当，行文有力，有利于教师的施教与学生的学习，体现了人教版专家编制教科书的高格局、高水平，具有很強的适应性。在此基础上，笔者认为关于圆的切线的基本作图问题之一——“过圆外一点作圆的切线”内容理应成为圆的知识点的一个拓展的教学内容。

一、“过圆外一点作圆的切线”的教学价值

研究者认为，教师在完成切线的判定定理教学内容后，可以承接例1增加一个例2，向学生介绍“过圆外一点作圆的切线”的基本作图问题。如果课堂教学时间充足，教师还可以探究发现的方式带领学生学习，掌握基本作图的一般步骤;如果课堂教学时间不充足，教师可以要求学生在课后自学。增设“过圆外一点作圆的切线”教学内容的主要依据主要体现在以下几方面。

其一，加深对平面几何基本图形的认识，建立几何直观。欧几里得在著《几何原本》时，特别重视基本作图。他引进的公理、公设、定理及其证明过程的图形，都可以通过尺规（尺——没有刻度的直尺，规——没有特殊功能的圆规）作出图形。无独有偶，波利亚在《数学的发现（第一卷）》第一章“双轨迹的模型”中，选择了“第一，作已知三角形的外接圆;第二，作两圆的公共切线;第三，给定三条中线，求作三角形”[1]三个典型的用尺规作图的例子。透过这些数学家兼数学教育家对尺规作图的重视，我们可以认识到，平面几何的基本作图具有非常重要的意义。理在用中方知妙，学生通过平面几何的基本作图，可以认识作图工具，并借助作图工具理解平面几何理论知识，加深对平面几何基本图形的认识，为母语、图形语言、符号语言的认识、发展与转化奠定基础，为积累严谨的几何语言打下基础，为证明较为复杂的几何命题探究活动提供感性材料，为添加辅助线、图形语言与符号语言的表达与互译创造条件[2]。

其二，有利于学生对自己的行为结果进行反思。由于学生的基本几何作图成果可以通过他们在媒介上留下的直观痕迹立即加以判断，因此尽管这些直观痕迹与探究平面几何命题证明的思维活动不完全一样，但是偏向于“实践操作—结论痕迹”的直截了当过程，他们对作出的痕迹结果反馈是直接的，对所作出的留在媒介上的直观痕迹是否符合作图要求也具有一目了然的特点。学生对这些直观痕迹可以通过逻辑推理加以检验与验证。如果发现了其中某些环节具有缺陷或者错误，他们会自觉重新思考，形成新的指导操作作图工具的几何观念，修正其中的某些环节，得到正确的结论;或者另起炉灶，重新走一遍前述的作图过程，直到获得正确的作图痕迹为止。

同样，“过圆外一点作圆的切线”基本作图的有效正确操作，对于学生理解圆的切线性质定理与判定定理具有极大的帮助。因此，教师应将其作为一个拓展的内容进行教学。

二、“过圆外一点作圆的切线”教学设计研究

由前述分析可知，“过圆外一点作圆的切线”是“圆的切线的判定定理”教学内容的自然发展，作为平面几何基本作图的一个有价值的知识点，理应成为圆知识点的一个拓展教学内容。在进行这个知识点的学习时，由于需要制作辅助圆，因此对于学生来讲，并不是一件容易的事情。研究者探究了两种课堂教学途径，现摘要性地展示，供大家评判与参考。

教师甲将“过圆外一点作圆的切线”作为巩固新知识“圆的切线的判定定理”一个例题的课堂教学活动的关键环节（其中的省略号表示学生的思维中断）。

师：刚刚学习的“圆的切线的判定定理”具有什么特征？

生1：具有两个方面的结构特征。其一，经过半径的外端;其二，并且垂直于这条半径的直线。

师：下面请同学们看例1（PPT展示例1）。如图1，已知⊙O2经过⊙O1的圆心，⊙O2与⊙O1相交于点A与点B，直线O1O2交⊙O2于点P，求证：PA是⊙O1的切线。

师：要证明PA是⊙O1的切线，我们就要运用生1所说的圆的切线的判定定理的结构特征。如何利用这两个特征解锁证明的思路呢？

生2：由于点A是PA和⊙O1的公共点，因此我们只要证明点A到点O1的距离是⊙O1的半径就行了。连接O1A，证明O1A垂直于PA就达到目的了。因为O1P是⊙O2的直径，故O1P所对的圆周角∠O1AP为直角，O1A是点O1到PA的距离，从而得到PA是⊙O1的切线。

