数学归纳法在高中数学中的应用解析

臧玉权

摘要：高中数学教学的主要目的是为了使学生在学习知识和解题的过程中逐步树立数学思维并提高数学实践能力，其中数学思维的培养与数学学习的方法有相当密切的关系，同时数学方法对数学实践能力的养成也有重大影响。数学归纳法是一种数学学习的常用方法，其能够简化复杂、抽象的数学公式，在解决高中数学的各类题型中均能够发挥相当的作用。数学归纳法在解答或证明数列、不等式和函数等方面的问题中得到了最广泛的运用，学生能够在完成题目的过程中培养自身的观察题目、分析题意、归纳有效信息及合情推理的能力。

关键词：数学归纳法;高中数学;应用

中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2019）02-0237-01

1.前言

在高中数学的学习过程中，很多题目都与自然数有关，因此在解题过程中数学归纳法得到了较多的运用。数学归纳法不仅是高中数学学习的重点，难度也相对比较大，因此也是常考的考点。因此学生在学习数学归纳法的概念及运用时，应当对其应用方式进行仔细深入的探究和讨论，熟练地掌握数学归纳法能够大幅度提升其数学成绩，也能在一定程度上降低数学习题处理的难度，从而给予学生充分的信心和热情。在如今的高中数学教学中，教师大多将数学归纳法与数列相关问题相联系来进行讲授，但其实数学归纳法在高中数学中的应用远不止于此，其在解答或证明恒等式、不等式、函数和几何等方面的问题中也能够发挥很大的作用。

2.数学归纳法的概念

数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题是否在某个自然数范围内成立等类似命题，除此之外，数学归纳法還可以被广泛应用于数学定理证明中。数学的解题思路往往不止一条，因此在数学解题过程中，如果采用不同的证明方式，所得出的结论也可能会存在一定的差异。而数学归纳推理方法比较严谨，通过归纳已知信息得出普遍规律的方式能够大幅度提高结论的准确性和科学性，因此其一般被应用于与自然数相关的数学题目中，比如证明等式、不等式和函数的成立等。

3.数学归纳法的应用步骤

3.1将其应用于常数命题证明中

在数学的解题过程中，如果能够证明命题在某个常数条件下成立，则说明该命题在其他特殊情况下也应当成立，从而得出相关结论。这是证明题中比较常见的方法之一，既能够得出准确结论，又能够大幅度节省推算和演算的时间，提高解题效率。在具体的解题过程中，往往将1作为起点。

3.2将其应用于任意常数证明中

对任意常数条件运用数学归纳法进行证明这一步骤的成功与否会对命题的结论得出起到至关重要的作用。一般情况下，可以采用未知数k来表示任意常数。首先证明命题在n=k的基础上成立，然后逐步推导出当n=k+1、n=k+2等情况下命题依然成立，即可证明整个命题是成立的，反之亦然。这一步骤是命题证明中的关键步骤，影响了证明结果的科学性。在使用数学归纳分析的方法时，应当首先从特殊情况开始讨论，再讨论一般情况，最终证明命题正确与否。

值得注意的是，以上步骤的第一步较为简单，第二步难度较大，但第二步的完成与否将对整个证明过程产生更加重大的影响。

4.运用数学归纳法的作用

4.1帮助学生理清学习思路，树立数学思维

教师在进行教学的过程中，应该明确归纳法的使用方法，从而能够帮助学生梳理解题思路。众所周知，运用数学归纳法解题时，归纳步骤无疑是非常重要的，其中合理归纳是归纳步骤中最基本、最重要的原则，教师应当引导学生主动遵循该原则，逐渐掌握运用数学归纳法的正确步骤。对于目前高中数学教学的实际情况来说，应用数学归纳法证明的命题有两个基本类型：一是能直接应用归纳假设来证明的。在解决此类问题时，通常是通过适当变换等式或不等式来完成证明证明的;二是不能直接应用归纳假设来证明的。这类命题在解题时，现有的条件无法直接支持归纳假设的步骤，一般需要重新为应用归纳假设创造条件。其具体方法是：先将n=k+1带人需要证明的命题，然后再将新得的表达式作适当的变换。在高中数学教学中，这种论证题目需要学生全面分析题目，对已知条件做全面的解读和归纳，有利于学生找到适合的解题思路，并促进数学思维的发展。

4.2有利于培养学生的创新精神和实践能力

在高中数学的学习中，很多知识都需要先进行论证才能更好地加以运用。例如，在学习数列相关的知识时，教师应当先带领学生寻找数列的规律，进而进行归纳和总结，在归纳过程中，学生的思维能够得到充分的调动，从而能够在一定程度上提升了了学生的自主探索意识和创新意识。通过归纳法证明数学题目，能够让学生在对不同的证明题寻找不同规律的过程中提起兴趣，进而更加熟练地掌握归纳总结规律的方法，从而提高学生的实践能力和灵活运用解题方法的能力。

4.3活跃课堂气氛，激发学生的学习热情

在高中数学的学习中，学生往往会存在一定的精神压力，认为学习内容比较困难且学习进度比较紧张，若课堂氛围沉闷，则会进一步抑制学生的学习热情。而运用数学归纳法能够与情景教学法、多媒体教学法等新式教学法相结合，脱离传统的板书式教学法的限制，从而能够让学生的心态更加放松，也更容易集中其注意力，提高学习效率的同时激发其对于数学学习的兴趣，对其未来的数学学习大有裨益。

5.结语

综上所述，对数学问题进行仔细观察、合理猜想、归纳整理、抽象概括、证明是有效解决问题的重要途径，也是正确解答数学问题的必经之路。因此，高中生应当熟练掌握数学归纳的方法，这对于其在解决高中阶段的大多数证明题都能够起到事半功倍的效果。从解题过程看，数学归纳法能够节省时间、提高效率，也能够提升解题的准确性;从数学思维看，数学归纳法更能够激活学生的自主思考能力，从而有助于其培养清晰的逻辑思维。在高中数学的教学过程中，教师有必要对数学归纳法做详细的讲解，并引导学生熟练掌握其运用方法。