求数列通项公式的常用方法探讨

冯淑萍

摘  要：在高中数学必修课程中数列属于重要课程内容，在做数列题时数列通项公式求解属于基础。此次研究主要是探讨分析了求数列通项公式的常用方法，希望能够为教师教学提供参考作用。

关键词：数列;通项公式;常用方法

在高中数学课程中数列属于必考内容内容，近些年难度有所下降，属中档以下题目。数列的通项求解是数列知识的重要内容，也是考查数列知识的重要形式。数列能够培养学生的逻辑思维能力和观察理解能力。在高考中也多次考察了数列知识。数列知识中的核心内容之一就是通项公式，与函数解析式的作用类似。在得知数列通项公式之后就能够计算出数列中任一项以及前n项之和，得出数列通项公式是求解数列问题的关键步骤。

1、观察法

该种方法主要是对数列特征进行观察，寻找出各项共同构成规律，分析各项数列的关系结构以及内在联系，这样能够归纳出数列通项公式，之后通过数学归纳法进行验证。

例如下列题目;假设，若b=1，求解及数列的通项公式。

解：从题意可得

所以可以猜想，之后应用数学归纳法证明上式计算正确。

2、定义法

该种求解方法主要是直接应用等比数列或等差数列的基本定义求解通项的方法，定义法适用于已知数列类型的题目。

例：已知等差数列满足，（1）求解的通项公式;（2）设等比数列满足，问与数列的第几项相等。

解：（1）设等比数列的公差为d，因为，所以d=2，有因为，所以，故，所以（n=1，2……）

（2）设等比数列的公比为q，因为，所以，所以，由，得到n=63，所以与数列的第63项相等。

3、公式法

如果已知数列前n项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。

例：设数列的前n项之和为，已知，求数列的通项公式。

解：由可得，当n=1时，，当时，。而，所以。

4、累加法

若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累加法”求通项. 先给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项.

例：  若满足 ，并且，那么数列的前10项总和为____。

解： 從题意能够得出=（）+（）+…+（）+ =n+（n-1）+…+2+1= ，所以= =。所以，  = + +…+ = = ，所以= 。

5、累乘法

在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累乘法”求通项. 先给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项.

例：已知数列满足，求的通项公式。

解：由条件可知=，在上式中n依次取值1，2，3，…，（n-1），得到n-1个等式累乘之，即=，即，有因为，所以。

6、构造法

第一，如果递推公式为=（在该式中p、q都属于常数，并且p，q，p-1不等于0），一般情况下，该种递推公式的解题步骤就是先将原递推公式转化为-t=p（-t） ，其中t=之后通过换元法将其转化为等比数列，之后再进行求解。比如2014年新课标全国卷Ⅱ中关于数列通项公式的题目。

例：已知数列{}满足=1，=3+1，证明{+}是等比数列，并且计算出{}的通项公式。

解：由于=3+1能够得出+=3（+），又因为+=，所以{+ }是首项为，公比为3的等比数列，所以+ =×3n-1= ，所以数列{}的通项公式为=。

第二，如果递推公式为=p+kn+b（在上式中，p、k、b均为常数，并且pk不等于0）时，一般情况下，解题思路就是将原递推公式转化为+x（n+1）+y=p（+xn+y），其中x、y的值是由方程给出，比如2007年天津市文科数学关于数列通项公式的题目。

例：在数列{}中，=2，=4-3n+1，求解数列{}的通项。

解：由=4 -3n+1能够得出-（n+1）=4（-n），又因为-1=1，所以数列{-n}是首项为1，公比为4的等比数列，所以–n=4n-1，即=4n-1+n。

第三，如果递推公式为=p+cn（在该式中p、c均属于常数，并且pc不等于0）时，一般情况下，解题思路为将原递推公式转化为=·+。第一种情况：如果p=c，那么  -=，此时数列{}是以为首项，公差为的等差数列，那么=+（n-1）·，即=（n+-1）cn-1。第二种情况：如果p不等于c，那么可将原式转化为-t=（-t），在该式中t=，此时能够求解。

参考文献：

[1] 李萍，张孝梅.多题归一在求数列通项公式中的运用与拓展——以形如α_（n+1）=pα_n+f（n）的递推公式为例[J].延边教育学院学报，2016，30（03）：127-129.

[2] 刘铁龙.利用函数思想解释数列通项公式求法——以《一类数列通项公式的求法》一课教学为例[J].延边教育学院学报，2015，29（02）：120-122.

（作者单位：云南省曲靖市第一中学）