师：让我们一起反思这道证明题。老师再提出一个新问题（记为例2）。如图2，已知⊙O1与⊙O1外一点P，求作⊙O1的切线。同学们如何解决这道作图题？

生：……

师：大家仔细观察图1，并认真研究例1的证明过程。这对解决例2有帮助吗？请大家认真思考，拟定例2的作图步骤。

生3：第一步，连接O1P;第二步，取线段O1P的中点O2，以O2为圆心，以O2P的长为半径，画⊙O2交⊙O1于点A和点B;第三步，连接PA。如此，PA是⊙O1的一条切线。

师：生3提供的作图步骤正确吗？如何判断这个结论？

生4：正确。可以依据生3作图所提供的条件，对“PA是⊙O1的一条切线”结论加以证明就可以了。这个证明过程就是生2所给出的证明过程。

教师甲通过分析学生对“过圆外一点作圆的切线”发生认识时的心理疑难，进步分散难点。例1的证明活动，一方面促使学生巩固刚刚学习的“圓的切线的判定定理”，另一方面又以其为支持点，设计新问题（例2）促使学生认识这个重要的基本作图步骤。在教学的启发下，从例1的证明中，学生获得基本作图步骤的分析活动过程，教师也圆满地完成了教学任务。

然而，这种教学设计也具有较大的缺点，在“过圆外一点作圆的切线”教学活动中，由于有例1的奠基，因此掩盖了学生发现作图步骤的思维活动过程。这种发现作图步骤的思维活动过程极其重要，因为学生学习的不仅仅是数学知识的内容，更是伴随数学知识内容的产生，练就思维活动的创造性。从分析信息开始，到确定问题的疑难所在，再到这个疑难是如何转化为旧知识，或者创作新的数学观念、数学方法等数学内容，这些才是数学课堂教学活动真正重要的地方。学生的这些数学观念、数学能力发展起来之后，才能形成自己的个性化数学经验。这种经验比较容易迁移到今后面临的新数学疑难问题中去，为解决新问题奠定基础[3]。

为了研究“过圆外一点作圆的切线”基本作图的教学设计，研究者设计如下新的教学活动。

师：如图2，已知点P是⊙O1外一点。我们知道，过点P肯定存在与⊙O1相切的直线。请同学们思考，如何作出其中的一条切线？

生：……

师：我们如何判定过点P的一条直线是⊙O1的切线？

生1：这肯定要使用圆的切线的判定定理。对于图2的作图要求而言，要过点P引一条直线，使这条直线满足两个条件：一是所引的这条直线与⊙O1有交点;二是把这个交点与点O1连接起来，同时使这条连线与所引的直线垂直，这个交点就是垂足。如此就可以判断过点P所引的这条直线是⊙O1的切线了。

师：生1说得非常清楚。要想依据这个问题的条件作出合适的直线（过点P作⊙O1的切线），就要同时保证满足这两个条件。这是一件比较难以办到的事情。大家对此有什么意见吗？

生2：假定符合要求的那条切线已经被我们找到（如图3），那么它就满足了两个条件：一是点A在⊙O1上，为半径O1A的外端点;二是O1A⊥PA。

师：你们可否一个条件、一个条件地考虑？或者先考虑第二个条件作O1A⊥PA呢？

生3：由生2的提示，我们可以作一个以O1P为斜边、以点A为直角顶点的Rt△AO1P就可以达到目的。可惜，下一步我不知道如何处理了。

师：大家开动脑筋，认真仔细地思考，如何作出Rt△AO1P呢？

生：……

师：在什么条件下，我们不用有意识地过直线外一点引这条直线的垂线，就可以自然而然地得到直角三角形呢？

生：……

师：大家可能受到了“直角是在直线的条件下产生的”思维定式的影响。现在我们将O1P连接起来（如图4）。大家想到了什么？

生4：我想到了，只要以线段O1P为直径作一个新的圆，就可以确保∠O1AP为直角了。

师：大家可以通过我们所使用的探究活动过程所得到的结果，写出“过圆外一点作圆的切线”的一般作图步骤吗？（下面回归到教师甲的教学活动所产生的作图过程，如图1）

以上教学设计是以研究者带领学生在课堂展开探究活动为主旨的。其前提条件是教师与学生进行“心理换位”，揣摩与推测学生是如何思考问题的。在探究发现法中，学生对数学新知识发生认识时最重要的地方在于明确问题关键点的准确位置，然后针对这个关键点，教师要捂住“包袱”，不要轻易抖开。因为正是在这个地方需要教师诱发学生生成解决问题的数学观念（例如，通过研究者的教学设计可以发现，在启发学生作O1A⊥PA时，研究者使用了层层铺垫、步步紧逼，使生4萌生了作“辅助圆”的数学观念，从而比较好地发挥了这个知识点的教学价值;而在教师甲的教学设计中，他通过例1的证明活动过程，将“辅助圆”的构建过程和盘托出，使学生在产生这种新数学知识时，失去培养学生萌生相应的解决问题的数学观念的机会，从而达不到了这个知识点的教学价值）。如此，在课堂教学活动过程中，研究者通过不断铺垫与渲染，激起学生“接力”性地生成一个“序列”性的数学观念。在这些数学观念的指引下，学生合理操作图形，找到了“过圆外一点作圆的切线”基本作图的一般性方法与步骤，彻底解决了问题。

