解析几何的本源方法与潜在的不变性

陈桂虎

摘   要：在解析几何教学中，引入直角坐标系后，学生就可以精确地刻画点的运动，点在运动中的不变性恰好是运动所具有的性质，这些不变性也可以称之为解析几何中的潜在性质。坐标法就是研究解析几何问题的本源方法，也是挖掘解析几何中“变”中的“不变”利器。解析几何中的这些潜在的不变性也体现了事物“偶然”中孕育的“必然”，“特殊与一般”的哲学思想。

关键词：高中数学;解析几何;坐标法;不变性;定值;定点

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2019）32-0027-03

解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题，这种研究几何的方法称为坐标法也叫解析法。具体地讲，把几何对象放置到直角坐标系中，然后确定曲线的方程，这样几何对象就可以完全用数和代数术语来表达，几何运算也就转化为代数运算。

解析几何的产生是出于对数学方法的追求，学者可从数学的发展历程以及Descartes和Fermat创立解析几何的心路历程来发现这一点。比如Descartes研究数学的目的，是想寻找一种能在一切领域里建立真理的方法，他认为欧氏几何中没有一种普遍适用的方法，几乎每一种证明都是新的且具有一定的技巧性;而代数的方法虽然受制于许多公式和法则有些机械，但是具有一定的规律性和一般性。代数与几何应互相取长补短，他提出了一个计划，“任何问题——数学问题——代数问题——方程求解”。其探索如何用代数的方法解决几何问题的过程，创立了解析几何。Fermat在数论和代数方面成就卓著，他明确地使用了坐标的概念，他提出只要在最后的方程里出现两个未知量，就会得到一个轨迹。教师了解这些的目的，是为了在教学解析几何时把握住解析几何的精髓，解决问题时更具有开创性和思辨性，而不是做了许多问题却不知所云。

举例，若问AB=2，AC=BC，三角形面积的最大值是多少？（答案是2）

【分析】题目本身说明了“变”中蕴含着“不变”。单从代数方法上思考，可将面积表示成关于某一边长的函数，然后求函数的最大值，不过有一定的运算量;若用解析法的思想去思考，三角形面积之所以有最大值，原因是三角形的形状在变化，也即顶点C在变化，那么点C的轨迹是怎样的呢？以线段AB所在直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，求得动点C的轨迹方程，获知点C的轨迹是一个圆，然后数形结合，问题便迎刃而解。

学会用代数的方法（解析法）解决几何问题的方法，这是解析几何的本质所在，学习者应该树立这样的意识。笔者在教学中也发现，解析几何问题中有的题目也可以单从几何的角度分析求解，因为解析几何问题首先是个几何问题，故可以从所涉及的几何图形的性质去做分析，比如圆的直径所对圆周角是直角。但不要引导学生总是用几何方法去思考解析几何，因为学生的思维模式一旦形成，就对解析几何有了一定的“偏见”，就背离了解析几何的本质。

引入直角坐标系后，学生就可以精确地刻画点的运动，点在运动中的不变性恰好是运动所具有的性质。所以解析几何中定点、定值以及最值问题就成了解析几何考试的重点问题。换句话说，解析几何在高考中的经典问题多数是围绕这些问题去考查的。这些不变性也可以称之为解析几何中的“潜在性质”。在平时的教学中，教师要引导学生去发现、探索这些“潜在性质”，这有助于学生深刻理解解析几何，有助于拓展学生的思维。

以椭圆为例，看一下如何用代数术语描述椭圆的一些性质。

回顾椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和（记作2a）等于定长（2a>F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。这种定义方法是通过数进行度量描述椭圆。

以焦点在x轴上的椭圆的标准方程 +=1导出主要思路分析：

由定义可得

PF1PF2=2a

+=2a

a2-cx=a  ==e（这是椭圆第二定义：平面内到定点（c，0）的距离与到定直线x=之比是常数的点的轨迹是椭圆）

（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）令a2-c2=b2

+=1（a>b>0）

=1-=  ·=-

=1-=  ·=-

（斜率之积是常数）

从以上的运算流程来看，通过理解每一个代数等式所表达的几何意义时，可以发现椭圆中的某些不变性。联想圆的定义和圆的性质，比如圆的直径所对圆周角是直角。当把圆视为椭圆的特殊情形时，那么在椭圆中，长轴或短轴所对的“圆周角”显然不是直角，也不是定值。但通过坐标法可以发现，椭圆上的点与长轴（或短轴）两端点的连线的斜率的乘积是定值，这就是几何性质可用代数表达。

a）椭圆+=1（a>b>0）上的点P与椭圆长轴两端点A1（a，0）、A2（-a，0）连线的斜率之积是定值，定值为-（=e2-1）即kPA1·kPA2（若a=b时，值为-1）（证明略）。

若将上述性质的条件弱化，结论依然成立。

b）椭圆+=1（a>b>0）上的点P是异于椭圆上M，N的两点，且M，N关于原点对称，则有kPM·kPN=-，我们再去联想圆中的垂徑定理：垂直于弦的直径平分弦（平分弦的直径也垂直于弦）。在椭圆中，利用坐标法相应地有这样的不变性。

c）设AB是椭圆+=1（a>b>0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB=-.（在圆中为OM⊥AB，kOM·kAB=-1）。

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）则有

+=1，+=1

作差得：+=0

+=0

kAB==-=-=-

kOM·kAB=-.

对于双曲线是否具由类似的性质呢？

若椭圆改为双曲线，相应的性质是kOM·kAB=-（焦点在x轴上）。

一般地，设是圆锥曲线E：mx2+ny2=1的弦，且P（x0，y0）是弦的中点，则kAB·kOP=-.

举个例子说明如何用以上这些潜在性质思考解决问题。

在平面直角坐标系xoy中，M、N分别是椭圆+=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

求证：对任意k>0，PA⊥PB

【分析】∵kBA·kPB=-=-易证kPA=2kAB，

∴kPA·kPB=-1故证得PA⊥PB

若取AB中点Q，kPB=kOQ可用性质b）证得.

d）已知椭圆+=1（a>b>0）A，B是椭圆上的两动点，M为椭圆上的任意一点，满足=λ+μ且λ2+μ2=1，则kOM·kAB=-.

证明：设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）又=λ+μ，则x0=λx1+μx2，y0=λy1+μy2又点M在椭圆上，

則+=+=1

整理得到λ2（+）+μ2（+）+

2λμ（）=1

又点A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，所以+=1，+=1，则+=0

∴=-故kOA·kOB=-.

e）过椭圆（a>0，b>0）上任一点A（x0，y0）任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B，C两点，则直线BC有定向且kBC=（常数）.

设AB：y-y0=k（x-x0）即y=kx+y0-kx0

y=kx+y0-kx0+=1（a2k2+b2）x2+2a2k（y0-kx0）x

+a2（y0-kx0）-b2=0

x0+xB=xB

B，同理C，

∴=.

坐标法就是研究解析几何问题的本源方法，也是挖掘解析几何中“变”中的“不变”利器。解析几何中的这些潜在的不变性也体现了“特殊与一般”的哲学思想。教学中教师要善于引导学生多发现和探索解决问题的方向或思路，找出简捷、合理的解题途径。