角度制与弧度制

孙洋

在初中数学中，我们对角的度量，采用的是角度制.到了高中，课本上又介绍了一种新的度量角的方法——弧度制.弧度制，顾名思义，用弧长来度量角的方法，我们用弧长与半径的比来刻画圆心角的大小，

引入弧度制有何意义呢？

谈到弧度制，我们首先要了解三角学.公元前约300年古巴比伦时期开始到公元640年古希腊数学落幕是三角学的萌芽时期，在那一时期，由于天文学的需要，三角学受到学者们的重视，它是天文学的一部分，其主要任务是计算圆的问题.从公元640年古希腊数学落幕后到15世纪文艺复兴开始前是三角学的传播时期，三角学逐渐从天文学里脱离出来，成为数学的一个分支，但这段时期的三角学与古希腊时期的三角学没有本质上的区别，从文艺复兴开始至今为三角学的确立时期.印度数学家利提克斯将正弦、余弦、正切、余切、正割和余割定义成直角三角形边长的比，这样三角学就不必再依附于网而仅在一个直角三角形中存在.

随着微积分的出现，三角学的重点逐渐由计算变成函数方法.而严格的弧度制是由大数学家欧拉提出的，并逐渐被大家接受和广泛使用.也就是说，在研究三角学的过程中，人们确实是先使用了角度制，后来又引入了弧度制，并且随着数学的发展，弧度制逐渐替代了角度制成为度量角的单位制度.可是，原因义是什么呢？

角度制，是将一个周角360等分，取一份为1°，将1°的角60等分，取一份为1'，将1'的角60等分，取一份为1".所以，角度制的进制是六十进制.在古巴比伦和古希腊时期，人们已经普遍习惯了这种角的度量制.古巴比伦人为了研究圆内三角问题的方便，他们甚至将弧长和半径也使用六十进制表示，并且编制了各种弦表以方便计算.但是对长度的度量，人们更习惯用十进制来表示，这就造成了进制的不统一，使得在三角函数的计算过程中计算和查表变得很不方便.而引入弧度制，进制的不统一就得到了自然的解决.作为函数，弧度制还使得函数的白变量和应变量的形式统一成长度的比值.自变量角，使用弧长与半径的比，应变量三角函数，使用了直角三角形两边的比.当然，弧度制被广泛接受，更是受到微积分的推动.在微积分的很多公式中，角的度量使用弧度制会比使用角度制来得更加直观和方便，当然，这部分内容，同学们只有到了高等数学中才能真正的有所体会.这也是为什么我们的同学不能深刻体会弧度制优越性的原因.

了解了上面的历史知识，我们应该发现，使用弧度制替代角度制来度量角是很重要的.弧度制直接沟通了弧长和圆心角之间的关系，大家熟悉以后也会发现在解决一些弧长的问题时使用弧度制很方便.比如：若扇形的半径变为原来的3倍，但是弧长不变，则弧所对的圆心角变为原来的弧所对的圆心角的几倍？这个题目，因为缺少具体的扇形半径与弧长，所以无法算出前后两个圆心角的大小.如果使用角度制，可以利用公式l=n/180兀r得到圆心角n与半径r成反比，得到答案1/3，不过公式里面还有系数π/180;如果使用弧度制公式l=ar，直接得到网心角α与半径r成反比，得到答案1/3.从这里可以看出，弧度制简化了公式的形式.

我们再来看下面这个例子：已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角为多少的时候，扇形的面积最大？如果利用角度制，半径r和圆心角n之间满足20=2r+n/180兀r，目标函数扇形面积S=n/360兀r2，如果消去r，则得到关于n的函数S=n/360兀·（3600/3600+nπ）2=36000/n2+720+3602/n≤25，当且仅当nπ2=3602/n，即n=360/π時取等号;如果消去n，则得到关于半径r的函数s=1/360·360（10 -r）/πr·=r（10-r）≤25，当且仅当r=10-r，即r=5时取等号.后者运算量稍小，但是公式的化简方面还是有些困难的.

那我们再试试利用弧度制运算，半径r与网心角α之间满足2r+ αr=20，目标函数扇形面积s=1/2αr2，如果消去r，得到关于圆心角α的函数s=1/2α·（20/α+2）2=200/α+4+4/α≤25，当且仅当α=4/，即α=2时取等号;又如果消去α，得到关于半径r的函数S=1/2·20-2r/r·r2= r（10-r）≤25，当且仅当r=10-r，即r=5时取等号.

哪种表示方法好，一目了然.