回归数学本原 激发课堂活力

朱广科

摘    要：数学教学只有回归生活数学本原，才能挖掘激发数学课堂活力，教学才有力量;数学教学只有回归类比生成本味，才能自然爆发数学课堂效力;数学教学只有回归人文教育本真，才能完美散发数学课堂魅力.

关键词：本原问题;平面向量;课堂活力

“平面向量的实际背景及其基本概念”是人教版高中数学必修4第二章第一节的教学内容，是平面向量的起始课，概念多，起点低，篇幅少，“可讲性”不高，不容易教出新意.如何设计，才能直击向量的本质？通过实践检验，“回归数学本质”的观点和做法对于提高数学教育教学质量、提升教研实效性具有十分重要的指导意义.

一、教学分析

（一）教材分析

本节是“平面向量”这一章的起始课，对后续学习三角函数、解析几何、立体几何等相关知识具有开天辟地的作用.向量概念引入后，全等、平行、平移、相似、垂直、面积、夹角、距离、勾股定理等几何问题就可以转化为向量的加（减）法、数乘向量、向量的数量积等运算（运算律），从而把图形的几何性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何、三角的重要桥梁，本节的重点是通过丰富的实际背景，抽象出兼具有“数、形”二相性的向量.

（二）学情分析

在学习本节课之前，学生已经在物理中学习了既有大小又有方向的量——矢量，同时学生非常熟悉实数的相关知识，而本节课完全可类比实数来学习向量的相关知识，这些就为学生学习本节课奠定了良好的基础.由于我们的学生对一些数学思想方法掌握不牢固、应用不灵活，同时大部分学生的数学能力还没有达到较高的水平，这又成为学生学习本节课的一个阻碍.所以为了更好地达到本节课的学习效果，学生需要提前预习，找出本节课与其他知识的联系，结合实际加以理解.

（三）教学目标

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等基本概念.

2.通过实际背景领悟向量的来源，类比实数学习向量，让学生初步领会类比推理的数学思想方法;通过几何画板演示实验，让学生领会数形结合、抽象归纳和从特殊到一般的數学思想方法.

3.培养学生认识客观事物的数学本质的能力;培养学生的科学精神和人文素养.

二、教学实践

（一）情境引入，感知向量

情景一：如图1，以A点为参照点，你能确定B点的位置吗？确定位置需要哪些关键要素？

情景二：如图2，指路牌上有哪些关键信息能帮助我们确定位置？

问题1：上面两个问题有什么共同特征？体现了哪些关键因素？

学生：都是实际生活问题，其中，方向和距离是两个最关键的要素.

【设计意图】本章章头图就是一幅交通图，但对我们的学生来说还不够“身临其境”.为了创设真实的教学情境，激发学生的求知欲，我们就以赛课地点重庆市第十一中学校为目的地，通过事先查看地图，并以问题为先导，利用“B点在A点的什么位置”启发学生从地图上抽象出图中的“方向和大小”两个要素，接着再从指路牌上抽象出现实中的“方向和大小”两个要素，让学生从实际背景中初步感知向量的真实存在性，真切领会数学与现实生活的密切联系.这样，既理解、尊重了教材，又没有拘泥于教材，而且创新利用了教材.

问题2：现实世界中还存在像这样既有大小又有方向的量吗？请同学们举例说明.

众生：F、S、V、a等都是既有大小又有方向的量.

教师：物理中这些既有大小又有方向的量统称矢量，相应的，如温度、时间、路程等这些只有大小没有方向的量统称标量.

【设计意图】让学生开放式列举，分类，对比分析，进一步感知向量的普遍存在性，领会数学与其他学科的密切联系.

问题3：这些量与我们学过的实数有什么区别？

学生：实数只有大小，没有方向.

教师：对，数学中把这种与众不同的“既有大小又有方向的量称为向量”.两种量的对应关系是：矢量——向量，标量——数量.

【设计意图】对比数量看向量，形成认知冲突，自然生成向量概念.同时，类比实数，联想向量，为揭示向量的本质及表示埋下伏笔.

