高中数学解题教学的三点策略

邱尚程

摘 要：解题训练是高中数学教学的重要组成部分，学生的解题能力直接关系着其高考成绩。高中数学教师应给予解题训练最大限度的重视。本文结合题例简要探讨了三点高中数学解题教学策略，即注重数学思想，总结提炼；一题多解训练，拓展思维；反思错题原因，找到根源。

关键词：高中数学；数学解题；解题教学；教学策略

解题训练是高中数学教学的重要组成部分，学生的解题能力直接关系着其高考成绩。高中数学教师应给予解题训练最大限度的重视，并注重在习题教学中探索和总结相关策略，以期望不断促进训练效果，提升学生实际结题能力。本文拟就高中数学解题教学谈几点策略性意见，希望对一线教师有所启示。

一、注重数学思想，总结提炼

在高中数学解题中，数学思想及方法的合理运用往往是正确解题的关键。教师应在习题教学中多引入一些蕴含着经典数学思想及方法的题目，供学生训练，并注重引导学生加以总结提炼，体会其运用之道，从而从深层次上提升解题能力。例如：“设函数f（x）=|2x+1|+|x-1|，求解：（1）画出y=f（x）的图像；（2）当x∈[0，+∞），f（x）≤ax+b，求a+b的最小值。”该题比较简单，但有一定典型性，第一问的解答需要用道基本的分类讨论思想，即对定义域进行分类讨论，f（x）=|2x+1|+|x-1|可变形为f（x）=-3x（x<-1/2）；x+2（-1/2≤x<1）；3x（x≥1），是一个分段函数。第二问则用到数学结合思想和不等式思想，亦比较容易，具体只要观察函数图像注意到y=f（x）的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各段图像所在直线的斜率的最大值为3，即可求解，即当且仅当a≥3且b≥2时，f（x）≤ax+b在[0，+∞）成立，因此a+b的最小值为5。

二、一题多解训练，拓展思维

很多高中数学题目有着一种以上的解法，也就是所谓“一题多解”。事实证明，一题多解训练可以有效促进学生的解题能力，有助于数学思维品质的发展，特别是思维的灵活性和创新性。在平时的习题教学中，教师要适当地引入一些具有代表性的一题多解题目供学生训练。例如：已知（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，试证明x、y、z成等差数列。

思路1：要想证明x、y、z为等差数列，必须求得x-y=y-z，而这一结论只能由已知条件推导得出，所以看到此题时最直观的想法便是展开已知条件去寻求转换。将（z-x）2-4（x-y）（y-z）展开并整理，不难得到x-y=y-z，即证得x、y、z成等差数列。

思路2：观察已知条件（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，其中x-y、y-z、z-x三项具有“对称轮换”的特点，那么我们就可以利用此特点采用换元法减少代数式中的字母数量，从而大大简化转换运算。具体可设x-y=a；y-z=b，则易得x-z=a+b，这时已知代数式可转换为（a+b）2-4ab=0，通过推导可得出a=b，即x-y=y-z，故x、y、z成等差数列。

思路3：仔细观察代数式（z-x）2-4（x-y）（y-z），如果设z-x=b，x-y=a，y-z=c，则其便呈现出二次方程判别式的形式特点，即b2-4ac，这就提供利用二次方程判别式相关知识求解的可能。此时分类讨论：当x-y=0时，对已知条件推导易得z-x=0，所以有x=y=z，三者成等差数列；当x-y不等于0时，关于t的一元二次方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0的判别式（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，所以方程有等根，而t=1为方程的一个根，所以方程的两个根均为1，然后利用韦达定理即可顺利求解。

三、反思错题原因，找到根源

对学生而言，错题反思是解题训练中必不可少的一环，只有通过深入的分析找到根源，才能发现自身知识结构的弱点或思维上的某些盲点，从而获得真正提升，并在以后不再犯同类错误。只有这样，习题训练才能真正起到作用。反之，若只讲正确答案或者对出错原因只停留在表面，则无异于失去使学生获取针对性提升的良机。例如：“若锐角△ABC中角B是角A的2倍，则cosA+cosB的取值范围是多少？”比较典型的错误解答过程是：cosA+cosB=cosA+cos2A=2cos2A+cosA-1=2（cosA+1/4）2-9/8，由于△ABC为锐角三角形且B是角A的2倍，故有A∈（0，π/4），cosA∈（0， /2），所以cosA+cosB=2（cosA+1/4）2-9/8在cosA∈（0， /2）上单调递增，由此得到cosA+cosB∈（-1， /2）。那么错误的原因在哪里呢？表面上看是忽略了C=π-（B+A），C∈（0，π/2），从而得到A>π/6，A的区间大小错误而导致解答错误，但实际上，深层次的原因是忽略了C为锐角时对角A得制约，致使求得的A的区间变大，而从根源上看，则是解题者对锐角三角形的定义没有全面而切实掌握，没有合理地利用上锐角三角形中任意两个锐角两个角的和为钝角这一隐含条件。而这在三角函数解题中又常常是正确解题的关键性条件。这样，通过对出错根源的剖析而明确本质原因，自然就能够真正掌握该题，并在同类题目中不再犯同样的错误。

综上，本文结合题例简要探讨了三点高中数学解题教学策略，即注重数学思想，总结提炼；一题多解训练，拓展思维；反思错题原因，找到根源。事实上，高中数学解题是一个兼具深度和广度的教学课题，一线教师要注重在平时的习题教學中不断探索和总结，以期不断提升解题教学的有效性。

参考文献：

[1]母翔鹏.变式训练在高中数学解题教学中的应用[J].考试周刊，2014（84）：63-64.

[2]黄文生.提高高中数学解题教学有效性的探究[J].中学教学参考，2014（35）：9-10.