有效渗透分类思想促进学生数学思维

王伟群

基本的数学思想有数学抽象、数学推理和数学模型。由这些基本思想演变、派生、发展出来的数学思想有很多，其中分类思想就是数学抽象派生而来。在教学中，我们应有效渗透分类思想，促进学生“数学地思维”。

在一堂关于“100以内加减法”的练习课中，一位教师将“分类”活动有意识地穿插到教学内容之中。他的目的是引导学生从不同的角度来分析问题——进行合理的分类，从中感受到分类结果再不同标准下的多样性，感受到不同标准的分类有着不同的意义和作用，从而使学生的思维得到发展，使不同思想方法得到充分有效的交流。

师：刚才全体小朋友认真地做好了六道100以内的加减计算题，并且做得很对。现在我们再来仔细观察这6道题（指34+42=76，37+17=54，69-15=54，59+17=76，91-15=76，83-29=54），如果我们把它们分成两类。你有什么好办法？为什么这样分？

生：我把34+42=76，59+17=76，91-15=76分为一组;把37+17=54，69-15=54，83-29=54分为另一组。

师：你为什么这样分？

生：因为第一组的结果都是76，第二组的结果都是54，所以要这样分。

师：想得很好，你是按照什么标准来分的？

生：按照得数相同来分的。

师：说得对，还有其他办法吗？

生：按照加法和减法来分。34+42=76，37+17=54，59+17=76都是加法，剩下都是减法。

师：你们说。可以吗？

生：可以。

生：我把34+42=76，69-15=54分为一组，其他算式分为另一组。

师：你为什么要这样分？

生：34+42=76。69-15=54是不进位加法和不退位减法，其他都是进位加法和退位减法。

师：你真会观察，也很会动脑筋。

生：我把37+17=54，59+17=76分成一组，其他的分成另一组。

师：你为什么要这样分呢？

生：因为这两个算式里都有加数17，其他的没有。

师：也是一种分类方法。

生：老师，我有另外一种分法。我把34+42=76分成一组。其他的为另一组。

师：这就奇怪了，为什么呢？

生：因为这个算式里面的加数都是双数，其他的数都是单数。

师：小朋友真是太厉害了！老师都没有想到过也可以这样。

这样的教学活动主要集中于分类方法的“多元化”，然而数学中的分类并不是为了分类而进行分类，而是具有明确的目的性，即分类是为了建立一定的序。所以不应该去追求所谓的“与众不同”，更不应该主张“分类是非常重要的，标准可以让学生自己定”，而应当提倡对各种分类方法做出必要的优化，进而建立起一定的序。

对于数学中的分类，不仅要弄清楚为什么要进行分类，还要把握分类的原则，即不重复、不遗漏。例如，在“三角形分类”一课中可以如下开展教学。

师：我带来一个信封，里面装着什么图形呢？请喊出他们的名字。（拿出一个又一个三角形，分别贴在黑板上）

生：三角形。三角形……

师：好多啊，怎么办？

生：给它们取名字，给它们分类。

师：请取出信封里的三角形。可以想怎么分就怎么分，但是要思考为什么这么分。

生：按角来分，都有一个钝角的分成一类，都有一个直角的分成一类，既没有钝角又没有直角的分成一类。

师：有一类三角形既有钝角又有锐角，为什么按钝角来分呢？

生：因为这一类三角形里面有独一无二的特征——钝角，而另外两类没有钝角。

师：有没有不同的分法？

生：可以按边来分，等边的三角形为一类，等腰的三角形为一类。

师：信封里接下来的三角形的三个角有可能分别是什么角？

生：可能是一个直角、两个锐角。

生：可能是一个钝角、两个锐角。

生：可能三个都是锐角。

师：这些三角形黑板上都有，还有呢？

生：可能是一个直角、一个钝角、一个锐角。

师：好，大家闭起眼睛想象一下，这个三角形是什么样子，黑板上有没有这样的三角形？能不能尝试画一个这样的三角形出来。

生：这个三角形不可能能画出来。因为一个三角形三个角的度数是180度，一个直角是90度，一个钝角起码有91度，加在一起就已经有181度了，还有一个锐角没有算进去呢！所以，不可能有这样的三角形。

