高中数列通项公式的求法探究与归纳

[摘  要：数列的通项公式直接表述了数列的本质，我们可以通过数列通项公式求出数列中任意一项，也可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题。各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解，特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解往往是解决数列难题的瓶颈，本文将结合常见高考题型，对数列求通项公式的方法进行探究与归纳总结，希望能对广大一线教师和考生有所帮助。

关键词：数列;通项公式;探究归纳]

数列通项公式的求解问题是高中数列问题中一类常见并且重要的题型，也是高考一大考点，解法层出不穷但也有章可循。面对常规数列通项公式的求解时，学生都会按照等差等比基本公式求出数列的通项公式。而当数列形式稍加变形，不是按照正常形式给出时，学生往往容易变得束手无策，一旦几次尝试之后如果还是没有得出答案，就会导致对求通项公式的畏难和消极情绪。究其根本，是学生没有仔细去思考，没有对于常见题型进行积累、总结和反思，苏霍姆林斯基说过：“懂得还不等于己知，理解还不等于知识，为了取得更牢固的知识，还必须思考并总结。”因此，笔者结合多年高中一線教学的实践经验，对数列中求通项公式的方法进行探究，并完成归纳与总结，希望能对广大一线教师和考生有所帮助。

一、观察法

数列从定义角度看，是按一定顺序排列的一列数，因而它不是杂乱无章的，它是有规律可循的。所以，我们可以根据数列的前几项，观察每一项与项数的关系，从而写出数列的通项公式。

例1：写出下列数列的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，……

（2）1，11，111，1111，……

观察法关键是把握第n项与[an]的关系，把每一项用项数表示，体现了特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨，如有必要，还需用数学归纳法去证明。

二、公式法

这种方法也叫做直接定义法，适用于已经知道数列类型的题目，通过求出首项和公差或公比，直接利用等差或等比数列的定义写出通项公式。

例2：【2018全国Ⅱ，理17】Sn为等差数列{an}前n项和，已知a1= -7，S3=-15，求{an}的通项公式。

解：设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=-15，又由a1=-7得d=2，所以{an}的通项公式为an=2n-9。

三、利用an与Sn的关系求通项

有些数列给出{an}的前n项和Sn与[an]的关系式，利用读书文摘2期从而求出[an]，特别要注意检验n=1的情形。也有些数列通过做差，导出an+1与[an]的递推式，从而求出[an]。

例3-1：【2015山东，理18】设数列{an}的前n项和为Sn，已知读书文摘2期，求{an}的通项公式。

解：因为读书文摘2期，所以2a1=3+3，故a1=3，

当读书文摘2期时，读书文摘2期此时，读书文摘2期即读书文摘2期，所以读书文摘2期。

例3-2：【2018全国Ⅰ，理14】记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1，则a6=（    ）。

解：读书文摘2期

读书文摘2期

①-②得读书文摘2期，即读书文摘2期，读书文摘2期

因此{an}是以-1为首项，2为公比的等比数列，则读书文摘2期。

四、累加法

适用于递推公式形如读书文摘2期＼（n=2、3、4……）型的数列，且读书文摘2期可求，则用累加法求[an]。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例4：在数列{[an]}中，a1=1，读书文摘2期（n=2、3、4……），求{[an]}的通项公式。

解：∵n=1时，a1=1

读书文摘2期这n-1个等式累加得：

读书文摘2期读书文摘2期

故读书文摘2期且a1=1也满足该式∴读书文摘2期读书文摘2期。

五、累乘法

适用于递推公式形如读书文摘2期（n=2、3、4……）型的数列，且[f1×f2×…×f（n-1）]可求，则用累乘法求[an]。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例5：已知数列{[an]}满足读书文摘2期读书文摘2期，求[an]。

解：由条件知读书文摘2期，分别令读书文摘2期，代入上式得（n-1）个等式累乘之，即得：读书文摘2期读书文摘2期读书文摘2期又读书文摘2期，读书文摘2期。

六、构造法

原数列不是等差或等比数列，但对已知的等式进行适当变形，可构造出新数列为等差或等比数列，从而求出通项公式。

形式1、读书文摘2期（x，y），用配凑法，配凑常数“λ”，使得读书文摘2期构造出一个等比数列，从而求出an的通项公式。

例6-1：【2014课标Ⅱ，理17】已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1，求{an}的通项公式。

解：由an+1=3an+1得an+1+[12]=3[an+12]，又a1+[12=32]，所以[an+12]是首项为[32]，公比为3的等比数列，an+[12=3n2]，因此{an}的通项公式为an=[3n-12]。

形式2、读书文摘2期（x，y，z），

（1）若[x=z]，则可以化为读书文摘2期进而转化为一个等差数列，利用等差数列的通项公式求解。

例6-2：已知数列{an}满足读书文摘2期，a1=2，求数列{an}的通项公式。

解：读书文摘2期两边除以2n+1，得读书文摘2期，则读书文摘2期故数列读书文摘2期

是以读书文摘2期为首项，以[32]为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得读书文摘2期的通项公式为读书文摘2期。

（2）若[x≠z]，则可化为读书文摘2期，进而转化为形如读书文摘2期的数列。

例6-3：已知数列{an}中，读书文摘2期读书文摘2期，求an。

解：在读书文摘2期两边乘以2n+1得：读书文摘2期令读书文摘2期，则读书文摘2期，应用形式1解法得：读书文摘2期，所以读书文摘2期

本题也可化为读书文摘2期，进而转化为形如读书文摘2期的数列，利用累加法進行求解。

七、周期型数列：

写出数列的前几项，总结规律，发现其周期性，进而直接得出数列的通项公式。

例7：已知数列{an}中a1=0，读书文摘2期求：a2011（解答略）。

八、倒数变换法：

对于如读书文摘2期这样的数列，可用倒数变换，将原数列转化为等差或等比数列，再利用公式法求解。

例8：数列{an}中，读书文摘2期读书文摘2期，求an。

解：取倒数得：读书文摘2期令读书文摘2期则读书文摘2期读书文摘2期读书文摘2期

九、迭代法

例9：已知数列{an}满足读书文摘2期求数列{an}的通项公式。

解：因为读书文摘2期所以

读书文摘2期读书文摘2期

读书文摘2期

又a1=5，所以数列{an}的通项公式为读书文摘2期

十、数学归纳法

这种方法是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而通过观察法，猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以严格证明。

例10：已知数列{an}满足求数列{an}的通项公式。

解：由读书文摘2期读书文摘2期，得

由此可猜测往下用数学归纳法证明这个结论。

（1）当n=1时，读书文摘2期所以等式成立。

（2）假设当n=k时等式成立，即读书文摘2期

则当n=k+1时，

由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据（1）（2）可知，等式对任何读书文摘2期都成立。

总之，求数列通项公式的方法并不限于以上所述，对于同一问题的求解也不仅是一种方法，只有在平时的数学学习与探究过程中不断地体会与总结，将知识与方法学活，才可以做到游刃有余。

参考文献

[1]谷雨竹.递推数列通项公式常用求解方法探讨[J].中学生数学：高中版，2017（8）.

[2]刘文易.对某些特殊数列通项公式的求法探讨[J].课程教育研究：学法教法研究，2017（34）：74-75.

[3]刘养飞.浅谈常见数列通项公式的求法[J].湖南中学物理·教育前沿，2008（z1）.

作者简介

张瑞（1982.07.20—），硕士研究生，新疆乌鲁木齐市第七十中学。