（二）揭示本质，生成向量

问题4：类比实数可以用阿拉伯数字和数轴上的点表示，向量如何表示呢？请按照要求画出物体所受到的力.

众生活动：借助物理情景，学生很容易找到各力的大小和方向并正确画出图形.

教师：现在，我们完全抛开一切具体的物理背景，只探究其大小和方向，能看到什么？发现什么呢？

教师：很好！我们进一步剥去它们的物理外衣，其本质就是一条光光的有向线段，它既非常简洁地刻画出向量的“数、形”二相性，又形象直观地反映出向量的本质.

学生：物体可抽象成质点，力可抽象成有向线段.

内涵：向——方向，量——大小.因此，向量将是我们学习数学常用的有力工具.

【设计意图】类比力的表示，层层剥离，逆向回归，揭示本质，形象地展示出向量的生成过程，抽象出向量表示的合理性、必要性、科学性、工具性.

（三）理解概念，构建向量

众生活动：回归教材，讨论交流，理解概念，建构体系.

1.向量的几何表示：用     表示向量，记作：    .

2.向量的符号表示：也可以用字母      表示.

3.向量的模：向量[→][AB]的大小，就是向量[→][AB]的长度，记作：    .

问题5：向量有几种表示？它们的关系是什么？

【设计意图】借助三种语言理解向量的概念，建构平面向量的语言体系.

问题6：类比实数系中的特殊数0和1，向量中有没有这样的特殊成员呢？如果有，模和方向会是怎样的呢？

众生回答：有，零向量，单位向量.

教师：什么是零向量？单位向量？怎么理解？怎么表示？

众生：模为0的向量叫零向量，模为1的向量叫单位向量.

教师：对，这是用模长定义的，它们的方向呢？

众生：没有方向！？任意方向？！规定方向？

教师：看来这个问题很有必要深入思考讨论，看谁又能说服谁？

众生活动：思考、交流、讨论、争论.肯定应该有方向，没有方向怎么成为向量呢？！但关键是怎么确定它们的方向呢？

教师：谁都不能说服谁了吧！好，我们一起来做一个小实验.请一位同学上来，听我口令：立正！向右转！向右转！向右转！向右转！请问：他在旋转一周的过程中，位移改变了吗？方向改变了吗？

众生：位移始终没改变，方向一直在改变.

教师：哦，按照定义“模为0的向量叫零向量”，在旋转一周的过程中所产生的都是零向量，由此看来，零向量不仅有方向，而且方向还是任意的！这就是零向量的特殊性.

学生：类似地，单位向量的终点构成单位圆！

教师：对，但必须共起点.由图3可知，一个确定的单位向量方向是唯一确定的.

【设计意图】类比实数系中的0和1探究零向量和单位向量，初步建构平面向量的运算体系.借助实验活动，让学生亲身经历感受零向量和单位向量方向的特殊性.

问题7：类比实数间的相等或不等关系，向量间会有什么关系呢？

教师活动：借助几何画板动画演示，展现向量之间的平移、重合、相反关系，引导学生抽象得出：

（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，记作[a]//[b]，平行向量也叫共线向量.特别地：零向量与任一向量平行.

（2）相等向量：模相等且方向相同的向量，记作[a]=[b].

【设计意图】类比实数的相等或不等关系，通过平移重合抽象出共线向量和相等向量，初步建构平面向量的推理体系.

（四）巩固概念，运用向量

1.判断下列说法是否正确？

（1）单位向量都相等;（   ）

（2）若[a=b]，则[a=b];（    ）

（3）若[a=b]，[b=c]，则[a=c];（   ）

（4）若[a]//[b]，[b]//[c]，則[a]//[c].（   ）

2.如图4，设O是正六边形的中心，分别写出图中与向量[→][OA]，[→][OB]，[→][OC]相等的向量和共线向量.

【设计意图】通过问题判断，澄清是非，巩固概念;尤其是（4）中，学生极易忽视零向量，即使个别学生想到了零向量，但教师还应追问：谁为零向量？通过写出正六边形中的相等向量和共线向量，运用向量实行数形结合.