师：他用三角形的内角和来解释，不存在一个直角、一个钝角、一个锐角三角形，太棒了！

师：那就是只有黑板上的三种情况，还有第四种吗？

生：没有了。

师：看来在分类的时候我们一定不能遗漏了某个三角形。

师：

（从信封里抽出一個三角形，露出一个直角）这个是什么三角形？

生：直角三角形。

师：确定吗？好，继续（从信封里抽出一个三角形，露出一个钝角）

生：钝角三角形。

师：好，继续（从信封里抽出一个三角形，露出一个锐角）

生：锐角三角形。

生：无法确定。

师：刚才前面看到一个直角或者钝角就可以确定了，现在为什么无法确定了？

生：因为所有的三角形都至少有两个锐角。

师：那有没有一个三角形既是直角三角形又是锐角三角形呢？

生：不可能。因为直角三角形里面一定有一个是直角，而锐角三角形里面根本没有直角。

生：是的一个三角形不可能有两个名字的，它只有一个名字。

这样，通过师生之间的交流，学生感受到了分类的必要性，同时，学生通过个性化的分类，领悟到了分类要有标准。在此基础上，让学生把握特征、合理命名，他们就能够在内心深处领晤到不重复、不遗漏这个重要的原则。

“四边形分类”一课在北师大版《义务教育教科书。数学》上是安排在三角形分类之后的一节内容，上课之前，我一直研读教材并思考这样的问题：教材在三角形的分类中是从边和角两个角度进行分类的，为什么四边形只从边的角度进行分类？图形分类的思想是什么？在不断的实践与反思中，我发现三角形在角和边上都存在特殊性，而四边形中角没有显著特点，而边的特点更为突出，继而才有了四边形分类从边的特点研究。我从四边形有无平行边的特征作为切人点，发现四边形的分类是可以从一般和特殊进行不断地分类。

师：观察这八个图形（如图1），说一说有什么样的特点？

生：全都是四条边;因为有四条边，所以都是四边形。

师：现在请拿出剪好的八个四边形来分分类。想想你要按照什么样的分类标准，把你的分类标准和结果写在草稿本上。

师：数学上将没有对边平行的四边形称为一般四边形，就是普通的四边形，除了四个角、四条边、内角和是3600之外没有什么其他的特点。相对于一般的四边形来说，这类图形在数学上又称为特殊的四边形。这类四边形特殊在哪里？

生：特殊在对边平行。

师：谁来指一指这些对边平行在哪里？

生：①有两组对边平行，分别是上下两组。左右两组;②只有一组上下对边平行;③有两组对边平行;④只有一组对边平行;⑥有两组对边平行;⑦也只有一组对边平行。（生上台边指边说）

师：什么样的四边形叫梯形？什么样的四边形叫平行四边形？

师：能不能将“只有一组对边平行的四边形叫梯形”这句话中的“只”去掉？

生：不能，去掉“只”的话，平行四边形也可以叫梯形了，因为平行四边形有两组对边平行，其中就就包括一组对边平行了。

师：梯形和平行四边形又可以按照一般和特殊进行再分类，梯形可以分为一般梯形和特殊梯形，平行四边形可以分为一般平行四边形和特殊平行四边形。能不能按照这个标准对这些图形进行再分类？

生：我是将①和⑥归为一般四边形。③归为特殊四边形，因为①和⑥除了两组对边分别平行之外，没有其他特殊的特征，而③除了两组对边分别平行之外，还有四条边都相等。

生：你是怎么知道这四条边都相等的？

生：通过对折可以得到这四条边相等。（边说边对折）

师：通过刚刚才的分析，我们可以知道③号图形是特殊平行四边形，它特殊在不仅四条边相等，而且还有两条对称轴，是轴对称图形。

师：你们知道这个图形叫什么吗？

生：菱形。

师：谁来讲一讲梯形的分类？

生：我是将②归为一般梯形，④和⑦归为特殊梯形。

师：你的分类依据是什么？

生：②很普通，除了一組对边平行之外，没有其他特征了，而④有两个直角，⑦有两腰相等。

师：数学上将④叫直角梯形，它的特殊在角上，将⑦叫直角梯形。

通过以上分析表明，只有以数学思想的具体分析来带动具体知识的教学，才能使学生真正感受到数学思维的力量，而不至于将数学思想看成纯粹的纸上谈兵、空中楼阁，只有将数学思想明确化、具体化，才能真正地发展学生的数学思维。

（责任编辑：杨强）