初中数学引导学生创新思维方法的探索

张维强

摘  要：初中学生在数学学习中，除了猜测、模仿、举例、逻辑推理等基本思维模式外，还需要创新思维，笔者从归纳数学知识，挖掘知识内涵与拓展，将问题一般化，解题训练，探索结论与规律，探索和解决问题等方面进行了探索。提出了最优化思想，发散思维，全局观念，多点式逆向思维，特殊化思维，用跨界思维等思维方法。

关键词：数学学习;创新思维;方法

【中图分类号】G633.6      【文献标识码】A       【文章编号】1005-8877（2019）17-0072-02

初中生的数学思维模式，从最初的猜测、模仿、举例等直观形象思维到类比，归纳、逻辑推理等抽象思维的发展，是一个渐进和螺旋上升的过程。创新思维是这种发展的助推器。在数学学习上，创新应该有两层含义：一是针对学习者个人的，自己发现和提出问题、独立分析问题和解决问题，整个学习的过程可以看成是个人创新的过程。其二是针对集体学习、合作探究的，对于容量较大的章节知识归纳整理，或是有一定难度的综合问题的求解，通过大家的联想、提议、讨论、启发和整合，找出相对合理、有效的解决方案。可以看作是一种集体创新的过程。

我国数学家徐利治教授提出：“数学教育与教学的目的之一，应当让学生获得对数学美的审美能力，从而既有利于激發他们对数学科学的爱好，也有助于增长他们的创造发明能力”。本文从数学美的角度探索初中学生创新思维的培养。

1.用最优化思想总结、归纳数学知识

数学学习是一个不断积累数学知识、技能及思想方法的过程。另外，数学学习也是一个与遗忘斗争的过程。为了解决一边学习一边遗忘的问题，就必须经常对所学的数学知识、技能及方法进行总结和归纳。学生在诸如列举法、列表法、画知识方框图、画知识树、思维导图，制作卡片……等方法中，选择最适合自己的总结归纳方法，也是一种知识再创新的过程。例如，对乘法公式的总结归纳，有的同学选择卡片式的方法就很有创新特色。有公式及公式推导的过程，既有代数方法，也有几何意义的直观图示，背面还有常见应用举例。这种卡片既可以自己使用，也可以同学间相互交流，是一种很好的学习资料。思维导图中添加备注、多媒体和遮罩，板面既整洁又美观，又易于操作，对所学知识的归纳总结是个不错的创新方法，值得推广。而对于可以类比的数学知识采取列表对照是比较理想的办法。对于相对简单的内容则可以采用列举法、画知识方框图、画知识树等都是很好的想法。教学中要引导学生根据自己的实际情况，灵活选用合适的方法进行知识、技能的归纳总结;或通过集体的创新活动对知识进行总结归纳，同时追求美的数学表达形式，一定会收到很好的效果。

2.用发散思维挖掘知识内涵与拓展

“创造能力=知识量×发散思维能力”。发散思维是一个重要的创新思维，从思维的一个起点开始，由此及彼展开丰富的联想，从对立面的联想，到不同维度的探索，从内部到外部，或从左及右，或从上到下探索问题的新情况，新结论。发散思维既锻炼了学生思维的灵活性，同时也引导学生拓展了探索的深度和广度。例如，绝对值的概念实质上是数轴上表示数的点与原点距离的比较。从原点进行发散思维，可以思考数轴上表示数的点与其它点之间距离的比较，这种创新的思维直接导入了数轴上任意两点间距离的比较，由此发现数轴上任意两点间距离等于它们所表示数的差的绝对值。从圆周角联想到顶点在圆外或圆内且两边与圆相交的角;或顶点在圆上，一边与圆相交，另一边反向延长线与圆相交的角;或一边与圆相交，另一边与圆相切的角等，从这里便会找到一系列全新的角，如圆内接多边形的外角、圆内的角、圆外的角、弦切角。通过圆周角与圆心角之间存在等量关系，让学生惊喜的是这些拓展的角与圆相关的角之间还存在着等量关系，其中圆内接多边形的外角与其不相邻的内角和存在相等关系，弦切角与弦的内对角也存在相等关系。这些都是这种创新思维的应用。学生在体验这种数学美的同时，更全面、更深入地了解了与圆相关的角的特性，激发了学生学习与探索数学的热情。

