一道期末考试题引发的思考

李红

[摘  要：本文初探了重积分部分如何按照结构性教学原则实施教学方案，完善和发展学生的数学认知结构，提高教学的效率和学生学习的效率。

关键词：结构性原则;重积分;知识结构;思维结构]

由于二重积分的计算是高等数学学习的重要环节，是相关学科学习的基础计算，因此在这次我校高等数学A（二）期末考试中我们出了一道二重积分直角坐标计算的填空题，出了一道大题。出题者本意是大题考学生极坐标系下二重积分的计算以及二重积分的几何意义，但是大题解答真的出乎我们的想象，学生给出了直角坐标计算、极坐标计算、利用质心计算、变量代换计算和几何意义加极坐标计算五种方法，充分展现了学生的学习能力和创新意识，同时也展现了我们重积分计算结构性教学的成果。

数学教学的结构性原则是从数学知识结构和学生原有的数学认知结构出发设计和组织教学，促使学生从整体上把握数学的观念和方法，完善和发展学生的数学认知结构，提高教学的效率和学生学习的效率。我们在重积分部分的教学上按照结构性教学原则制定了如下教学方案。

一、突出知识结构，促进对知识的理解和巩固

格式塔心理学派认为人对事物的认识是一个“整体——局部——整体”的过程。因此，在多元函数重积分的教学之初，我们简略地将这部分内容结构框图呈现在学生眼前，让学生初步地直观地了解到该单元的知识结构体系。增强学生学习这部分知识的目的性和自觉性，形成初步的认知结构，从而对以后所学知识进行归类、同化，促进对知识的吸收理解和巩固，但是结构图一定要突出数学知识的整体性和系统性，教师有意识地引导学生去把握数学知识发展的脉络，去揭示数学基本概念、基本原理及基本方法之间的内在逻辑联系。促成学生对知识结构的掌握和新认知结构的形成。

二、站在结构与整体的高度组织教学

数学教学的内容不是零碎知识的简单组合，而是完整的、系统的有着严密逻辑联系的数学知识结构。传统的数学教学总是把一个知识单元的完整结构划分为一个又一个的知识片断，这样不利于对知识结构的掌握。在重积分教学中，我们重视知识间的联系，贯彻结构性原则。

1.从概念上调整学生的认知结构

2.从基本计算的方法上突出知识结构的联系

重积分与定积分思想一致，二者计算上一定既有区别又存在必然联系。二重积分被积函数为二元函数，积分区域是二维区域，故二重积分计算必须把积分域降维转化为两个定积分（即二次积分）才能实现。例如：

三重积分被积函数为三元函数，积分区域是三维区域，三重积分计算必须把积分域降维转化为先一后二或先二后一，从而转化为三个定积分（三次积分）才能实现。例如：

如果教师在基本计算授课过程中清楚地传授了这种降维的思想，学生不仅能体会到计算的乐趣，还能系统构建起重积分的计算方法，提高学习效率。

三、计算技巧促进学生思维结构的完善

知识更新周期越来越短，每个人都需要终身学习。要具备这种高效学习能力，學生必须具有完善的思维结构。在掌握基本计算的基础上，技巧题是训练发散与收敛性思维的一剂良方。例如我们期终试题：

学生作出积分域，可以按照基本计算的方法选择直角坐标或极坐标进行计算，计算过程有些繁琐，但还是能算出正确结果。

学生根据已有的知识完成一些开放型题目，在做题过程中不断发现新方法，通过各种方法的对比，不仅加深学生对于方法的理解，更主要的是锻炼学生的发散性思维和创造力，同时完善的思维结构又进一步促进学生对知识结构的掌握。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学第七版[M].高等教育出版社，2015.

[2]王仲春等.数学思维与数学方法论[M].高等教育出版社，1989.