三、两种教学设计方法的简要评价及其合适的应用场合

在前面行文的叙述中，教师甲的教学方法更倾向于讲授法，而研究者所提供的教学方法更倾向于探究发现法。关于“过圆外一点作圆的切线”基本作图的这两种教学设计皆有优势与劣势。教师甲的课堂教学效率高，通过增加例题量来弥补学生探究经验的不足;研究者的教学设计的优势自不必言，但也有劣势，那就是教学效率低，课堂教学的绝对时间量往往不够用。因此，在教学设计的选择中，关键的一项条件即教师面对的是具有怎样学习心理特征（学习习惯、前任教师的教学方式产生的影响等）的学生。总之，能够适应学生心理发展的教学设计就是最好的教学设计。

当面对的学生已经养成独立的学习习惯，且前任教师在自己的教学活动中也非常注重培养学生探究发现的学习方法，班级中已形成探究发现活动的氛围，此时授课教师就应该选择研究者所提供的教学设计进行教学。当面对的学生独立学习能力比较差，也未养成很好的独立学习习惯，且前任教师采用的教学方法大部分是传授式的，班级中没有形成探究发现活动的氛围，此时授课教师选择教师甲的教学设计进行教学，效果可能会更好。

虽然如此，但是授课教师还是要练就研究者所提供的教学设计途径进行教学，因为这是培养学生独立学习能力的重要途径。“教是为了不教”要求学生在获得数学知识的过程中，同步养成数学学习习惯，同步发展数学能力，同步自己（而不是教师提供）萌生相应的数学观念，同步形成新鲜的、有价值的数学经验。但学生这种独立学习的习惯、能力、观念与经验，都不是一蹴而就的，需要数学教师课堂教学的长期影响，时时注意启发，才有可能养成。

选择研究者提供的这种教学设计途径进行教学，大部分数学教师在开始教学时可能有点不适应。其一，在教学中，教师要以像“学生一样的探索者”的身份出現，明明自己知道答案，却要伪装成不知道，明明掌握了问题的绝妙的解法，却要隐忍于心、不讲出来，让学生思考，这对教师来说，是一件非常为难的事[4]。其二，这种课堂教学效率（产生知识量与教学时间的比率）较低，研究者在实际课堂教学时，为了促使学生萌生“辅助圆”这种数学观念，用了将近十分钟的时间，而且整个教学任务在当堂课没有完成，因此在评课时，很多教师认为这样做是得不偿失的。其三，数学教师对数学知识特点的分析与学生发生数学知识认识的心理环节的揣测更不是一件容易的事情。如果教师不能理解数学知识的某些特点所构成的特定关键环节，不能准确把握学生认识数学知识的心理活动，就不可能恰到好处地设计学生探究活动的环节，也不可能发挥探究发现教学活动的真正价值[5]。因此，一线数学教师需要在这方面下一番苦功夫，提高认识、转变观念、练就能力、吸收经验，才能掌握探究发现模型的教学方法，以发挥数学课程资源的教育价值。

四、结语

“过圆外一点作圆的切线”的基本作图问题应该作为一个拓展的内容进行教学。因为它对巩固“圆的切线的判定定理”知识是一种非常好的材料;同时，它又是与圆的知识内容相关的一项“基本作图”（初中平面几何的基本作图问题为数不多），学生学习这一个教学内容可以感受几何作图的思维方法;另外，它还是一项非常好的启发学生进行探究学习的学习内容。在施教“过圆外一点作圆的切线”的基本作图知识点时，数学教师选择的教学途径应该是研究者所提供的这种教学设计，对此一线数学教师应该思之再思，慎之又慎！

参考文献：

[1]波利亚.数学的发现：第一卷[M].刘静麟，曹之江，邹清莲，译.呼和浩特：内蒙古人民出版社，1979.

[2]张昆.“理性”与“实用性”：何长何消——对平面几何知识进入义务教育课程的一些思考[J].课程·教材·教法，2007（8）：42-45.

[3]张昆.教材的结构-功能分析方式探索：基于数学教学设计的视角[J].中学数学（初中版），2017（6）：28-31.

[4]张昆，曹一鸣.完善数学教师教学行为的实现途径[J].数学教育学报，2015（1）：33-37.

[5]张昆.整合数学教学设计的取向：基于知识发生的逻辑取向与心理取向研究[J].中国教育学刊，2011（6）：52-55.