3.用全局观念将问题一般化

数学引入字母和变量之后，实现了从具体到抽象的转变，也使得数学问题可以运用全局观念进行解决。二元一次方程的求根公式就是从一般化的角度解决解二元一次方程的问题。又如初一学生学习二元一次方程时就已经渗透二元一次方程的图像是一条直线，如果初二学生学习一次函数时，能从二元一次方程的图像这个高度出发，用全局观念全面考虑ax+by+c=0中a、b、c的变化情况。利用图像化的思想方法，可以创造性地得出y=m和x=n这两种重要的直线。这样，二元一次方程的图像就有六种不同类型的直线。当a=0时，得到的是平行于x轴的一条直线（如图1）。而当b=0时，得到的是平行于y轴的一条直线（如图2）。这种平行于y轴的直线为初三学习抛物线的对称轴打下了基础。当a、b都不等于0时，从a、b 的正负情况分为（1）当a>0，b>0时，图像是经过第一、二、三的一条直线;（2）当a>0，b<0时，图像是经过第一、三、四的一条直线;（3）当a<0，b>0时，图像是经过第一、二、四的一条直线;（4）当a<0，b<0时，图像是经过第二、三、四的一条直线;这与课本中一次函数图像的四种情形相符合。通过个人的独立思考和集体的交流，创新思维会为学生打开了知识的另一扇窗口，拓展了学生的数学视野。

4.用多点式逆向思维进行解题训练

数学命题通过逆向思维可以将其题设与结论互换得到其逆命题，在这些逆命题中，有许多与原命题同为真命题，如果命题的题设或结论不止一项，则通过同等项目对换后会得到更多的逆命题，这为提供了更广扩的探索空间，如果结合特殊化与一般化的思维，改变题设或结论的属性范围，可以变幻出许多新的题型，让学生从多角度对问题进行全方位的探索，把一类问题彻底解决，不失为一种创新的训练方法，例如，勾股定理与其逆定理的探索就是逆向思维的典型实例;又如八年级下册第69页复习题14：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证AE=EF。这个问题有四个条件：（1）四边形ABCD是正方形，（2）E是边BC的中点（3）∠AEF=90°（4）外角的平分线CF。而结论只有一个：AE=EF。从互逆的角度出发，通过一对一对换条件和结论可以得出四个命题;如果从改变属性的角度出发，如改变“（2）E是边BC的中点”为E为直线BC上任意一点;或改变“（1）四边形ABCD是正方形”为矩形ABCD或正多边形ABCD，或改变“（3）∠AEF=90°”为一线三等角问题等，就可以变换出更多的命题，引导学生探索管些命题，无疑是一种研究性学习的好思路。既锻炼了学生的思维的深度，同时引导了学生发现问题和提出问题的新途径。

五、用特殊化思维探索结论与规律

特殊化思维常见的有数值的特殊化，图形的特殊化，位置的特殊化等，其中特殊值法为最典型的特殊化思维。有些看似复杂的问题，运用特殊值法来解决，显得特别简单而有效。例如，已知一次函数y=kx-2k+3，不论k取任何实数，一次函数的图像都经过点A，求点A的坐标。运用特殊化的思维，只需选取k=0和k=1两种特殊的情形，从图像上容易看出点A的坐标是（2，3）。又如，（杭州2008中考）如图3，△ABC中，点D在AB边上， DE∥BC，与边AC交于点E，

连接BE，记△ADE，△BCE的面積分别为S1，S2 。则（  ）

A. 若2AD>AB，则3S1>2S2  B. 若2AD>AB，则3S1<2S2

C. 若2AD<AB，则3S1>2S2  D. 若2AD<AB，则3S1<2S2

本题可将△ABC特殊化为Rt△ABC，使以∠C=90°，点D特殊为边AB的四等分点，若设△ABC面积为S，则有__________ ，___________ ，所以__________，__________ ，_______________ ，可轻松得出答案选项为D。特殊化思维在探索规律问题时也特别有效，通过编号、计算特殊值、探寻规律和验证规律等四步骤，可以较快地发现和找到规律。这种带实验性的创新思维深受学生的喜爱。

六、用跨界思维探索和解决问题

数学中代数问题用几何方法解，几何问题用代数方法解，方程问题用函数的方法求解等，都可看成是跨界的创新思维，这种思想方法在初中数学教材中屡见不鲜。例如，用数轴表示数，乘法公式的几何表达形式，二次根式的几何意义，统计中的数据的图表表示，点的位置与坐标，函数的图像化等，都是这种思维的具体表现，数形的相互印证，不仅是探索新知的利器，也是解决问题的重要方法。这种数与形的完美结合是最具创新意义的。数学学习的过程是学生数学认知结构的变化。这种跨界思考问题的方式是促进学生认知结构推向更高层次发展的重要动力。

创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。数学教学的重要目的在于培养学生的数学思维能力。创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应当体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础;独立思考、学会思考是创新的核心;归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。

参考文献

[1]徐利治.数学方法论选讲[M].武昌：华中工学院出版社，1988

[2]蔡金法.数学教育学概论[M].南京：江苏教育出版社，1989

[3]王仲春，李元中，顾莉蕾等.数学思维与数学方法论[M].北京：高等教育出版社，1994