（五）归纳提升，回味向量

师生互动：课堂小结.

1.数学知识：向量的背景与概念;向量的表示;向量间的基本关系.

2.数学方法：抽象归纳;类比推理;数形结合.

3.数学感悟：人生犹如向量，我们既要有强大的动力支撑，更要有正确的方向保证，二者不可或缺！

【设计意图】总结知识，提升方法，感悟思想，激发学生的情感态度价值观.

三、教学感悟

（一）让学科数学回归到生活数学本原，挖掘激发数学课堂活力

数学源于生活.脱离生活实际的数学课是枯燥干瘪的，缺乏活力的，也是没有生命力的.为了直观简捷地让学科数学回归到生活数学本原，教师要根据本课教学目的、学生的认识规律和知识的内部联系，创设一种教学中的问题情境，以引起学生内部的认知矛盾冲突，激起学生求知欲，激发课堂活力.本课通过创设真实情景，启发学生首先从地图上抽象出图示中的“方向和大小”两个要素，再从指路牌上抽象出现实中的“方向和大小”两个要素.这样让学生从图示回归到现实，初步感知向量的真实存在性，真切领会数学与现实生活的密切联系，充分挖掘出数学课堂在实际背景中的活力.

（二）让数学教学回归到类比生成本味，自然迸发数学课堂效力

在数学教学过程中，观察、分析、比较、类比、归纳、抽象、概括等各种思维形式随时都在发挥作用.为了突出向量的理解这一重点，本课着重组织了三次类比教学：一是类比实数的表示探究向量的表示;二是类比实数系中的0和1探究零向量和单位向量;三是类比实数关系探究向量关系.这样，让学生自然而然地去感受、体会、学会类比学习的方法，潜移默化中渗透出数学的本味.值得一提的是教师随机应变，临时采取“紧急措施”，请学生原地打转，亲身经历感受零向量方向的特殊性，轻松自然地突破了零向量的方向这一难点.

向量的生成是本课的关键.“数学教育的学科定位一定要强调它的跨学科特征”.因此，本课借助物理情景，将具体的物体抽象成点，将力抽象成有向线段，逐层剥离，其本质就是一条光光的有向线段，它既简洁地刻画出向量的“数、形”二相性，又形象直观地反映出向量的本质内含：向——方向，量——大小.这样形象地展示出向量的生成过程，使我们看到生成向量的合理性，从而让学生更容易接受并喜欢向量，变乏味教学为趣味教学.这不正是教材编写的意图吗！

数学教育心理学认为，学生学习数学是“接受—建构”式的，它既是接受已有数学知识的过程，同时也是自主建构数学体系的过程，二者相辅相成.在这一理论指导下，本课按照循序渐进的原则，依次进行了三重建构：一是借助三种语言建构平面向量的语言体系;二是抽象出零向量和单位向量建构平面向量的运算体系;三是抽象出共线向量和相等向量建构平面向量的推理体系.这三大建构最终将直接支撑起整个向量体系，实现从概念化数学到系统化数学的第二次转变，也让我们看到引进向量的科学性、系统性.因此，本课通过三重建构，实现三大体系，水到渠成地实施了有效教学，自然将会迸发出深远的课堂效力.

（三）让数学教育回归到人文教育本真，完美散发数学课堂魅力

教育的本真是立德树人.教师的本职是激人奋进，助人成功.教师既是知识的传授者，同时又是人格的塑造者.因此，教师要善于挖掘数学内容所蕴含的育人资源，以提高数学素养，发展思维能力，培养理性精神，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考.本课最后虽寥寥数语，但画龙点睛，我们既要有强大的动力支撑，更要有正确的方向保证，二者不可或缺.这既是对向量本质的领悟，更是对学生心灵的启迪，是数学与人文的回归融合，是数学课堂魅力的完美展现.

实践证明，回归数学的本原、本味、本真，才能更好体现课堂教学的活力、效力、魅力.[□][◢]