贝特朗悖论新说

陈召召　陈城　杨静

摘 要：先引入单位圆中点的分布实例，论述了原始三种方法的不足，给出两种新的求解方法，构建其求解模型，分别为“r类点”模型以及“？兹弧弦”模型.文中对贝特朗问题，提出基于两种新模型的两种新解法，分别为点弦法和点点法.点弦法最终结果为0.6089977810.點点法最终结果为0.7468300049.文章的末尾，对点弦法与点点法做出相应的评价与分析.点弦法为直接以线构造弦方面做出的解释，而点点法则为以两点确立一条直线的原理来构造弦方面做出的解释.

关键词：贝特朗悖论;概率论;点弦法;点点法

中图分类号：O211.1  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2019）11-0022-04

1 引言

伯特兰悖论也就是贝特朗问题是法国学者贝特朗于1899年针对几何概念提出的理论，内容如下：“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形的边长的概率是多少？”

由于取弦的确切方式并没有交代，导致了按照不同取弦方式会有不同的解法，目前有三种公认的解法，分别对应了不同的取弦方式.

1.1 解法一

按照弦的中点必定在某条直径上，然后取一条直径，并认为弦的中点在直径上均匀分布，按照几何概型，概率为1/2.

1.2 解法二

认为弦的两端点在圆周上等可能分布，取定一端点，让另一段点在圆周上运动，根据弧长比或者角度占比，得出概率为1/3.

1.3 解法三

认为弦的中点在圆内均匀分布，确定了一个弦的中点就确定了一条弦，根据面积之比，得出概率为1/4.

三种解法均有自己的等可能假设，都有自己的样本空间，得出的结论都是对的，准确地说，在各自的样本空间中得出的结论是对的.文中的认为是，三种解法都并没有达到题目最开始、最想要、最原始的那种“理想”“期望“.

1.4 三种解法的不足

在介绍三种解法的不足之前，先引入一个例子.

1.4.1 单位圆中点的分布实例

例 点随机地落在以坐标原点为圆心、R为半径的圆的圆周上，并且对弧长是均匀分布的，求这点横坐标的概率密度（可理解为弦的中点在直径上分布的情况）[4].

1.4.2 三种方法的不足之处

利用上例的结果，可以解释为什么文中认为三种解法都没有达到题目的“期望”.实际上，贝特朗问题的三种解法在计算时对“等可能性”做了不同的假设.解法一的假设是假定弦的中点在直径上均匀分布，结果为1/2;解法二的假设是假定弦的端点在圆周上均匀分布，结果为1/3;解法三的假设是假定弦的中点在圆内均匀分布，结果为1/4;而根据本例的结果，若弦的端点在圆周上均匀分布，则弦的中点在直径上就不可能均匀分布.同样，也可以设计其他例子，得出三中解法的三种假设是两两不可同时满足.因此，三种解法的三种结果针对的只是不同的随机实验，对于各自的随机实验及样本空间而言，它们都是正确的，但不足就是，它们三者也都是不足的、不够“均匀”的，并不能照顾到各种假设之外的点是否均匀分布.所以，为了针对传统的三种解法的不够“均匀”性，文中提出了两大类更加“均匀”的解法思路以及相应的解法过程.

2 新模型的准备工作

在介绍文中的两种解法前，在此先介绍一下文中两种解法将会用到的一些假设和模型.

2.1 “r类点”模型

为了让每点都是等可能的被取到，文中假设每点被取到的概率为这点的面积与整个圆的面积之比.但由于点没有面积，所以，文中提出了“r类点”这种模型来解决取到每点的概率为零的问题.由于圆的旋转对称性，圆中任一圆周上的点有着几乎完全一样的性质，故将这一圆周上的所有点放在一起形成一个点的集合来讨论.但由于圆周一圈也并没有面积，取到任一圆周的概率仍为零，所以继续往前出发.取距离圆心r处，宽度为dr的细小圆环.由于圆环的环宽度dr极小，可以将圆环看作距离圆心r处的圆周，而圆周上的所有点又有着几乎完全的性质.所以，这个距离圆心r处，宽度为dr的细小圆环上的所有点，在随着dr取极限小的时候将有着几乎相同的性质，故为了研究以及求解的方便，将这一圆环上所有的点用距离圆心为r的一点代替，此点就称作“一类点”或叫“r类点”，而取到这一点的概率就用距离圆心r处，宽度为dr的细小圆环的面积与整个圆的面积之比来代替，即.

