数学解题应用数形结合思想的分析与研究

赵国珑

摘 要：文章主要针对数学解题应用数形结合思想加以分析，分别从以下几个方面详细阐述，目的在于提高数学解题能力，准确解决数学习题。

关键词：数形结合;双向性原则;数形转化;数学思维

数学知识学习，必须掌握扎实的理论知识与正确的解题方法。数学习题复杂多样，面对这种情况，采取数形结合思想分析数学习题，转换习题难点，便于思考与理解。抽象化的数学习题，通过数形结合将其中的知识点具体化，转换思考角度，散发数学思维，灵活解决数学问题。

1.数形结合应用分析

数形结合思想的应用，必须正确掌握数形结合思想。所谓数形结合，将数学知识中数、形作为基础，以图像形式加以表现，并且统一分析数学题目，观察集合图形中呈现的数量关系。有机结合数、形，激发数学解题中数形结合的作用。

数形结合应用，掌握好下数形转化关系。第一形转化为数，以图形为中心对数学知识进行分析，图片形式下，数学习题解题点全面展示，帮助我们准确抓住数学习题核心问题，并且避免数学解题错误。第二数转化为形，分析数学习题期间，数的分析能够提高习题解答准确率，提出问题假设，以数据形式描绘图形，进而以数形结合方式解决问题，数学解题效率提升的同时，数学思维能力得以培养【1】。数形结合思想在数学解题中的应用，是数学知识点相互转化的过程，图形、数字互相转换帮助我们树立数学解题思路，有效分析数学问题，寻找问题解决方法，锻炼数学能力基础上，降低数学解题错误率。

2.数形结合思想应用原则

数学解题中应用数形结合思想，必须遵循双向性原则、等价性原则与简便性原则。

双向性原则。数形结合在数学习题中的应用，必须确保将抽象画数据转换为形象化，抽象性探索代数数量，综合几何图形思维模式，实现数、形的相辅相成，能够在习题解答中同时进行。

等价性原则。等价性原则要求我们必须熟练掌握代数性质与图形内涵，并且确保数、形转换等价，结合数学解题分析，可能遗留或者极易被忽视的问题，突破数、形自身局限性，统一两者分析一般性，对习题解答正确引导，以准确代数介绍图形，以正确图形直观展示代数【2】。

简便性原则。数形结合思想是将复杂的数学习题简化，尤其是其中繁琐的步骤，以图形方式展示，缩减计算步骤，降低数学习题难度，节省数学解题时间，提高数学解题效率。

3.数形结合思想在数学解题中的具体应用

3.1函数习题应用

函数习题作为数学学习主要组成，函数习题解题期间，以数形结合思想分析函数问题，剖析函数知识结构，确定习题涉及的函数知识范围。函数知识涉及范围较广，数形结合将函数知识归类划分，剖析函数问题核心【3】。难度较高的函数问题，数形结合思想很大程度上降低了知识点难度，并且匹配对应的函数表达方式，进而解决函数问题，提高数学习题解题效率。

例1：设是二次函数，若若f（g（x））的值域是[0，+∞），则g（x）的值域是（   ）。

A（-∞，-1][1，+∞） B.（-∞，-1][0+∞）

C.[0，+∞） D.[1，+∞）

该习题求解期间，以数形结合思想确定函数涉及范围。例1属于二次函數范围，通过g（x）准确判断。因此值域排除A、B。数转化为形基础上，绘制函数y=f（x）图形。

根据图1发现，g（x）值域为[0.+∞）期间，f（g（x））的值域为[0，+∞）。通过数形结合思想，分析函数定义域、图像与值域，掌握解题核心，即便习题以其他形式出现，依然可以准确计算出答案。数形结合思想在函数习题中的应用，提高数学习题解题效率的同时，梳理函数知识，养成函数分析思维，减少解题错误，提升数学学习与数学知识实际应用能力。

3.2几何习题应用

几何习题中数形结合思想的应用，根据具体结合问题选择解决方案。几何问题解决，将几何图形以形、数结合方式，分析题中所给出的几何知识，逐点加以分析，提高几何习题解题效率。

例2：设双曲线x2-y2=1的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为E，P（x，y）为该区域内的一个动点，则目标函数z=3x-2y的取值范围为（ ）

A、B、C、D、

以数形结合思想分析例2发现，双曲线x2-y2=1的两条渐近线为x±y=0，与直线的焦点坐标分别为（），（）。转换几何思维方式，以角点带入的方式获得z=3x-2y的取值，从而确定范围为，故而答案为D。在每个几何解题环节渗透数形结合思想，总结几何知识点，寻找隐藏在习题中的规律与注意点，强化几何习题的数形结合，锻炼几何思维，全面分析几何问题，掀起数学解题头脑风暴，创新几何学习模式。

3.3集合习题应用

数形结合思想在集合习题中的应用，首先明确集合问题。作为基本数学题型，集合问题解决离不开中交、并、补等问题分析，问题解决需要利用数轴、Venn图，具体化集合习题中的较为抽象的问题，简化问题分析步骤的同时，利用数形结合思维方式寻找便捷解题手段。

例3：已知A={x|-2≤x≤a}≠φB={y|y=2x+3，x∈A}m={z|z=x2，x∈A}且M包含于B，求实数α的取值范围？

数形结合思想引导学生将学习到的集合知识在习题求解中应用，正确分析数量关系与空间形式，寻找解决问题的正确途径，提高集合习题理解能力，分析集合模块中隐藏的数、形逻辑。以此求解例3.

解B={y丨y=2x+3，x∈A}=[-1，2a+3];M是B的子集，0<=x²<=4且0<=x²<=2a+3，-2<=a<=2时，M是B的子集，a>=2时a²<=2a+3，解得2<=a<=3。2<=a<=3时M是B的子集，实数a的取值范围为[-2，3]。

结束语：

综上所述，数学属于特殊性学习科目，数学解题准确性的保证必须以扎实的理论知识与正确理解思维为主。利用数形结合思想解决数学问题，其一准确掌握习题中的数学思维与核心问题，其二提高数学解题准确率，其三锻炼数学思维。

参考文献

[1]李贞凌.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[J].学周刊，2017（27）：105-106.

[2]韩玉红.数形结合思想在高中数学教学中的应用[J].中国校外教育，2017（09）：66+71.

[3]许昶昊.浅析数形结合思想在高中数学解题中的应用[J].科技风，2017（04）：29.