2.2 “？兹弧弦”模型

为了让过某一点的所有弦，即过某一点每个方向上的弦都是等可能的被取到，文中假设过某一点的每一条弦被取到的概率为这条弦所占的弧度与2？仔之比.但由于过某一点的每一条弦所占的弧度为零，所以，文中提出了“？兹弧度”这种模型来解决取到过某一点每条弦的概率为零的问题.类似于“r类点”模型，取过某一点的小扇形，假设过某一点的每条弦被取到的概率为小扇形所占的弧度×2与2？仔之比（共线反向的两条弦算作两条）.定义过某一点的1弧度上均匀分布着k条弦（k为映射系数，可取大于零的任意值），这样，过某一点每？兹弧度就有k？兹条弦，即取到每？兹弧度弦的概率为k？兹/2？仔k=？兹/2？仔.因此过任一点的弦弦长大于或等于的概率就是一个确定的数.

3 模型的求解

根据一类点模型的提出以及弧度模型的表述，文中提出两大类贝特朗问题的全新解法，分别为根据一点一方向确定一条弦来建立的点弦法和根据两点确定一条弦而建立的点点法.

3.1 新解法一：点弦法

任取单位圆中（包含圆周上）一点.每点取到的可能性相等，用“r类点”的模型来解决每点取到的概率问题.事件A：此点在单位圆内接正三角形的内接圆中（后称此圆为小圆，单位圆为大圆），事件B：过此点的弦长大于等于.则

4 结论

由上面的解法过程可知，点弦法和点点法最终解出的答案并不相同，其原因主要也是因为样本空间的选取有关.点弦法中，弦的构造由线直接构成，点点法中，弦的构造与传统三种解法一样，皆为弦由两点来构造的，即两点确定一条直线.但点点法中，较传统三种解法，两点的选取更加均匀，更加随机，更加贴近原问题中要求在圆中随机选取弦的问题假设.而点弦法更加另辟蹊径，弦的选取直接由线来确定，将每条弦选取概率为零的尴尬转化为选取？兹弧弦.其答案与传统解法一中选取的弦所构成图形的面积相等，即圖8中阴影部分的面积，大小为■/2？仔+1/3.而传统解法一则认为每条弦选到的概率与直径上点的概率有关，而非弦的概率与阴影面积成正比.总而言之，文中提出的两种解法分别在弦的两种构造方式上建立出的样本空间中，更加地接近原问题中那种随机性，均匀性.

参考文献：

〔1〕赵曼.贝特朗悖论研究及其解悖方案[J].自然辩证法通讯，2018（05）.

〔2〕杜国平.伯特兰悖论解析[J].重庆理工大学学报（社会科学），2018（07）.

〔3〕黄晶晶，黄世同.关于贝特朗悖论的新思考[J].昆明师范高等专科学校学报，2004（04）.

〔4〕安徽理工大学数学系.概率论与数理统计[M].天津：天津科学技术出版社，2018.5.

〔5〕Marinoff L . A Resolution of Bertrand"s Paradox[J]. Philosophy of Science， 1994， 61（1）：1-24.

〔6〕Di Porto P ， Crosignani B ， Ciattoni A， et al. Bertrand's paradox： a physical solution[J]. Physics， 2010， 121（3）：205–207.

〔7〕Gyenis Z， Rédei M. Defusing Bertrand’s Paradox[J]. British Journal for the Philosophy of Science， 2012， 66（2）：349-373.

〔8〕Sheynin O. Geometric Probability and the Bertrand Paradox[J]. Historia Scientiarum International Journal of the History of Science Society of Japan， 2003， 1（1）：42-53.